Mathonline - Användarbidrag [sv]

Fil:Potens ny.png

2016-03-20T11:18:54Z

MarcusChristian:

Fil:Potens.PNG

2016-03-07T19:29:37Z

MarcusChristian: Potenser

Potenser

1.3 Decimaltal+

2015-07-27T12:52:35Z

MarcusChristian:

{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[1.2 Räkneordning| <-- Förra avsnitt]]}}
{{Selected tab|[[1.3 Decimaltal|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[1.3.2_Avrundning och värdesiffror|Avrundning & värdesiffror]]}}
{{Not selected tab|[[1.3 Övningar till Decimaltal|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Negativa tal|Nästa avsnitt -->]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}

[[Media: Lektion 3 Decimaltal Ruta.pdf|Lektion 3 Decimaltal]]
__NOTOC__ 
== Tal mellan två heltal ==
<div class="tolv"> 
Decimaltal <math>-</math> eller tal i decimalform <math>-</math> är tal som ligger mellan två [[1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal|heltal]].

För att visa decimaltal fortsätter man med [[1.1_Om_tal#Det_decimala_positionssystemet|det decimala positionssystemet]].
</div> 

<div class="ovnE">

[[Image: Decimaltal_60a.jpg]]

</div>

<div class="tolv"> 
Heltalens framställning i det decimala positionssystemet förklarades i avsnittet [[1.1_Om_tal#Exempel_1|Om tal, Exempel 1]].

Till heltalsdelen <math> 235</math>:s lägger man till några bråkdelar av <math> \, 1 \, </math> efter decimaltecknet, närmare bestämt decimalerna <math> \, \ldots{\bf{\color{Red},}}{\color{LimeGreen} {178}} \, </math>.

På så sätt hamnar decimaltalets värde mellan heltalen <math> \, 235 \, </math> och <math> \, 236 </math>.
</div> 

<div class="exempel"> 
== Exempel 1 ==
<big>
Bestäm decimalernas värden i decimaltalet <math> \, 235{\bf{\color{Red},}}{\color{LimeGreen} {178}} \, </math>. Beräkna decimaltalets värde utgående från decimalernas värden.

Lösning:

:Första decimalen <math> \, {\color{LimeGreen} 1} \, </math> har positionen tiondel och därmed värdet <math> \, {\color{LimeGreen} 1} \cdot 0,1 \, = \, {\color{Red}{0,1}} </math>.

:Andra decimalen <math> \, {\color{LimeGreen} 7} \, </math> har positionen hundradel och därmed värdet <math> \, {\color{LimeGreen} 7} \cdot 0,01 \, = \, {\color{Red}{0,07}} \, </math>.

:Tredje decimalen <math> \, {\color{LimeGreen} 8} \, </math> har positionen tusendel och därmed värdet <math> \, {\color{LimeGreen} 8} \cdot 0,001 \, = \, {\color{Red}{0,008}} \, </math>.

Summerar man alla decimalers värden beräknas decimaltalets värde till:

:::<math> 235 \quad {\bf+} \quad {\color{Red}{0,1 \, + \, 0,07 \, + \, 0,008}} \quad = \quad 235\,{\bf{\color{Red},}}\,{\color{LimeGreen} {178}} </math>
</big></div> 

<big>Samma [[1.1_Om_tal#Exempel_1|regel]] som gällde för heltal, gäller för decimaltal, fast lite annorlunda formulerad:
<div class="border-divblue">
I det decimala positionssystemet har varje position ett <math> \, 10 \, </math> gånger mindre värde än positionen till vänster.
</div></big>

<big>Praktiska slutsatser ur denna regel:</big>

<div class="exempel"> 
== Exempel 2 ==
<big>

::::<math> 235\,{\bf{\color{Red},}}\,178 \, \cdot \, 0,1 \, = \, 23\,{\bf{\color{Red},}}\,5178 </math>

::::<math> 235\,{\bf{\color{Red},}}\,178 \, \cdot \, 0,01 \, = \, 2\,{\bf{\color{Red},}}\,35178 </math>

::::<math> 235\,{\bf{\color{Red},}}\,178 \, \cdot \, 0,001 \, = \, 0\,{\bf{\color{Red},}}\,235\,178 </math>
</big></div> 

<big>Att multiplicera med <math> \, 0,1 \, </math> innebär att förminska med faktorn <math> \, 10 \, </math> dvs att flytta decimaltecknet <math> \, 1 \, </math> position till vänster.

Att multiplicera med <math> \, 0,01 \, </math> innebär att förminska med faktorn <math> \, 100 \, </math> dvs att flytta decimaltecknet <math> \, 2 \, </math>positioner till vänster.

Att multiplicera med <math> \, 0,001 \, </math> innebäratt förminska med faktorn <math> \, 1\,000 \, </math> dvs att flytta decimaltecknet <math> \, 3 \, </math>positioner till vänster.</big>

== Kan ett heltal vara decimaltal? ==

<big>Om decimaltal ligger mellan två heltal, hur ligger det till med heltalen själva?</big>

<div class="exempel"> 

== Exempel 3 ==
<big>
Är <math> \, 7\,142 \, </math> ett heltal eller ett decimaltal? Motivera.

Svar:

::<math> \, 7\,142 \, </math> är både heltal och decimaltal.

::Heltal, därför att det inte finns något decimaltecken i det.

::Decimaltal, därför att man kan sätta ett decimaltecken och skriva: <math> \qquad 7\,142 \; = \; 7\,142 \, {\bf{\color{Red},}} \, {\color{LimeGreen} {000\, \ldots}} </math>
</big></div> 

<div class="tolv"> 
Detta är bara ett exempel på följande generell egenskap:
<div class="border-divblue">
Alla heltal är decimaltal, men inte tvärtom.
</div> 

Praktiskt taget kan man tillfoga till alla heltal ett decimaltecken följt av nollor, så att heltalet blir decimaltal. Detta i sin tur beror på följande:

Mängden av alla heltal är en delmängd av alla decimaltal, se bilden i [[1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal|Olika typer av tal]], där decimaltal <math> \, = \, </math> rationella & reella tal.

Exempel 3 leder även till följande praktisk regel:
<div class="border-divblue">
Alla nollor efter decimaltecknet kan utelämnas, om ingen siffra <math> \neq 0 \, </math> följer efter nollorna.
</div> 

Anledningen till denna regel är att sådana nollor efter decimaltecknet inte bidrar något (dvs bidrar värdet <math> \, 0 </math>) till decimaltalets värde.
</div> 

== Placering av decimaltal på tallinjen ==
<div class="tolv"> 
Kunskapen om decimaltalens värde ska hjälpa oss att ha en uppfattning om decimaltalens storlek och deras korrekta placering på tallinjen.
</div> 

<div class="exempel"> 
== Exempel 4 ==
<big>
Vilket decimaltal pekar pilen på?   <math>\quad </math> [[Image: Decimaltallinje_60.jpg]]

Lösning:

::::::::::[[Image: Decimaltallinje_Svar_60.jpg]]

Förklaring:

:::* Vi befinner oss på den negativa delen av tallinjen.
:::* Skalans minsta steg på tallinjen är: <math> \; 1 \,/\, 4 \, = \, \displaystyle{{1 \over 4} \, = \, {1 \cdot {\color{Red} 5} \over 4 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {5 \over 20} \, = \, {5 \cdot {\color{Red} 5} \over 20 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {25 \over 100}} \, = \, 0,25 </math>
:::* Det sökta decimaltalet ligger mellan heltalen <math> \, -4 \, </math> och <math> \, -5 </math>.
:::* Utgående från <math> \, -4 \, </math> rör vi oss tre steg till vänster för att hitta det sökta decimaltalet: <math> \, -4 \,-\, 0,25 \,-\, 0,25 \,-\, 0,25 \, = \, {\color{Red} {-4,75}}</math>.
</big></div> 

<div class="tolv"> 
Omvandlingen av <math> \, 1 \,/\, 4 \, </math> till <math> \, 0,25 \, </math> i förklaringen ovan är ett exempel på användningen av viktiga decimaltal. Här sammanfattas några:
</div> 

<div class="exempel"> 
== Viktiga decimaltal ==
<big>
<table>
<tr>
<td>
:::<math> \displaystyle{ 0,1 \, = \, {1 \over 10} } </math>

:::<math> \displaystyle{ 0,01 \, = \, {1 \over 100} } </math>

:::<math> \displaystyle{ 0,001 \, = \, {1 \over 1000} } </math>
</td>
<td>
::::<math> \displaystyle{ 0,5 \, = \, {1 \over 2} } </math>

::::<math> \displaystyle{ 0,25 \, = \, {1 \over 4} } </math>

::::<math> \displaystyle{ 0,75 \, = \, {3 \over 4} } </math>
</td>
<td>
::::<math> \displaystyle{ 0,333\,333\,\ldots \, = \, {1 \over 3} } </math>

::::<math> \displaystyle{ 0,666\,666\,\ldots \, = \, {2 \over 3} } </math>

::::<math> \displaystyle{ 0,111\,111\,\ldots \, = \, {1 \over 9} } </math>
</td>
<td>
::::<math> \pi \quad = \, 3,141592653589793\,\ldots </math>

::::<math> \sqrt{2} \, = \, 1,414213562373095\,\ldots </math>

::::<math> \sqrt{3} \, = \, 1,732050807568877\,\ldots </math>

</td>
</tr>
</table>
</big>
</div> 

<div class="tolv"> 
I exemplen ovan kan man skilja åt tre grupper:
:*   Decimaltal med s.k. ändlig decimalutveckling, t.ex. <math> \, 0,75 \, </math> och alla decimaltal i de två första kolumnerna ovan.
:*   Decimaltal med s.k. periodisk decimalutveckling, t.ex. <math> \, 333\,333\,\ldots \, </math> och alla decimaltal i den tredje kolumnen.
:*   Decimaltal med s.k. icke-periodisk decimalutveckling, t.ex. <math> \, \pi \, = \, 3,141592653589793\,\ldots \, </math> och alla decimaltal i den fjärde kolumnen.

De två första grupperna bildar de rationella talen, medan den tredje gruppen tillhör de reella talen, se [[1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal|Olika typer av tal]].

Alla ändliga och periodiska decimalutvecklingar kan man skriva i bråkform (rationella), medan det inte längre går med de icke-periodiska (reella).
</div> 

== Ändlig decimalutveckling ==
<div class="tolv"> 
Så kallas decimaltal med ändligt många decimaler <math>-</math> den vanligaste typen av decimaltal <math>-</math> om man följer den redan nämnda [[1.3 Decimaltal#Exempel_2|regeln]] att utelämna nollorna efter decimaltecknet, t.ex. <math> \,0,75\,000\,000\,\ldots \, = \, 0,75 \, </math>.

Ändliga decimalutvecklingar kan alltid skrivas om till bråk. Omvänt kan bråk alltid skrivas om till ändliga eller periodiska decimalutvecklingar.

För att skriva decimaltal till bråk skrivs decimaltalet som ett bråk med en <math> \, 10</math>-potens (<math> \, 1 \, </math> med nollor) i nämnaren och förkortas så långt som möjligt:
</div> 

<div class="exempel"> 
== Exempel 5 ==
<big>
a)   Skriv <math> \; 0,75 \; </math> i bråkform.

      Lösning: <math> \; 0,75 \, = \, \displaystyle{{75 \over 100} \, = \, {15 \cdot {\color{Red} 5} \over 20 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {3 \cdot {\color{Red} {5 \cdot 5}} \over 4 \cdot {\color{Red} {5 \cdot 5}}} \, = \, {3 \cdot \cancel{\color{Red} {5 \cdot 5}} \over 4 \cdot \cancel{\color{Red} {5 \cdot 5}}} \, = \, {3 \over 4} } </math>

b)   Skriv <math> \; 0,125 \; </math> i bråkform.

      Lösning: <math> \; 0,125 \, = \, \displaystyle{{125 \over 1000} \, = \, {25 \cdot {\color{Red} 5} \over 200 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {5 \cdot {\color{Red} {5 \cdot 5}} \over 40 \cdot {\color{Red} {5 \cdot 5}}} \, = \, {1 \cdot {\color{Red} {5 \cdot 5 \cdot 5}} \over 8 \cdot {\color{Red} {5 \cdot 5 \cdot 5}}} \, = \, {1 \cdot \cancel{\color{Red} {5 \cdot 5 \cdot 5}} \over 8 \cdot \cancel{\color{Red} {5 \cdot 5 \cdot 5}}} \, = \, {1 \over 8} } </math>
</big></div> 

<div class="tolv"> 
Omvänt: För att skriva bråk till decimaltal förlängs bråket med målet att åstadkomma en <math> \, 10</math>-potens (<math> \, 1 \, </math> med nollor) i nämnaren. Är detta möjligt kan ändlig decimalutveckling uppnås. Annars är endast periodisk decimalutveckling möjlig som kan åstadkommas med metoder liknande [[1.3_Decimaltal#Exempel_7|Exempel 7]].
</div> 

<div class="exempel"> 
== Exempel 6 ==
<big>
a)   Skriv <math> \; \displaystyle{3 \over 4} \; </math> till decimaltal.

       Lösning: <math> \; \displaystyle{{3 \over 4} \, = \, {3 \cdot {\color{Red} 5} \over 4 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {15 \over 20} \, = \, {15 \cdot {\color{Red} 5} \over 20 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {75 \over 100}} \, = \, 0,75 </math>

b)   Skriv <math> \; \displaystyle{1 \over 8} \; </math> till decimaltal.

       Lösning: <math> \; \displaystyle{{1 \over 8} \, = \, {1 \cdot {\color{Red} 5} \over 8 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {5 \over 40} \, = \, {5 \cdot {\color{Red} 5} \over 40 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {25 \cdot {\color{Red} 5} \over 200 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {125 \over 1000}} \, = \, 0,125 </math>
</big></div> 

== Periodisk decimalutveckling ==
<div class="tolv"> 
Så kallas decimaltal med oändligt många decimaler där decimalerna upprepas enligt ett mönster antingen som en enskild siffra eller gruppvis. Mönstret kallas för period. T.ex. har den periodiska decimalutvecklingen <math> \, 0,333\,333\,\ldots \, </math> perioden <math> \, 3 \, </math>, medan <math> \, 0,363636 \ldots \, </math> har perioden <math> \, 36 \, </math>.

Periodiska decimalutvecklingar kan inte skrivas om till bråk med en <math> \, 10</math>-potens i nämnaren, därför att de har oändligt många decimaler. Deras nämnare kan därför inte vara en <math> \, 10</math>-potens. Andra hjälpmedel än för ändliga decimalutvecklingar måste användas för att åstadkomma denna omskrivning:
</div> 

<div class="exempel"> 
== Exempel 7 ==
<big>
a)   Skriv <math> \; 0,333\,333\,\ldots \; </math> i bråkform.

      Lösning: <math> \quad \quad\; 10 \; \cdot \; 0,333\,333\,\ldots \; = \; 3,333\,333\,\ldots \qquad\qquad {\rm (I)} </math>

      Lösning: <math> \quad\; \underline{\quad\; 1 \;\, \cdot \; 0,333\,333\,\ldots \; = \; 0,333\,333\,\ldots} \qquad\qquad {\rm (II)} </math>

::<math>{\rm (I)-(II)} \quad\quad\! 9 \;\; \cdot \; 0,333\,333\,\ldots \; = \; 3 </math>

:::::::<math> \quad\, 0,333\,333\,\ldots \: = \: \displaystyle{3 \over 9} \; = \; {1 \cdot \cancel{\color{Red} 3} \over 3 \cdot \cancel{\color{Red} 3}} </math>

:::::::<math> \quad\, 0,333\,333\,\ldots \: = \: \displaystyle{1 \over 3} </math>

b)   Skriv <math> \; \displaystyle{1 \over 3} \; </math> till decimaltal.

       Lösning:

       Låt miniräknaren dividera <math> \, 1 \,/\, 3 \, </math> så får du:

:::<math> \quad\, \displaystyle{1 \over 3} \: = \: 0,333\,333\,\ldots </math>

       Samma resultat skulle även manuell division <math> \, 1 \,/\, 3 \, </math> ge, vilket vi dock inte vill genomföra här.
</big></div> 

== Icke-periodisk decimalutveckling ==
<div class="tolv"> 
Så kallas decimaltal som har oändligt många decimaler utan något upprepande mönster (utan period), t.ex.:

:::::::<math>\sqrt{2} \; = \; 1,4142135623730950488016887\ldots \, </math>

Detta decimaltal är en icke-periodisk decimalutveckling, för det har inte bara oändligt många decimaler. Det har framför allt inga grupper av siffror som upprepas, dvs det har ingen period. Därför kan decimaltalet inte skrivas i bråkform.

Därmed är <math> \sqrt{2} \, </math> inget rationellt utan ett irrationellt tal, se även [[1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal|Olika typer av tal]]. Ändå är <math> \, \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \; = \; 2 \, </math> dvs ett heltal.

Ett annat exempel är talet [[1.3 Decimaltal#Viktiga_decimaltal|<big><math> \, \pi </math></big>]]. Det finns oändligt många irrationella tal. Inget sådant kan skrivas i bråkform.
</div> 

== Internetlänkar ==

https://www.elevspel.se/amnen/matematik/539-decimaltal.html

http://www.youtube.com/watch?v=6aGAzibVJ5M

http://nomp.se/nomp/#/!/matematik/52/braktal/ova-pa-skriv-braktal-som-decimaltal/52.FRACTIONS.3

https://www.youtube.com/watch?v=kTWP-n9-PEM

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

1.3 Decimaltal+

2015-07-27T12:51:48Z

MarcusChristian:

{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[1.2 Räkneordning| <-- Förra avsnitt]]}}
{{Selected tab|[[1.3 Decimaltal|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[1.3.2_Avrundning och värdesiffror|Avrundning & värdesiffror]]}}
{{Not selected tab|[[1.3 Övningar till Decimaltal|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Negativa tal|Nästa avsnitt -->]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}

[[Media: Lektion 3 Decimaltal Ruta.pdf|Lektion 3 Decimaltal]]
__NOTOC__ 
== Tal mellan två heltal ==
<div class="tolv"> 
Decimaltal <math>-</math> eller tal i decimalform <math>-</math> är tal som ligger mellan två [[1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal|heltal]].

För att visa decimaltal fortsätter man med [[1.1_Om_tal#Det_decimala_positionssystemet|det decimala positionssystemet]].
</div> 

<div class="ovnE">

[[Image: Decimaltal_60a.jpg]]

</div>

<div class="tolv"> 
Heltalens framställning i det decimala positionssystemet förklarades i avsnittet [[1.1_Om_tal#Exempel_1|Om tal, Exempel 1]].

Till heltalsdelen <math> 235</math>:s lägger man till några bråkdelar av <math> \, 1 \, </math> efter decimaltecknet, närmare bestämt decimalerna <math> \, \ldots{\bf{\color{Red},}}{\color{LimeGreen} {178}} \, </math>.

På så sätt hamnar decimaltalets värde mellan heltalen <math> \, 235 \, </math> och <math> \, 236 </math>.
</div> 

<div class="exempel"> 
== Exempel 1 ==
<big>
Bestäm decimalernas värden i decimaltalet <math> \, 235{\bf{\color{Red},}}{\color{LimeGreen} {178}} \, </math>. Beräkna decimaltalets värde utgående från decimalernas värden.

Lösning:

:Första decimalen <math> \, {\color{LimeGreen} 1} \, </math> har positionen tiondel och därmed värdet <math> \, {\color{LimeGreen} 1} \cdot 0,1 \, = \, {\color{Red}{0,1}} </math>.

:Andra decimalen <math> \, {\color{LimeGreen} 7} \, </math> har positionen hundradel och därmed värdet <math> \, {\color{LimeGreen} 7} \cdot 0,01 \, = \, {\color{Red}{0,07}} \, </math>.

:Tredje decimalen <math> \, {\color{LimeGreen} 8} \, </math> har positionen tusendel och därmed värdet <math> \, {\color{LimeGreen} 8} \cdot 0,001 \, = \, {\color{Red}{0,008}} \, </math>.

Summerar man alla decimalers värden beräknas decimaltalets värde till:

:::<math> 235 \quad {\bf+} \quad {\color{Red}{0,1 \, + \, 0,07 \, + \, 0,008}} \quad = \quad 235\,{\bf{\color{Red},}}\,{\color{LimeGreen} {178}} </math>
</big></div> 

<big>Samma [[1.1_Om_tal#Exempel_1|regel]] som gällde för heltal, gäller för decimaltal, fast lite annorlunda formulerad:
<div class="border-divblue">
I det decimala positionssystemet har varje position ett <math> \, 10 \, </math> gånger mindre värde än positionen till vänster.
</div></big>

<big>Praktiska slutsatser ur denna regel:</big>

<div class="exempel"> 
== Exempel 2 ==
<big>

::::<math> 235\,{\bf{\color{Red},}}\,178 \, \cdot \, 0,1 \, = \, 23\,{\bf{\color{Red},}}\,5178 </math>

::::<math> 235\,{\bf{\color{Red},}}\,178 \, \cdot \, 0,01 \, = \, 2\,{\bf{\color{Red},}}\,35178 </math>

::::<math> 235\,{\bf{\color{Red},}}\,178 \, \cdot \, 0,001 \, = \, 0\,{\bf{\color{Red},}}\,235\,178 </math>
</big></div> 

<big>Att multiplicera med <math> \, 0,1 \, </math> innebär att förminska med faktorn <math> \, 10 \, </math> dvs att flytta decimaltecknet <math> \, 1 \, </math> position till vänster.

Att multiplicera med <math> \, 0,01 \, </math> innebär att förminska med faktorn <math> \, 100 \, </math> dvs att flytta decimaltecknet <math> \, 2 \, </math>positioner till vänster.

Att multiplicera med <math> \, 0,001 \, </math> innebäratt förminska med faktorn <math> \, 1\,000 \, </math> dvs att flytta decimaltecknet <math> \, 3 \, </math>positioner till vänster.</big>

== Kan ett heltal vara decimaltal? ==

<big>Om decimaltal ligger mellan två heltal, hur ligger det till med heltalen själva?</big>

<div class="exempel"> 

== Exempel 3 ==
<big>
Är <math> \, 7\,142 \, </math> ett heltal eller ett decimaltal? Motivera.

Svar:

::<math> \, 7\,142 \, </math> är både heltal och decimaltal.

::Heltal, därför att det inte finns något decimaltecken i det.

::Decimaltal, därför att man kan sätta ett decimaltecken och skriva: <math> \qquad 7\,142 \; = \; 7\,142 \, {\bf{\color{Red},}} \, {\color{LimeGreen} {000\, \ldots}} </math>
</big></div> 

<div class="tolv"> 
Detta är bara ett exempel på följande generell egenskap:
<div class="border-divblue">
Alla heltal är decimaltal, men inte tvärtom.
</div> 

Praktiskt taget kan man tillfoga till alla heltal ett decimaltecken följt av nollor, så att heltalet blir decimaltal. Detta i sin tur beror på följande:

Mängden av alla heltal är en delmängd av alla decimaltal, se bilden i [[1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal|Olika typer av tal]], där decimaltal <math> \, = \, </math> rationella & reella tal.

Exempel 3 leder även till följande praktisk regel:
<div class="border-divblue">
Alla nollor efter decimaltecknet kan utelämnas, om ingen siffra <math> \neq 0 \, </math> följer efter nollorna.
</div> 

Anledningen till denna regel är att sådana nollor efter decimaltecknet inte bidrar något (dvs bidrar värdet <math> \, 0 </math>) till decimaltalets värde.
</div> 

== Placering av decimaltal på tallinjen ==
<div class="tolv"> 
Kunskapen om decimaltalens värde ska hjälpa oss att ha en uppfattning om decimaltalens storlek och deras korrekta placering på tallinjen.
</div> 

<div class="exempel"> 
== Exempel 4 ==
<big>
Vilket decimaltal pekar pilen på?   <math>\quad </math> [[Image: Decimaltallinje_60.jpg]]

Lösning:

::::::::::[[Image: Decimaltallinje_Svar_60.jpg]]

Förklaring:

:::* Vi befinner oss på den negativa delen av tallinjen.
:::* Skalans minsta steg på tallinjen är: <math> \; 1 \,/\, 4 \, = \, \displaystyle{{1 \over 4} \, = \, {1 \cdot {\color{Red} 5} \over 4 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {5 \over 20} \, = \, {5 \cdot {\color{Red} 5} \over 20 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {25 \over 100}} \, = \, 0,25 </math>
:::* Det sökta decimaltalet ligger mellan heltalen <math> \, -4 \, </math> och <math> \, -5 </math>.
:::* Utgående från <math> \, -4 \, </math> rör vi oss tre steg till vänster för att hitta det sökta decimaltalet: <math> \, -4 \,-\, 0,25 \,-\, 0,25 \,-\, 0,25 \, = \, {\color{Red} {-4,75}}</math>.
</big></div> 

<div class="tolv"> 
Omvandlingen av <math> \, 1 \,/\, 4 \, </math> till <math> \, 0,25 \, </math> i förklaringen ovan är ett exempel på användningen av viktiga decimaltal. Här sammanfattas några:
</div> 

<div class="exempel"> 
== Viktiga decimaltal ==
<big>
<table>
<tr>
<td>
:::<math> \displaystyle{ 0,1 \, = \, {1 \over 10} } </math>

:::<math> \displaystyle{ 0,01 \, = \, {1 \over 100} } </math>

:::<math> \displaystyle{ 0,001 \, = \, {1 \over 1000} } </math>
</td>
<td>
::::<math> \displaystyle{ 0,5 \, = \, {1 \over 2} } </math>

::::<math> \displaystyle{ 0,25 \, = \, {1 \over 4} } </math>

::::<math> \displaystyle{ 0,75 \, = \, {3 \over 4} } </math>
</td>
<td>
::::<math> \displaystyle{ 0,333\,333\,\ldots \, = \, {1 \over 3} } </math>

::::<math> \displaystyle{ 0,666\,666\,\ldots \, = \, {2 \over 3} } </math>

::::<math> \displaystyle{ 0,111\,111\,\ldots \, = \, {1 \over 9} } </math>
</td>
<td>
::::<math> \pi \quad = \, 3,141592653589793\,\ldots </math>

::::<math> \sqrt{2} \, = \, 1,414213562373095\,\ldots </math>

::::<math> \sqrt{3} \, = \, 1,732050807568877\,\ldots </math>

</td>
</tr>
</table>
</big>
</div> 

<div class="tolv"> 
I exemplen ovan kan man skilja åt tre grupper:
:*   Decimaltal med s.k. ändlig decimalutveckling, t.ex. <math> \, 0,75 \, </math> och alla decimaltal i de två första kolumnerna ovan.
:*   Decimaltal med s.k. periodisk decimalutveckling, t.ex. <math> \, 333\,333\,\ldots \, </math> och alla decimaltal i den tredje kolumnen.
:*   Decimaltal med s.k. icke-periodisk decimalutveckling, t.ex. <math> \, \pi \, = \, 3,141592653589793\,\ldots \, </math> och alla decimaltal i den fjärde kolumnen.

De två första grupperna bildar de rationella talen, medan den tredje gruppen tillhör de reella talen, se [[1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal|Olika typer av tal]].

Alla ändliga och periodiska decimalutvecklingar kan man skriva i bråkform (rationella), medan det inte längre går med de icke-periodiska (reella).
</div> 

== Ändlig decimalutveckling ==
<div class="tolv"> 
Så kallas decimaltal med ändligt många decimaler <math>-</math> den vanligaste typen av decimaltal <math>-</math> om man följer den redan nämnda [[1.3 Decimaltal#Exempel_2|regeln]] att utelämna nollorna efter decimaltecknet, t.ex. <math> \,0,75\,000\,000\,\ldots \, = \, 0,75 \, </math>.

Ändliga decimalutvecklingar kan alltid skrivas om till bråk. Omvänt kan bråk alltid skrivas om till ändliga eller periodiska decimalutvecklingar.

För att skriva decimaltal till bråk skrivs decimaltalet som ett bråk med en <math> \, 10</math>-potens (<math> \, 1 \, </math> med nollor) i nämnaren och förkortas så långt som möjligt:
</div> 

<div class="exempel"> 
== Exempel 5 ==
<big>
a)   Skriv <math> \; 0,75 \; </math> i bråkform.

      Lösning: <math> \; 0,75 \, = \, \displaystyle{{75 \over 100} \, = \, {15 \cdot {\color{Red} 5} \over 20 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {3 \cdot {\color{Red} {5 \cdot 5}} \over 4 \cdot {\color{Red} {5 \cdot 5}}} \, = \, {3 \cdot \cancel{\color{Red} {5 \cdot 5}} \over 4 \cdot \cancel{\color{Red} {5 \cdot 5}}} \, = \, {3 \over 4} } </math>

b)   Skriv <math> \; 0,125 \; </math> i bråkform.

      Lösning: <math> \; 0,125 \, = \, \displaystyle{{125 \over 1000} \, = \, {25 \cdot {\color{Red} 5} \over 200 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {5 \cdot {\color{Red} {5 \cdot 5}} \over 40 \cdot {\color{Red} {5 \cdot 5}}} \, = \, {1 \cdot {\color{Red} {5 \cdot 5 \cdot 5}} \over 8 \cdot {\color{Red} {5 \cdot 5 \cdot 5}}} \, = \, {1 \cdot \cancel{\color{Red} {5 \cdot 5 \cdot 5}} \over 8 \cdot \cancel{\color{Red} {5 \cdot 5 \cdot 5}}} \, = \, {1 \over 8} } </math>
</big></div> 

<div class="tolv"> 
Omvänt: För att skriva bråk till decimaltal förlängs bråket med målet att åstadkomma en <math> \, 10</math>-potens (<math> \, 1 \, </math> med nollor) i nämnaren. Är detta möjligt kan ändlig decimalutveckling uppnås. Annars är endast periodisk decimalutveckling möjlig som kan åstadkommas med metoder liknande [[1.3_Decimaltal#Exempel_7|Exempel 7]].
</div> 

<div class="exempel"> 
== Exempel 6 ==
<big>
a)   Skriv <math> \; \displaystyle{3 \over 4} \; </math> till decimaltal.

       Lösning: <math> \; \displaystyle{{3 \over 4} \, = \, {3 \cdot {\color{Red} 5} \over 4 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {15 \over 20} \, = \, {15 \cdot {\color{Red} 5} \over 20 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {75 \over 100}} \, = \, 0,75 </math>

b)   Skriv <math> \; \displaystyle{1 \over 8} \; </math> till decimaltal.

       Lösning: <math> \; \displaystyle{{1 \over 8} \, = \, {1 \cdot {\color{Red} 5} \over 8 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {5 \over 40} \, = \, {5 \cdot {\color{Red} 5} \over 40 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {25 \cdot {\color{Red} 5} \over 200 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {125 \over 1000}} \, = \, 0,125 </math>
</big></div> 

== Periodisk decimalutveckling ==
<div class="tolv"> 
Så kallas decimaltal med oändligt många decimaler där decimalerna upprepas enligt ett mönster antingen som en enskild siffra eller gruppvis. Mönstret kallas för period. T.ex. har den periodiska decimalutvecklingen <math> \, 0,333\,333\,\ldots \, </math> perioden <math> \, 3 \, </math>, medan <math> \, 0,363636 \ldots \, </math> har perioden <math> \, 36 \, </math>.

Periodiska decimalutvecklingar kan inte skrivas om till bråk med en <math> \, 10</math>-potens i nämnaren, därför att de har oändligt många decimaler. Deras nämnare kan därför inte vara en <math> \, 10</math>-potens. Andra hjälpmedel än för ändliga decimalutvecklingar måste användas för att åstadkomma denna omskrivning:
</div> 

<div class="exempel"> 
== Exempel 7 ==
<big>
a)   Skriv <math> \; 0,333\,333\,\ldots \; </math> i bråkform.

      Lösning: <math> \quad \quad\; 10 \; \cdot \; 0,333\,333\,\ldots \; = \; 3,333\,333\,\ldots \qquad\qquad {\rm (I)} </math>

      Lösning: <math> \quad\; \underline{\quad\; 1 \;\, \cdot \; 0,333\,333\,\ldots \; = \; 0,333\,333\,\ldots} \qquad\qquad {\rm (II)} </math>

::<math>{\rm (I)-(II)} \quad\quad\! 9 \;\; \cdot \; 0,333\,333\,\ldots \; = \; 3 </math>

:::::::<math> \quad\, 0,333\,333\,\ldots \: = \: \displaystyle{3 \over 9} \; = \; {1 \cdot \cancel{\color{Red} 3} \over 3 \cdot \cancel{\color{Red} 3}} </math>

:::::::<math> \quad\, 0,333\,333\,\ldots \: = \: \displaystyle{1 \over 3} </math>

b)   Skriv <math> \; \displaystyle{1 \over 3} \; </math> till decimaltal.

       Lösning:

       Låt miniräknaren dividera <math> \, 1 \,/\, 3 \, </math> så får du:

:::<math> \quad\, \displaystyle{1 \over 3} \: = \: 0,333\,333\,\ldots </math>

       Samma resultat skulle även manuell division <math> \, 1 \,/\, 3 \, </math> ge, vilket vi dock inte vill genomföra här.
</big></div> 

== Icke-periodisk decimalutveckling ==
<div class="tolv"> 
Så kallas decimaltal som har oändligt många decimaler utan något upprepande mönster (utan period), t.ex.:

::::::<math>\sqrt{2} \; = \; 1,4142135623730950488016887\ldots \, </math>

Detta decimaltal är en icke-periodisk decimalutveckling, för det har inte bara oändligt många decimaler. Det har framför allt inga grupper av siffror som upprepas, dvs det har ingen period. Därför kan decimaltalet inte skrivas i bråkform.

Därmed är <math> \sqrt{2} \, </math> inget rationellt utan ett irrationellt tal, se även [[1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal|Olika typer av tal]]. Ändå är <math> \, \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \; = \; 2 \, </math> dvs ett heltal.

Ett annat exempel är talet [[1.3 Decimaltal#Viktiga_decimaltal|<big><math> \, \pi </math></big>]]. Det finns oändligt många irrationella tal. Inget sådant kan skrivas i bråkform.
</div> 

== Internetlänkar ==

https://www.elevspel.se/amnen/matematik/539-decimaltal.html

http://www.youtube.com/watch?v=6aGAzibVJ5M

http://nomp.se/nomp/#/!/matematik/52/braktal/ova-pa-skriv-braktal-som-decimaltal/52.FRACTIONS.3

https://www.youtube.com/watch?v=kTWP-n9-PEM

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

1.3 Decimaltal+

2015-07-27T12:49:18Z

MarcusChristian:

{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[1.2 Räkneordning| <-- Förra avsnitt]]}}
{{Selected tab|[[1.3 Decimaltal|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[1.3.2_Avrundning och värdesiffror|Avrundning & värdesiffror]]}}
{{Not selected tab|[[1.3 Övningar till Decimaltal|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Negativa tal|Nästa avsnitt -->]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}

[[Media: Lektion 3 Decimaltal Ruta.pdf|Lektion 3 Decimaltal]]
__NOTOC__ 
== Tal mellan två heltal ==
<div class="tolv"> 
Decimaltal <math>-</math> eller tal i decimalform <math>-</math> är tal som ligger mellan två [[1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal|heltal]].

För att visa decimaltal fortsätter man med [[1.1_Om_tal#Det_decimala_positionssystemet|det decimala positionssystemet]].
</div> 

<div class="ovnE">

[[Image: Decimaltal_60a.jpg]]

</div>

<div class="tolv"> 
Heltalens framställning i det decimala positionssystemet förklarades i avsnittet [[1.1_Om_tal#Exempel_1|Om tal, Exempel 1]].

Till heltalsdelen <math> 235</math>:s lägger man till några bråkdelar av <math> \, 1 \, </math> efter decimaltecknet, närmare bestämt decimalerna <math> \, \ldots{\bf{\color{Red},}}{\color{LimeGreen} {178}} \, </math>.

På så sätt hamnar decimaltalets värde mellan heltalen <math> \, 235 \, </math> och <math> \, 236 </math>.
</div> 

<div class="exempel"> 
== Exempel 1 ==
<big>
Bestäm decimalernas värden i decimaltalet <math> \, 235{\bf{\color{Red},}}{\color{LimeGreen} {178}} \, </math>. Beräkna decimaltalets värde utgående från decimalernas värden.

Lösning:

:Första decimalen <math> \, {\color{LimeGreen} 1} \, </math> har positionen tiondel och därmed värdet <math> \, {\color{LimeGreen} 1} \cdot 0,1 \, = \, {\color{Red}{0,1}} </math>.

:Andra decimalen <math> \, {\color{LimeGreen} 7} \, </math> har positionen hundradel och därmed värdet <math> \, {\color{LimeGreen} 7} \cdot 0,01 \, = \, {\color{Red}{0,07}} \, </math>.

:Tredje decimalen <math> \, {\color{LimeGreen} 8} \, </math> har positionen tusendel och därmed värdet <math> \, {\color{LimeGreen} 8} \cdot 0,001 \, = \, {\color{Red}{0,008}} \, </math>.

Summerar man alla decimalers värden beräknas decimaltalets värde till:

:::<math> 235 \quad {\bf+} \quad {\color{Red}{0,1 \, + \, 0,07 \, + \, 0,008}} \quad = \quad 235\,{\bf{\color{Red},}}\,{\color{LimeGreen} {178}} </math>
</big></div> 

<big>Samma [[1.1_Om_tal#Exempel_1|regel]] som gällde för heltal, gäller för decimaltal, fast lite annorlunda formulerad:
<div class="border-divblue">
I det decimala positionssystemet har varje position ett <math> \, 10 \, </math> gånger mindre värde än positionen till vänster.
</div></big>

<big>Praktiska slutsatser ur denna regel:</big>

<div class="exempel"> 
== Exempel 2 ==
<big>

::::<math> 235\,{\bf{\color{Red},}}\,178 \, \cdot \, 0,1 \, = \, 23\,{\bf{\color{Red},}}\,5178 </math>

::::<math> 235\,{\bf{\color{Red},}}\,178 \, \cdot \, 0,01 \, = \, 2\,{\bf{\color{Red},}}\,35178 </math>

::::<math> 235\,{\bf{\color{Red},}}\,178 \, \cdot \, 0,001 \, = \, 0\,{\bf{\color{Red},}}\,235\,178 </math>
</big></div> 

<big>Att multiplicera med <math> \, 0,1 \, </math> innebär att förminska med faktorn <math> \, 10 \, </math> dvs att flytta decimaltecknet <math> \, 1 \, </math> position till vänster.

Att multiplicera med <math> \, 0,01 \, </math> innebär att förminska med faktorn <math> \, 100 \, </math> dvs att flytta decimaltecknet <math> \, 2 \, </math>positioner till vänster.

Att multiplicera med <math> \, 0,001 \, </math> innebäratt förminska med faktorn <math> \, 1\,000 \, </math> dvs att flytta decimaltecknet <math> \, 3 \, </math>positioner till vänster.</big>

== Kan ett heltal vara decimaltal? ==

<big>Om decimaltal ligger mellan två heltal, hur ligger det till med heltalen själva?</big>

<div class="exempel"> 

== Exempel 3 ==
<big>
Är <math> \, 7\,142 \, </math> ett heltal eller ett decimaltal? Motivera.

Svar:

::<math> \, 7\,142 \, </math> är både heltal och decimaltal.

::Heltal, därför att det inte finns något decimaltecken i det.

::Decimaltal, därför att man kan sätta ett decimaltecken och skriva: <math> \qquad 7\,142 \; = \; 7\,142 \, {\bf{\color{Red},}} \, {\color{LimeGreen} {000\, \ldots}} </math>
</big></div> 

<div class="tolv"> 
Detta är bara ett exempel på följande generell egenskap:
<div class="border-divblue">
Alla heltal är decimaltal, men inte tvärtom.
</div> 

Praktiskt taget kan man tillfoga till alla heltal ett decimaltecken följt av nollor, så att heltalet blir decimaltal. Detta i sin tur beror på följande:

Mängden av alla heltal är en delmängd av alla decimaltal, se bilden i [[1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal|Olika typer av tal]], där decimaltal <math> \, = \, </math> rationella & reella tal.

Exempel 3 leder även till följande praktisk regel:
<div class="border-divblue">
Alla nollor efter decimaltecknet kan utelämnas, om ingen siffra <math> \neq 0 \, </math> följer efter nollorna.
</div> 

Anledningen till denna regel är att sådana nollor efter decimaltecknet inte bidrar något (dvs bidrar värdet <math> \, 0 </math>) till decimaltalets värde.
</div> 

== Placering av decimaltal på tallinjen ==
<div class="tolv"> 
Kunskapen om decimaltalens värde ska hjälpa oss att ha en uppfattning om decimaltalens storlek och deras korrekta placering på tallinjen.
</div> 

<div class="exempel"> 
== Exempel 4 ==
<big>
Vilket decimaltal pekar pilen på?   <math>\quad </math> [[Image: Decimaltallinje_60.jpg]]

Lösning:

::::::::::[[Image: Decimaltallinje_Svar_60.jpg]]

Förklaring:

:::* Vi befinner oss på den negativa delen av tallinjen.
:::* Skalans minsta steg på tallinjen är: <math> \; 1 \,/\, 4 \, = \, \displaystyle{{1 \over 4} \, = \, {1 \cdot {\color{Red} 5} \over 4 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {5 \over 20} \, = \, {5 \cdot {\color{Red} 5} \over 20 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {25 \over 100}} \, = \, 0,25 </math>
:::* Det sökta decimaltalet ligger mellan heltalen <math> \, -4 \, </math> och <math> \, -5 </math>.
:::* Utgående från <math> \, -4 \, </math> rör vi oss tre steg till vänster för att hitta det sökta decimaltalet: <math> \, -4 \,-\, 0,25 \,-\, 0,25 \,-\, 0,25 \, = \, {\color{Red} {-4,75}}</math>.
</big></div> 

<div class="tolv"> 
Omvandlingen av <math> \, 1 \,/\, 4 \, </math> till <math> \, 0,25 \, </math> i förklaringen ovan är ett exempel på användningen av viktiga decimaltal. Här sammanfattas några:
</div> 

<div class="exempel"> 
== Viktiga decimaltal ==
<big>
<table>
<tr>
<td>
:::<math> \displaystyle{ 0,1 \, = \, {1 \over 10} } </math>

:::<math> \displaystyle{ 0,01 \, = \, {1 \over 100} } </math>

:::<math> \displaystyle{ 0,001 \, = \, {1 \over 1000} } </math>
</td>
<td>
::::<math> \displaystyle{ 0,5 \, = \, {1 \over 2} } </math>

::::<math> \displaystyle{ 0,25 \, = \, {1 \over 4} } </math>

::::<math> \displaystyle{ 0,75 \, = \, {3 \over 4} } </math>
</td>
<td>
::::<math> \displaystyle{ 0,333\,333\,\ldots \, = \, {1 \over 3} } </math>

::::<math> \displaystyle{ 0,666\,666\,\ldots \, = \, {2 \over 3} } </math>

::::<math> \displaystyle{ 0,111\,111\,\ldots \, = \, {1 \over 9} } </math>
</td>
<td>
::::<math> \pi \quad = \, 3,141592653589793\,\ldots </math>

::::<math> \sqrt{2} \, = \, 1,414213562373095\,\ldots </math>

::::<math> \sqrt{3} \, = \, 1,732050807568877\,\ldots </math>

</td>
</tr>
</table>
</big>
</div> 

<div class="tolv"> 
I exemplen ovan kan man skilja åt tre grupper:
:*   Decimaltal med s.k. ändlig decimalutveckling, t.ex. <math> \, 0,75 \, </math> och alla decimaltal i de två första kolumnerna ovan.
:*   Decimaltal med s.k. periodisk decimalutveckling, t.ex. <math> \, 333\,333\,\ldots \, </math> och alla decimaltal i den tredje kolumnen.
:*   Decimaltal med s.k. icke-periodisk decimalutveckling, t.ex. <math> \, \pi \, = \, 3,141592653589793\,\ldots \, </math> och alla decimaltal i den fjärde kolumnen.

De två första grupperna bildar de rationella talen, medan den tredje gruppen tillhör de reella talen, se [[1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal|Olika typer av tal]].

Alla ändliga och periodiska decimalutvecklingar kan man skriva i bråkform (rationella), medan det inte längre går med de icke-periodiska (reella).
</div> 

== Ändlig decimalutveckling ==
<div class="tolv"> 
Så kallas decimaltal med ändligt många decimaler <math>-</math> den vanligaste typen av decimaltal <math>-</math> om man följer den redan nämnda [[1.3 Decimaltal#Exempel_2|regeln]] att utelämna nollorna efter decimaltecknet, t.ex. <math> \,0,75\,000\,000\,\ldots \, = \, 0,75 \, </math>.

Ändliga decimalutvecklingar kan alltid skrivas om till bråk. Omvänt kan bråk alltid skrivas om till ändliga eller periodiska decimalutvecklingar.

För att skriva decimaltal till bråk skrivs decimaltalet som ett bråk med en <math> \, 10</math>-potens (<math> \, 1 \, </math> med nollor) i nämnaren och förkortas så långt som möjligt:
</div> 

<div class="exempel"> 
== Exempel 5 ==
<big>
a)   Skriv <math> \; 0,75 \; </math> i bråkform.

      Lösning: <math> \; 0,75 \, = \, \displaystyle{{75 \over 100} \, = \, {15 \cdot {\color{Red} 5} \over 20 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {3 \cdot {\color{Red} {5 \cdot 5}} \over 4 \cdot {\color{Red} {5 \cdot 5}}} \, = \, {3 \cdot \cancel{\color{Red} {5 \cdot 5}} \over 4 \cdot \cancel{\color{Red} {5 \cdot 5}}} \, = \, {3 \over 4} } </math>

b)   Skriv <math> \; 0,125 \; </math> i bråkform.

      Lösning: <math> \; 0,125 \, = \, \displaystyle{{125 \over 1000} \, = \, {25 \cdot {\color{Red} 5} \over 200 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {5 \cdot {\color{Red} {5 \cdot 5}} \over 40 \cdot {\color{Red} {5 \cdot 5}}} \, = \, {1 \cdot {\color{Red} {5 \cdot 5 \cdot 5}} \over 8 \cdot {\color{Red} {5 \cdot 5 \cdot 5}}} \, = \, {1 \cdot \cancel{\color{Red} {5 \cdot 5 \cdot 5}} \over 8 \cdot \cancel{\color{Red} {5 \cdot 5 \cdot 5}}} \, = \, {1 \over 8} } </math>
</big></div> 

<div class="tolv"> 
Omvänt: För att skriva bråk till decimaltal förlängs bråket med målet att åstadkomma en <math> \, 10</math>-potens (<math> \, 1 \, </math> med nollor) i nämnaren. Är detta möjligt kan ändlig decimalutveckling uppnås. Annars är endast periodisk decimalutveckling möjlig som kan åstadkommas med metoder liknande [[1.3_Decimaltal#Exempel_7|Exempel 7]].
</div> 

<div class="exempel"> 
== Exempel 6 ==
<big>
a)   Skriv <math> \; \displaystyle{3 \over 4} \; </math> till decimaltal.

       Lösning: <math> \; \displaystyle{{3 \over 4} \, = \, {3 \cdot {\color{Red} 5} \over 4 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {15 \over 20} \, = \, {15 \cdot {\color{Red} 5} \over 20 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {75 \over 100}} \, = \, 0,75 </math>

b)   Skriv <math> \; \displaystyle{1 \over 8} \; </math> till decimaltal.

       Lösning: <math> \; \displaystyle{{1 \over 8} \, = \, {1 \cdot {\color{Red} 5} \over 8 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {5 \over 40} \, = \, {5 \cdot {\color{Red} 5} \over 40 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {25 \cdot {\color{Red} 5} \over 200 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {125 \over 1000}} \, = \, 0,125 </math>
</big></div> 

== Periodisk decimalutveckling ==
<div class="tolv"> 
Så kallas decimaltal med oändligt många decimaler där decimalerna upprepas enligt ett mönster antingen som en enskild siffra eller gruppvis. Mönstret kallas för period. T.ex. har den periodiska decimalutvecklingen <math> \, 0,333\,333\,\ldots \, </math> perioden <math> \, 3 \, </math>, medan <math> \, 0,363636 \ldots \, </math> har perioden <math> \, 36 \, </math>.

Periodiska decimalutvecklingar kan inte skrivas om till bråk med en <math> \, 10</math>-potens i nämnaren, därför att de har oändligt många decimaler. Deras nämnare kan därför inte vara en <math> \, 10</math>-potens. Andra hjälpmedel än för ändliga decimalutvecklingar måste användas för att åstadkomma denna omskrivning:
</div> 

<div class="exempel"> 
== Exempel 7 ==
<big>
a)   Skriv <math> \; 0,333\,333\,\ldots \; </math> i bråkform.

      Lösning: <math> \quad \quad\; 10 \; \cdot \; 0,333\,333\,\ldots \; = \; 3,333\,333\,\ldots \qquad\qquad {\rm (I)} </math>

      Lösning: <math> \quad\; \underline{\quad\; 1 \;\, \cdot \; 0,333\,333\,\ldots \; = \; 0,333\,333\,\ldots} \qquad\qquad {\rm (II)} </math>

::<math>{\rm (I)-(II)} \quad\quad\! 9 \;\; \cdot \; 0,333\,333\,\ldots \; = \; 3 </math>

:::::::<math> \quad\, 0,333\,333\,\ldots \: = \: \displaystyle{3 \over 9} \; = \; {1 \cdot \cancel{\color{Red} 3} \over 3 \cdot \cancel{\color{Red} 3}} </math>

:::::::<math> \quad\, 0,333\,333\,\ldots \: = \: \displaystyle{1 \over 3} </math>

b)   Skriv <math> \; \displaystyle{1 \over 3} \; </math> till decimaltal.

       Lösning:

       Låt miniräknaren dividera <math> \, 1 \,/\, 3 \, </math> så får du:

:::<math> \quad\, \displaystyle{1 \over 3} \: = \: 0,333\,333\,\ldots </math>

       Samma resultat skulle även manuell division <math> \, 1 \,/\, 3 \, </math> ge, vilket vi dock inte vill genomföra här.
</big></div> 

== Icke-periodisk decimalutveckling ==
<div class="tolv"> 
Så kallas decimaltal som har oändligt många decimaler utan något upprepande mönster (utan period), t.ex.:

::::::<math>\sqrt{2} \; = \; 1,4142135623730950488016887\ldots \, </math>

Detta decimaltal är en icke-periodisk decimalutveckling, för det har inte bara oändligt många decimaler. Det har framför allt inga grupper av siffror som upprepas, dvs det har ingen period. Därför kan decimaltalet inte skrivas i bråkform.

Därmed är <math> \sqrt{2} \, </math> inget rationellt utan ett irrationellt tal, se även [[1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal|Olika typer av tal]]. Ändå är <math> \, \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \; = \; 2 \, </math> dvs ett heltal.

Ett annat exempel är talet [[1.3 Decimaltal#Viktiga_decimaltal|<big><math> \, \pi </math></big>]]. Det finns oändligt många irrationella tal.
</div> 

== Internetlänkar ==

https://www.elevspel.se/amnen/matematik/539-decimaltal.html

http://www.youtube.com/watch?v=6aGAzibVJ5M

http://nomp.se/nomp/#/!/matematik/52/braktal/ova-pa-skriv-braktal-som-decimaltal/52.FRACTIONS.3

https://www.youtube.com/watch?v=kTWP-n9-PEM

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

1.3 Decimaltal+

2015-07-27T12:45:00Z

MarcusChristian:

{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[1.2 Räkneordning| <-- Förra avsnitt]]}}
{{Selected tab|[[1.3 Decimaltal|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[1.3.2_Avrundning och värdesiffror|Avrundning & värdesiffror]]}}
{{Not selected tab|[[1.3 Övningar till Decimaltal|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Negativa tal|Nästa avsnitt -->]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}

[[Media: Lektion 3 Decimaltal Ruta.pdf|Lektion 3 Decimaltal]]
__NOTOC__ 
== Tal mellan två heltal ==
<div class="tolv"> 
Decimaltal <math>-</math> eller tal i decimalform <math>-</math> är tal som ligger mellan två [[1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal|heltal]].

För att visa decimaltal fortsätter man med [[1.1_Om_tal#Det_decimala_positionssystemet|det decimala positionssystemet]].
</div> 

<div class="ovnE">

[[Image: Decimaltal_60a.jpg]]

</div>

<div class="tolv"> 
Heltalens framställning i det decimala positionssystemet förklarades i avsnittet [[1.1_Om_tal#Exempel_1|Om tal, Exempel 1]].

Till heltalsdelen <math> 235</math>:s lägger man till några bråkdelar av <math> \, 1 \, </math> efter decimaltecknet, närmare bestämt decimalerna <math> \, \ldots{\bf{\color{Red},}}{\color{LimeGreen} {178}} \, </math>.

På så sätt hamnar decimaltalets värde mellan heltalen <math> \, 235 \, </math> och <math> \, 236 </math>.
</div> 

<div class="exempel"> 
== Exempel 1 ==
<big>
Bestäm decimalernas värden i decimaltalet <math> \, 235{\bf{\color{Red},}}{\color{LimeGreen} {178}} \, </math>. Beräkna decimaltalets värde utgående från decimalernas värden.

Lösning:

:Första decimalen <math> \, {\color{LimeGreen} 1} \, </math> har positionen tiondel och därmed värdet <math> \, {\color{LimeGreen} 1} \cdot 0,1 \, = \, {\color{Red}{0,1}} </math>.

:Andra decimalen <math> \, {\color{LimeGreen} 7} \, </math> har positionen hundradel och därmed värdet <math> \, {\color{LimeGreen} 7} \cdot 0,01 \, = \, {\color{Red}{0,07}} \, </math>.

:Tredje decimalen <math> \, {\color{LimeGreen} 8} \, </math> har positionen tusendel och därmed värdet <math> \, {\color{LimeGreen} 8} \cdot 0,001 \, = \, {\color{Red}{0,008}} \, </math>.

Summerar man alla decimalers värden beräknas decimaltalets värde till:

:::<math> 235 \quad {\bf+} \quad {\color{Red}{0,1 \, + \, 0,07 \, + \, 0,008}} \quad = \quad 235\,{\bf{\color{Red},}}\,{\color{LimeGreen} {178}} </math>
</big></div> 

<big>Samma [[1.1_Om_tal#Exempel_1|regel]] som gällde för heltal, gäller för decimaltal, fast lite annorlunda formulerad:
<div class="border-divblue">
I det decimala positionssystemet har varje position ett <math> \, 10 \, </math> gånger mindre värde än positionen till vänster.
</div></big>

<big>Praktiska slutsatser ur denna regel:</big>

<div class="exempel"> 
== Exempel 2 ==
<big>

::::<math> 235\,{\bf{\color{Red},}}\,178 \, \cdot \, 0,1 \, = \, 23\,{\bf{\color{Red},}}\,5178 </math>

::::<math> 235\,{\bf{\color{Red},}}\,178 \, \cdot \, 0,01 \, = \, 2\,{\bf{\color{Red},}}\,35178 </math>

::::<math> 235\,{\bf{\color{Red},}}\,178 \, \cdot \, 0,001 \, = \, 0\,{\bf{\color{Red},}}\,235\,178 </math>
</big></div> 

<big>Att multiplicera med <math> \, 0,1 \, </math> innebär att förminska med faktorn <math> \, 10 \, </math> dvs att flytta decimaltecknet <math> \, 1 \, </math> position till vänster.

Att multiplicera med <math> \, 0,01 \, </math> innebär att förminska med faktorn <math> \, 100 \, </math> dvs att flytta decimaltecknet <math> \, 2 \, </math>positioner till vänster.

Att multiplicera med <math> \, 0,001 \, </math> innebäratt förminska med faktorn <math> \, 1\,000 \, </math> dvs att flytta decimaltecknet <math> \, 3 \, </math>positioner till vänster.</big>

== Kan ett heltal vara decimaltal? ==

<big>Om decimaltal ligger mellan två heltal, hur ligger det till med heltalen själva?</big>

<div class="exempel"> 

== Exempel 3 ==
<big>
Är <math> \, 7\,142 \, </math> ett heltal eller ett decimaltal? Motivera.

Svar:

::<math> \, 7\,142 \, </math> är både heltal och decimaltal.

::Heltal, därför att det inte finns något decimaltecken i det.

::Decimaltal, därför att man kan sätta ett decimaltecken och skriva: <math> \qquad 7\,142 \; = \; 7\,142 \, {\bf{\color{Red},}} \, {\color{LimeGreen} {000\, \ldots}} </math>
</big></div> 

<div class="tolv"> 
Detta är bara ett exempel på följande generell egenskap:
<div class="border-divblue">
Alla heltal är decimaltal, men inte tvärtom.
</div> 

Praktiskt taget kan man tillfoga till alla heltal ett decimaltecken följt av nollor, så att heltalet blir decimaltal. Detta i sin tur beror på följande:

Mängden av alla heltal är en delmängd av alla decimaltal, se bilden i [[1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal|Olika typer av tal]], där decimaltal <math> \, = \, </math> rationella & reella tal.

Exempel 3 leder även till följande praktisk regel:
<div class="border-divblue">
Alla nollor efter decimaltecknet kan utelämnas, om ingen siffra <math> \neq 0 \, </math> följer efter nollorna.
</div> 

Anledningen till denna regel är att sådana nollor efter decimaltecknet inte bidrar något (dvs bidrar värdet <math> \, 0 </math>) till decimaltalets värde.
</div> 

== Placering av decimaltal på tallinjen ==
<div class="tolv"> 
Kunskapen om decimaltalens värde ska hjälpa oss att ha en uppfattning om decimaltalens storlek och deras korrekta placering på tallinjen.
</div> 

<div class="exempel"> 
== Exempel 4 ==
<big>
Vilket decimaltal pekar pilen på?   <math>\quad </math> [[Image: Decimaltallinje_60.jpg]]

Lösning:

::::::::::[[Image: Decimaltallinje_Svar_60.jpg]]

Förklaring:

:::* Vi befinner oss på den negativa delen av tallinjen.
:::* Skalans minsta steg på tallinjen är: <math> \; 1 \,/\, 4 \, = \, \displaystyle{{1 \over 4} \, = \, {1 \cdot {\color{Red} 5} \over 4 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {5 \over 20} \, = \, {5 \cdot {\color{Red} 5} \over 20 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {25 \over 100}} \, = \, 0,25 </math>
:::* Det sökta decimaltalet ligger mellan heltalen <math> \, -4 \, </math> och <math> \, -5 </math>.
:::* Utgående från <math> \, -4 \, </math> rör vi oss tre steg till vänster för att hitta det sökta decimaltalet: <math> \, -4 \,-\, 0,25 \,-\, 0,25 \,-\, 0,25 \, = \, {\color{Red} {-4,75}}</math>.
</big></div> 

<div class="tolv"> 
Omvandlingen av <math> \, 1 \,/\, 4 \, </math> till <math> \, 0,25 \, </math> i förklaringen ovan är ett exempel på användningen av viktiga decimaltal. Här sammanfattas några:
</div> 

<div class="exempel"> 
== Viktiga decimaltal ==
<big>
<table>
<tr>
<td>
:::<math> \displaystyle{ 0,1 \, = \, {1 \over 10} } </math>

:::<math> \displaystyle{ 0,01 \, = \, {1 \over 100} } </math>

:::<math> \displaystyle{ 0,001 \, = \, {1 \over 1000} } </math>
</td>
<td>
::::<math> \displaystyle{ 0,5 \, = \, {1 \over 2} } </math>

::::<math> \displaystyle{ 0,25 \, = \, {1 \over 4} } </math>

::::<math> \displaystyle{ 0,75 \, = \, {3 \over 4} } </math>
</td>
<td>
::::<math> \displaystyle{ 0,333\,333\,\ldots \, = \, {1 \over 3} } </math>

::::<math> \displaystyle{ 0,666\,666\,\ldots \, = \, {2 \over 3} } </math>

::::<math> \displaystyle{ 0,111\,111\,\ldots \, = \, {1 \over 9} } </math>
</td>
<td>
::::<math> \pi \quad = \, 3,141592653589793\,\ldots </math>

::::<math> \sqrt{2} \, = \, 1,414213562373095\,\ldots </math>

::::<math> \sqrt{3} \, = \, 1,732050807568877\,\ldots </math>

</td>
</tr>
</table>
</big>
</div> 

<div class="tolv"> 
I exemplen ovan kan man skilja åt tre grupper:
:*   Decimaltal med s.k. ändlig decimalutveckling, t.ex. <math> \, 0,75 \, </math> och alla decimaltal i de två första kolumnerna ovan.
:*   Decimaltal med s.k. periodisk decimalutveckling, t.ex. <math> \, 333\,333\,\ldots \, </math> och alla decimaltal i den tredje kolumnen.
:*   Decimaltal med s.k. icke-periodisk decimalutveckling, t.ex. <math> \, \pi \, = \, 3,141592653589793\,\ldots \, </math> och alla decimaltal i den fjärde kolumnen.

De två första grupperna bildar de rationella talen, medan den tredje gruppen tillhör de reella talen, se [[1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal|Olika typer av tal]].

Alla ändliga och periodiska decimalutvecklingar kan man skriva i bråkform (rationella), medan det inte längre går med de icke-periodiska (reella).
</div> 

== Ändlig decimalutveckling ==
<div class="tolv"> 
Så kallas decimaltal med ändligt många decimaler <math>-</math> den vanligaste typen av decimaltal <math>-</math> om man följer den redan nämnda [[1.3 Decimaltal#Exempel_2|regeln]] att utelämna nollorna efter decimaltecknet, t.ex. <math> \,0,75\,000\,000\,\ldots \, = \, 0,75 \, </math>.

Ändliga decimalutvecklingar kan alltid skrivas om till bråk. Omvänt kan bråk alltid skrivas om till ändliga eller periodiska decimalutvecklingar.

För att skriva decimaltal till bråk skrivs decimaltalet som ett bråk med en <math> \, 10</math>-potens (<math> \, 1 \, </math> med nollor) i nämnaren och förkortas så långt som möjligt:
</div> 

<div class="exempel"> 
== Exempel 5 ==
<big>
a)   Skriv <math> \; 0,75 \; </math> i bråkform.

      Lösning: <math> \; 0,75 \, = \, \displaystyle{{75 \over 100} \, = \, {15 \cdot {\color{Red} 5} \over 20 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {3 \cdot {\color{Red} {5 \cdot 5}} \over 4 \cdot {\color{Red} {5 \cdot 5}}} \, = \, {3 \cdot \cancel{\color{Red} {5 \cdot 5}} \over 4 \cdot \cancel{\color{Red} {5 \cdot 5}}} \, = \, {3 \over 4} } </math>

b)   Skriv <math> \; 0,125 \; </math> i bråkform.

      Lösning: <math> \; 0,125 \, = \, \displaystyle{{125 \over 1000} \, = \, {25 \cdot {\color{Red} 5} \over 200 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {5 \cdot {\color{Red} {5 \cdot 5}} \over 40 \cdot {\color{Red} {5 \cdot 5}}} \, = \, {1 \cdot {\color{Red} {5 \cdot 5 \cdot 5}} \over 8 \cdot {\color{Red} {5 \cdot 5 \cdot 5}}} \, = \, {1 \cdot \cancel{\color{Red} {5 \cdot 5 \cdot 5}} \over 8 \cdot \cancel{\color{Red} {5 \cdot 5 \cdot 5}}} \, = \, {1 \over 8} } </math>
</big></div> 

<div class="tolv"> 
Omvänt: För att skriva bråk till decimaltal förlängs bråket med målet att åstadkomma en <math> \, 10</math>-potens (<math> \, 1 \, </math> med nollor) i nämnaren. Är detta möjligt kan ändlig decimalutveckling uppnås. Annars är endast periodisk decimalutveckling möjlig som kan åstadkommas med metoder liknande [[1.3_Decimaltal#Exempel_7|Exempel 7]].
</div> 

<div class="exempel"> 
== Exempel 6 ==
<big>
a)   Skriv <math> \; \displaystyle{3 \over 4} \; </math> till decimaltal.

       Lösning: <math> \; \displaystyle{{3 \over 4} \, = \, {3 \cdot {\color{Red} 5} \over 4 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {15 \over 20} \, = \, {15 \cdot {\color{Red} 5} \over 20 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {75 \over 100}} \, = \, 0,75 </math>

b)   Skriv <math> \; \displaystyle{1 \over 8} \; </math> till decimaltal.

       Lösning: <math> \; \displaystyle{{1 \over 8} \, = \, {1 \cdot {\color{Red} 5} \over 8 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {5 \over 40} \, = \, {5 \cdot {\color{Red} 5} \over 40 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {25 \cdot {\color{Red} 5} \over 200 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {125 \over 1000}} \, = \, 0,125 </math>
</big></div> 

== Periodisk decimalutveckling ==
<div class="tolv"> 
Så kallas decimaltal med oändligt många decimaler där decimalerna upprepas enligt ett mönster antingen som en enskild siffra eller gruppvis. Mönstret kallas för period. T.ex. har den periodiska decimalutvecklingen <math> \, 0,333\,333\,\ldots \, </math> perioden <math> \, 3 \, </math>, medan <math> \, 0,363636 \ldots \, </math> har perioden <math> \, 36 \, </math>.

Periodiska decimalutvecklingar kan inte skrivas om till bråk med en <math> \, 10</math>-potens i nämnaren, därför att de har oändligt många decimaler. Deras nämnare kan därför inte vara en <math> \, 10</math>-potens. Andra hjälpmedel än för ändliga decimalutvecklingar måste användas för att åstadkomma denna omskrivning:
</div> 

<div class="exempel"> 
== Exempel 7 ==
<big>
a)   Skriv <math> \; 0,333\,333\,\ldots \; </math> i bråkform.

      Lösning: <math> \quad \quad\; 10 \; \cdot \; 0,333\,333\,\ldots \; = \; 3,333\,333\,\ldots \qquad\qquad {\rm (I)} </math>

      Lösning: <math> \quad\; \underline{\quad\; 1 \;\, \cdot \; 0,333\,333\,\ldots \; = \; 0,333\,333\,\ldots} \qquad\qquad {\rm (II)} </math>

::<math>{\rm (I)-(II)} \quad\quad\! 9 \;\; \cdot \; 0,333\,333\,\ldots \; = \; 3 </math>

:::::::<math> \quad\, 0,333\,333\,\ldots \: = \: \displaystyle{3 \over 9} \; = \; {1 \cdot \cancel{\color{Red} 3} \over 3 \cdot \cancel{\color{Red} 3}} </math>

:::::::<math> \quad\, 0,333\,333\,\ldots \: = \: \displaystyle{1 \over 3} </math>

b)   Skriv <math> \; \displaystyle{1 \over 3} \; </math> till decimaltal.

       Lösning:

       Låt miniräknaren dividera <math> \, 1 \,/\, 3 \, </math> så får du:

:::<math> \quad\, \displaystyle{1 \over 3} \: = \: 0,333\,333\,\ldots </math>

       Samma resultat skulle även manuell division <math> \, 1 \,/\, 3 \, </math> ge, vilket vi dock inte vill genomföra här.
</big></div> 

== Icke-periodisk decimalutveckling ==
<div class="tolv"> 
Så kallas decimaltal som har oändligt många decimaler utan något upprepande mönster (utan period), t.ex.:

::::::<math>\sqrt{2} \; = \; 1,4142135623730950488016887\ldots \, </math>

Detta decimaltal är en icke-periodisk decimalutveckling, för det har inte bara oändligt många decimaler utan framför allt förekommer i det inga grupper av siffror som upprepas, dvs det har ingen period. Därför kan decimaltalet inte skrivas i bråkform.

Därmed är <math> \sqrt{2} \, </math> inget rationellt utan ett irrationellt tal, se även [[1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal|Olika typer av tal]]. Ändå är <math> \, \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \; = \; 2 \, </math> dvs ett heltal.

Ett annat exempel är talet [[1.3 Decimaltal#Viktiga_decimaltal|<big><math> \, \pi </math></big>]]. Det finns oändligt många irrationella tal.
</div> 

== Internetlänkar ==

https://www.elevspel.se/amnen/matematik/539-decimaltal.html

http://www.youtube.com/watch?v=6aGAzibVJ5M

http://nomp.se/nomp/#/!/matematik/52/braktal/ova-pa-skriv-braktal-som-decimaltal/52.FRACTIONS.3

https://www.youtube.com/watch?v=kTWP-n9-PEM

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

1.3 Decimaltal+

2015-07-27T12:41:09Z

MarcusChristian:

{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[1.2 Räkneordning| <-- Förra avsnitt]]}}
{{Selected tab|[[1.3 Decimaltal|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[1.3.2_Avrundning och värdesiffror|Avrundning & värdesiffror]]}}
{{Not selected tab|[[1.3 Övningar till Decimaltal|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Negativa tal|Nästa avsnitt -->]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}

[[Media: Lektion 3 Decimaltal Ruta.pdf|Lektion 3 Decimaltal]]
__NOTOC__ 
== Tal mellan två heltal ==
<div class="tolv"> 
Decimaltal <math>-</math> eller tal i decimalform <math>-</math> är tal som ligger mellan två [[1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal|heltal]].

För att visa decimaltal fortsätter man med [[1.1_Om_tal#Det_decimala_positionssystemet|det decimala positionssystemet]].
</div> 

<div class="ovnE">

[[Image: Decimaltal_60a.jpg]]

</div>

<div class="tolv"> 
Heltalens framställning i det decimala positionssystemet förklarades i avsnittet [[1.1_Om_tal#Exempel_1|Om tal, Exempel 1]].

Till heltalsdelen <math> 235</math>:s lägger man till några bråkdelar av <math> \, 1 \, </math> efter decimaltecknet, närmare bestämt decimalerna <math> \, \ldots{\bf{\color{Red},}}{\color{LimeGreen} {178}} \, </math>.

På så sätt hamnar decimaltalets värde mellan heltalen <math> \, 235 \, </math> och <math> \, 236 </math>.
</div> 

<div class="exempel"> 
== Exempel 1 ==
<big>
Bestäm decimalernas värden i decimaltalet <math> \, 235{\bf{\color{Red},}}{\color{LimeGreen} {178}} \, </math>. Beräkna decimaltalets värde utgående från decimalernas värden.

Lösning:

:Första decimalen <math> \, {\color{LimeGreen} 1} \, </math> har positionen tiondel och därmed värdet <math> \, {\color{LimeGreen} 1} \cdot 0,1 \, = \, {\color{Red}{0,1}} </math>.

:Andra decimalen <math> \, {\color{LimeGreen} 7} \, </math> har positionen hundradel och därmed värdet <math> \, {\color{LimeGreen} 7} \cdot 0,01 \, = \, {\color{Red}{0,07}} \, </math>.

:Tredje decimalen <math> \, {\color{LimeGreen} 8} \, </math> har positionen tusendel och därmed värdet <math> \, {\color{LimeGreen} 8} \cdot 0,001 \, = \, {\color{Red}{0,008}} \, </math>.

Summerar man alla decimalers värden beräknas decimaltalets värde till:

:::<math> 235 \quad {\bf+} \quad {\color{Red}{0,1 \, + \, 0,07 \, + \, 0,008}} \quad = \quad 235\,{\bf{\color{Red},}}\,{\color{LimeGreen} {178}} </math>
</big></div> 

<big>Samma [[1.1_Om_tal#Exempel_1|regel]] som gällde för heltal, gäller för decimaltal, fast lite annorlunda formulerad:
<div class="border-divblue">
I det decimala positionssystemet har varje position ett <math> \, 10 \, </math> gånger mindre värde än positionen till vänster.
</div></big>

<big>Praktiska slutsatser ur denna regel:</big>

<div class="exempel"> 
== Exempel 2 ==
<big>

::::<math> 235\,{\bf{\color{Red},}}\,178 \, \cdot \, 0,1 \, = \, 23\,{\bf{\color{Red},}}\,5178 </math>

::::<math> 235\,{\bf{\color{Red},}}\,178 \, \cdot \, 0,01 \, = \, 2\,{\bf{\color{Red},}}\,35178 </math>

::::<math> 235\,{\bf{\color{Red},}}\,178 \, \cdot \, 0,001 \, = \, 0\,{\bf{\color{Red},}}\,235\,178 </math>
</big></div> 

<big>Att multiplicera med <math> \, 0,1 \, </math> innebär att förminska med faktorn <math> \, 10 \, </math> dvs att flytta decimaltecknet <math> \, 1 \, </math> position till vänster.

Att multiplicera med <math> \, 0,01 \, </math> innebär att förminska med faktorn <math> \, 100 \, </math> dvs att flytta decimaltecknet <math> \, 2 \, </math>positioner till vänster.

Att multiplicera med <math> \, 0,001 \, </math> innebäratt förminska med faktorn <math> \, 1\,000 \, </math> dvs att flytta decimaltecknet <math> \, 3 \, </math>positioner till vänster.</big>

== Kan ett heltal vara decimaltal? ==

<big>Om decimaltal ligger mellan två heltal, hur ligger det till med heltalen själva?</big>

<div class="exempel"> 

== Exempel 3 ==
<big>
Är <math> \, 7\,142 \, </math> ett heltal eller ett decimaltal? Motivera.

Svar:

::<math> \, 7\,142 \, </math> är både heltal och decimaltal.

::Heltal, därför att det inte finns något decimaltecken i det.

::Decimaltal, därför att man kan sätta ett decimaltecken och skriva: <math> \qquad 7\,142 \; = \; 7\,142 \, {\bf{\color{Red},}} \, {\color{LimeGreen} {000\, \ldots}} </math>
</big></div> 

<div class="tolv"> 
Detta är bara ett exempel på följande generell egenskap:
<div class="border-divblue">
Alla heltal är decimaltal, men inte tvärtom.
</div> 

Praktiskt taget kan man tillfoga till alla heltal ett decimaltecken följt av nollor, så att de blir decimaltal. Detta i sin tur beror på följande:

Mängden av alla heltal är en delmängd av alla decimaltal, se bilden i [[1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal|Olika typer av tal]], där decimaltal <math> \, = \, </math> rationella & reella tal.

Exempel 3 leder även till följande praktisk regel:
<div class="border-divblue">
Alla nollor efter decimaltecknet kan utelämnas, om ingen siffra <math> \neq 0 \, </math> finns efter nollorna.
</div> 

Anledningen till denna regel är att sådana nollor efter decimaltecknet inte bidrar något (eller bidrar värdet <math> \, 0 </math>) till decimaltalets värde.
</div> 

== Placering av decimaltal på tallinjen ==
<div class="tolv"> 
Kunskapen om decimaltalens värde ska hjälpa oss att ha en uppfattning om decimaltalens storlek och deras korrekta placering på tallinjen.
</div> 

<div class="exempel"> 
== Exempel 4 ==
<big>
Vilket decimaltal pekar pilen på?   <math>\quad </math> [[Image: Decimaltallinje_60.jpg]]

Lösning:

::::::::::[[Image: Decimaltallinje_Svar_60.jpg]]

Förklaring:

:::* Vi befinner oss på den negativa delen av tallinjen.
:::* Skalans minsta steg på tallinjen är: <math> \; 1 \,/\, 4 \, = \, \displaystyle{{1 \over 4} \, = \, {1 \cdot {\color{Red} 5} \over 4 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {5 \over 20} \, = \, {5 \cdot {\color{Red} 5} \over 20 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {25 \over 100}} \, = \, 0,25 </math>
:::* Det sökta decimaltalet ligger mellan heltalen <math> \, -4 \, </math> och <math> \, -5 </math>.
:::* Utgående från <math> \, -4 \, </math> rör vi oss tre steg till vänster för att hitta det sökta decimaltalet: <math> \, -4 \,-\, 0,25 \,-\, 0,25 \,-\, 0,25 \, = \, {\color{Red} {-4,75}}</math>.
</big></div> 

<div class="tolv"> 
Omvandlingen av <math> \, 1 \,/\, 4 \, </math> till <math> \, 0,25 \, </math> i förklaringen ovan är ett exempel på användningen av viktiga decimaltal. Här sammanfattas några:
</div> 

<div class="exempel"> 
== Viktiga decimaltal ==
<big>
<table>
<tr>
<td>
:::<math> \displaystyle{ 0,1 \, = \, {1 \over 10} } </math>

:::<math> \displaystyle{ 0,01 \, = \, {1 \over 100} } </math>

:::<math> \displaystyle{ 0,001 \, = \, {1 \over 1000} } </math>
</td>
<td>
::::<math> \displaystyle{ 0,5 \, = \, {1 \over 2} } </math>

::::<math> \displaystyle{ 0,25 \, = \, {1 \over 4} } </math>

::::<math> \displaystyle{ 0,75 \, = \, {3 \over 4} } </math>
</td>
<td>
::::<math> \displaystyle{ 0,333\,333\,\ldots \, = \, {1 \over 3} } </math>

::::<math> \displaystyle{ 0,666\,666\,\ldots \, = \, {2 \over 3} } </math>

::::<math> \displaystyle{ 0,111\,111\,\ldots \, = \, {1 \over 9} } </math>
</td>
<td>
::::<math> \pi \quad = \, 3,141592653589793\,\ldots </math>

::::<math> \sqrt{2} \, = \, 1,414213562373095\,\ldots </math>

::::<math> \sqrt{3} \, = \, 1,732050807568877\,\ldots </math>

</td>
</tr>
</table>
</big>
</div> 

<div class="tolv"> 
I exemplen ovan kan man skilja åt tre grupper:
:*   Decimaltal med s.k. ändlig decimalutveckling, t.ex. <math> \, 0,75 \, </math> och alla decimaltal i de två första kolumnerna ovan.
:*   Decimaltal med s.k. periodisk decimalutveckling, t.ex. <math> \, 333\,333\,\ldots \, </math> och alla decimaltal i den tredje kolumnen.
:*   Decimaltal med s.k. icke-periodisk decimalutveckling, t.ex. <math> \, \pi \, = \, 3,141592653589793\,\ldots \, </math> och alla decimaltal i den fjärde kolumnen.

De två första grupperna bildar de rationella talen, medan den tredje gruppen tillhör de reella talen, se [[1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal|Olika typer av tal]].

Alla ändliga och periodiska decimalutvecklingar kan man skriva i bråkform (rationella), medan det inte längre går med de icke-periodiska (reella).
</div> 

== Ändlig decimalutveckling ==
<div class="tolv"> 
Så kallas decimaltal med ändligt många decimaler <math>-</math> den vanligaste typen av decimaltal <math>-</math> om man följer den redan nämnda [[1.3 Decimaltal#Exempel_2|regeln]] att utelämna nollorna efter decimaltecknet, t.ex. <math> \,0,75\,000\,000\,\ldots \, = \, 0,75 \, </math>.

Ändliga decimalutvecklingar kan alltid skrivas om till bråk. Omvänt kan bråk alltid skrivas om till ändliga eller periodiska decimalutvecklingar.

För att skriva decimaltal till bråk skrivs decimaltalet som ett bråk med en <math> \, 10</math>-potens (<math> \, 1 \, </math> med nollor) i nämnaren och förkortas så långt som möjligt:
</div> 

<div class="exempel"> 
== Exempel 5 ==
<big>
a)   Skriv <math> \; 0,75 \; </math> i bråkform.

      Lösning: <math> \; 0,75 \, = \, \displaystyle{{75 \over 100} \, = \, {15 \cdot {\color{Red} 5} \over 20 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {3 \cdot {\color{Red} {5 \cdot 5}} \over 4 \cdot {\color{Red} {5 \cdot 5}}} \, = \, {3 \cdot \cancel{\color{Red} {5 \cdot 5}} \over 4 \cdot \cancel{\color{Red} {5 \cdot 5}}} \, = \, {3 \over 4} } </math>

b)   Skriv <math> \; 0,125 \; </math> i bråkform.

      Lösning: <math> \; 0,125 \, = \, \displaystyle{{125 \over 1000} \, = \, {25 \cdot {\color{Red} 5} \over 200 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {5 \cdot {\color{Red} {5 \cdot 5}} \over 40 \cdot {\color{Red} {5 \cdot 5}}} \, = \, {1 \cdot {\color{Red} {5 \cdot 5 \cdot 5}} \over 8 \cdot {\color{Red} {5 \cdot 5 \cdot 5}}} \, = \, {1 \cdot \cancel{\color{Red} {5 \cdot 5 \cdot 5}} \over 8 \cdot \cancel{\color{Red} {5 \cdot 5 \cdot 5}}} \, = \, {1 \over 8} } </math>
</big></div> 

<div class="tolv"> 
Omvänt: För att skriva bråk till decimaltal förlängs bråket med målet att åstadkomma en <math> \, 10</math>-potens (<math> \, 1 \, </math> med nollor) i nämnaren. Är detta möjligt kan ändlig decimalutveckling uppnås. Annars är endast periodisk decimalutveckling möjlig som kan åstadkommas med metoder liknande [[1.3_Decimaltal#Exempel_7|Exempel 7]].
</div> 

<div class="exempel"> 
== Exempel 6 ==
<big>
a)   Skriv <math> \; \displaystyle{3 \over 4} \; </math> till decimaltal.

       Lösning: <math> \; \displaystyle{{3 \over 4} \, = \, {3 \cdot {\color{Red} 5} \over 4 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {15 \over 20} \, = \, {15 \cdot {\color{Red} 5} \over 20 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {75 \over 100}} \, = \, 0,75 </math>

b)   Skriv <math> \; \displaystyle{1 \over 8} \; </math> till decimaltal.

       Lösning: <math> \; \displaystyle{{1 \over 8} \, = \, {1 \cdot {\color{Red} 5} \over 8 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {5 \over 40} \, = \, {5 \cdot {\color{Red} 5} \over 40 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {25 \cdot {\color{Red} 5} \over 200 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {125 \over 1000}} \, = \, 0,125 </math>
</big></div> 

== Periodisk decimalutveckling ==
<div class="tolv"> 
Så kallas decimaltal med oändligt många decimaler där decimalerna upprepas enligt ett mönster antingen som en enskild siffra eller gruppvis. Mönstret kallas för period. T.ex. har den periodiska decimalutvecklingen <math> \, 0,333\,333\,\ldots \, </math> perioden <math> \, 3 \, </math>, medan <math> \, 0,363636 \ldots \, </math> har perioden <math> \, 36 \, </math>.

Periodiska decimalutvecklingar kan inte skrivas om till bråk med en <math> \, 10</math>-potens i nämnaren, därför att de har oändligt många decimaler. Deras nämnare kan därför inte vara en <math> \, 10</math>-potens. Andra hjälpmedel än för ändliga decimalutvecklingar måste användas för att åstadkomma denna omskrivning:
</div> 

<div class="exempel"> 
== Exempel 7 ==
<big>
a)   Skriv <math> \; 0,333\,333\,\ldots \; </math> i bråkform.

      Lösning: <math> \quad \quad\; 10 \; \cdot \; 0,333\,333\,\ldots \; = \; 3,333\,333\,\ldots \qquad\qquad {\rm (I)} </math>

      Lösning: <math> \quad\; \underline{\quad\; 1 \;\, \cdot \; 0,333\,333\,\ldots \; = \; 0,333\,333\,\ldots} \qquad\qquad {\rm (II)} </math>

::<math>{\rm (I)-(II)} \quad\quad\! 9 \;\; \cdot \; 0,333\,333\,\ldots \; = \; 3 </math>

:::::::<math> \quad\, 0,333\,333\,\ldots \: = \: \displaystyle{3 \over 9} \; = \; {1 \cdot \cancel{\color{Red} 3} \over 3 \cdot \cancel{\color{Red} 3}} </math>

:::::::<math> \quad\, 0,333\,333\,\ldots \: = \: \displaystyle{1 \over 3} </math>

b)   Skriv <math> \; \displaystyle{1 \over 3} \; </math> till decimaltal.

       Lösning:

       Låt miniräknaren dividera <math> \, 1 \,/\, 3 \, </math> så får du:

:::<math> \quad\, \displaystyle{1 \over 3} \: = \: 0,333\,333\,\ldots </math>

       Samma resultat skulle även manuell division <math> \, 1 \,/\, 3 \, </math> ge, vilket vi dock inte vill genomföra här.
</big></div> 

== Icke-periodisk decimalutveckling ==
<div class="tolv"> 
Så kallas decimaltal som har oändligt många decimaler utan något upprepande mönster (utan period), t.ex.:

::::::<math>\sqrt{2} \; = \; 1,4142135623730950488016887\ldots \, </math>

Detta decimaltal är en icke-periodisk decimalutveckling, för det har inte bara oändligt många decimaler utan framför allt förekommer i det inga grupper av siffror som upprepas, dvs det har ingen period. Därför kan decimaltalet inte skrivas i bråkform.

Därmed är <math> \sqrt{2} \, </math> inget rationellt utan ett irrationellt tal, se även [[1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal|Olika typer av tal]]. Ändå är <math> \, \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \; = \; 2 \, </math> dvs ett heltal.

Ett annat exempel är talet [[1.3 Decimaltal#Viktiga_decimaltal|<big><math> \, \pi </math></big>]]. Det finns oändligt många irrationella tal.
</div> 

== Internetlänkar ==

https://www.elevspel.se/amnen/matematik/539-decimaltal.html

http://www.youtube.com/watch?v=6aGAzibVJ5M

http://nomp.se/nomp/#/!/matematik/52/braktal/ova-pa-skriv-braktal-som-decimaltal/52.FRACTIONS.3

https://www.youtube.com/watch?v=kTWP-n9-PEM

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

1.3 Decimaltal+

2015-07-27T12:36:57Z

MarcusChristian:

{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Not selected tab|[[1.2 Räkneordning| <-- Förra avsnitt]]}}
{{Selected tab|[[1.3 Decimaltal|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[1.3.2_Avrundning och värdesiffror|Avrundning & värdesiffror]]}}
{{Not selected tab|[[1.3 Övningar till Decimaltal|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[1.4 Negativa tal|Nästa avsnitt -->]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}

[[Media: Lektion 3 Decimaltal Ruta.pdf|Lektion 3 Decimaltal]]
__NOTOC__ 
== Tal mellan två heltal ==
<div class="tolv"> 
Decimaltal <math>-</math> eller tal i decimalform <math>-</math> är tal som ligger mellan två [[1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal|heltal]].

För att visa decimaltal fortsätter man med [[1.1_Om_tal#Det_decimala_positionssystemet|det decimala positionssystemet]].
</div> 

<div class="ovnE">

[[Image: Decimaltal_60a.jpg]]

</div>

<div class="tolv"> 
Heltalens framställning i det decimala positionssystemet förklarades i avsnittet [[1.1_Om_tal#Exempel_1|Om tal, Exempel 1]].

Till heltalsdelen <math> 235</math>:s lägger man till några bråkdelar av <math> \, 1 \, </math> efter decimaltecknet, närmare bestämt decimalerna <math> \, \ldots{\bf{\color{Red},}}{\color{LimeGreen} {178}} \, </math>.

På så sätt hamnar decimaltalets värde mellan heltalen <math> \, 235 \, </math> och <math> \, 236 </math>.
</div> 

<div class="exempel"> 
== Exempel 1 ==
<big>
Bestäm decimalernas värden i decimaltalet <math> \, 235{\bf{\color{Red},}}{\color{LimeGreen} {178}} \, </math>. Beräkna decimaltalets värde utgående från decimalernas värden.

Lösning:

:Första decimalen <math> \, {\color{LimeGreen} 1} \, </math> har positionen tiondel och därmed värdet <math> \, {\color{LimeGreen} 1} \cdot 0,1 \, = \, {\color{Red}{0,1}} </math>.

:Andra decimalen <math> \, {\color{LimeGreen} 7} \, </math> har positionen hundradel och därmed värdet <math> \, {\color{LimeGreen} 7} \cdot 0,01 \, = \, {\color{Red}{0,07}} \, </math>.

:Tredje decimalen <math> \, {\color{LimeGreen} 8} \, </math> har positionen tusendel och därmed värdet <math> \, {\color{LimeGreen} 8} \cdot 0,001 \, = \, {\color{Red}{0,008}} \, </math>.

Summerar man alla decimalers värden beräknas decimaltalets värde till:

:::<math> 235 \quad {\bf+} \quad {\color{Red}{0,1 \, + \, 0,07 \, + \, 0,008}} \quad = \quad 235\,{\bf{\color{Red},}}\,{\color{LimeGreen} {178}} </math>
</big></div> 

<big>Samma [[1.1_Om_tal#Exempel_1|regel]] som gällde för heltal, gäller för decimaltal, fast lite annorlunda formulerad:
<div class="border-divblue">
I det decimala positionssystemet har varje position ett <math> \, 10 \, </math> gånger mindre värde än positionen till vänster.
</div></big>

<big>Praktiska slutsatser ur denna regel:</big>

<div class="exempel"> 
== Exempel 2 ==
<big>

::::<math> 235\,{\bf{\color{Red},}}\,178 \, \cdot \, 0,1 \, = \, 23\,{\bf{\color{Red},}}\,5178 </math>

::::<math> 235\,{\bf{\color{Red},}}\,178 \, \cdot \, 0,01 \, = \, 2\,{\bf{\color{Red},}}\,35178 </math>

::::<math> 235\,{\bf{\color{Red},}}\,178 \, \cdot \, 0,001 \, = \, 0\,{\bf{\color{Red},}}\,235\,178 </math>
</big></div> 

<big>Att multiplicera med <math> \, 0,1 \, </math> innebär att förminska med faktorn <math> \, 10 \, </math> dvs att flytta decimaltecknet <math> \, 1 \, </math> position till vänster.

Att multiplicera med <math> \, 0,01 \, </math> innebär att förminska med faktorn <math> \, 100 \, </math> dvs att flytta decimaltecknet <math> \, 2 \, </math>positioner till vänster.

Att multiplicera med <math> \, 0,001 \, </math> innebäratt förminska med faktorn <math> \, 1\,000 \, </math> dvs att flytta decimaltecknet <math> \, 3 \, </math>positioner till vänster.</big>

== Kan ett heltal vara decimaltal? ==

<big>Om decimaltal ligger mellan två heltal, hur ligger det till med heltalen själva?</big>

<div class="exempel"> 

== Exempel 3 ==
<big>
Är <math> \, 7\,142 \, </math> ett heltal eller ett decimaltal? Motivera.

Svar:

::<math> \, 7\,142 \, </math> är både heltal och decimaltal.

::Heltal, därför att det inte finns något decimaltecken i det.

::Decimaltal, därför att man kan sätta ett decimaltecken och skriva: <math> \qquad 7\,142 \; = \; 7\,142 \, {\bf{\color{Red},}} \, {\color{LimeGreen} {000\, \ldots}} </math>
</big></div> 

<div class="tolv"> 
Detta är bara ett exempel på följande generell egenskap:
<div class="border-divblue">
Alla heltal är decimaltal, men inte tvärtom.
</div> 

Praktiskt taget kan man tillfoga till alla heltal ett decimaltecken följt av nollor, så att de blir decimaltal. Detta i sin tur beror på följande:

Mängden av alla heltal är en delmängd av alla decimaltal, se bilden i [[1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal|Olika typer av tal]], där decimaltal <math> \, = \, </math> rationella & reella tal.

Exempel 3 har också följande praktisk slutsats:
<div class="border-divblue">
Alla nollor efter decimaltecknet kan utelämnas, om ingen siffra <math> \neq 0 \, </math> finns efter nollorna.
</div> 

Anledningen till denna regel är att sådana nollor efter decimaltecknet inte bidrar något (eller bidrar värdet <math> \, 0 </math>) till decimaltalets värde.
</div> 

== Placering av decimaltal på tallinjen ==
<div class="tolv"> 
Kunskapen om decimaltalens värde ska hjälpa oss att ha en uppfattning om decimaltalens storlek och deras korrekta placering på tallinjen.
</div> 

<div class="exempel"> 
== Exempel 4 ==
<big>
Vilket decimaltal pekar pilen på?   <math>\quad </math> [[Image: Decimaltallinje_60.jpg]]

Lösning:

::::::::::[[Image: Decimaltallinje_Svar_60.jpg]]

Förklaring:

:::* Vi befinner oss på den negativa delen av tallinjen.
:::* Skalans minsta steg på tallinjen är: <math> \; 1 \,/\, 4 \, = \, \displaystyle{{1 \over 4} \, = \, {1 \cdot {\color{Red} 5} \over 4 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {5 \over 20} \, = \, {5 \cdot {\color{Red} 5} \over 20 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {25 \over 100}} \, = \, 0,25 </math>
:::* Det sökta decimaltalet ligger mellan heltalen <math> \, -4 \, </math> och <math> \, -5 </math>.
:::* Utgående från <math> \, -4 \, </math> rör vi oss tre steg till vänster för att hitta det sökta decimaltalet: <math> \, -4 \,-\, 0,25 \,-\, 0,25 \,-\, 0,25 \, = \, {\color{Red} {-4,75}}</math>.
</big></div> 

<div class="tolv"> 
Omvandlingen av <math> \, 1 \,/\, 4 \, </math> till <math> \, 0,25 \, </math> i förklaringen ovan är ett exempel på användningen av viktiga decimaltal. Här sammanfattas några:
</div> 

<div class="exempel"> 
== Viktiga decimaltal ==
<big>
<table>
<tr>
<td>
:::<math> \displaystyle{ 0,1 \, = \, {1 \over 10} } </math>

:::<math> \displaystyle{ 0,01 \, = \, {1 \over 100} } </math>

:::<math> \displaystyle{ 0,001 \, = \, {1 \over 1000} } </math>
</td>
<td>
::::<math> \displaystyle{ 0,5 \, = \, {1 \over 2} } </math>

::::<math> \displaystyle{ 0,25 \, = \, {1 \over 4} } </math>

::::<math> \displaystyle{ 0,75 \, = \, {3 \over 4} } </math>
</td>
<td>
::::<math> \displaystyle{ 0,333\,333\,\ldots \, = \, {1 \over 3} } </math>

::::<math> \displaystyle{ 0,666\,666\,\ldots \, = \, {2 \over 3} } </math>

::::<math> \displaystyle{ 0,111\,111\,\ldots \, = \, {1 \over 9} } </math>
</td>
<td>
::::<math> \pi \quad = \, 3,141592653589793\,\ldots </math>

::::<math> \sqrt{2} \, = \, 1,414213562373095\,\ldots </math>

::::<math> \sqrt{3} \, = \, 1,732050807568877\,\ldots </math>

</td>
</tr>
</table>
</big>
</div> 

<div class="tolv"> 
I exemplen ovan kan man skilja åt tre grupper:
:*   Decimaltal med s.k. ändlig decimalutveckling, t.ex. <math> \, 0,75 \, </math> och alla decimaltal i de två första kolumnerna ovan.
:*   Decimaltal med s.k. periodisk decimalutveckling, t.ex. <math> \, 333\,333\,\ldots \, </math> och alla decimaltal i den tredje kolumnen.
:*   Decimaltal med s.k. icke-periodisk decimalutveckling, t.ex. <math> \, \pi \, = \, 3,141592653589793\,\ldots \, </math> och alla decimaltal i den fjärde kolumnen.

De två första grupperna bildar de rationella talen, medan den tredje gruppen tillhör de reella talen, se [[1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal|Olika typer av tal]].

Alla ändliga och periodiska decimalutvecklingar kan man skriva i bråkform (rationella), medan det inte längre går med de icke-periodiska (reella).
</div> 

== Ändlig decimalutveckling ==
<div class="tolv"> 
Så kallas decimaltal med ändligt många decimaler <math>-</math> den vanligaste typen av decimaltal <math>-</math> om man följer den redan nämnda [[1.3 Decimaltal#Exempel_2|regeln]] att utelämna nollorna efter decimaltecknet, t.ex. <math> \,0,75\,000\,000\,\ldots \, = \, 0,75 \, </math>.

Ändliga decimalutvecklingar kan alltid skrivas om till bråk. Omvänt kan bråk alltid skrivas om till ändliga eller periodiska decimalutvecklingar.

För att skriva decimaltal till bråk skrivs decimaltalet som ett bråk med en <math> \, 10</math>-potens (<math> \, 1 \, </math> med nollor) i nämnaren och förkortas så långt som möjligt:
</div> 

<div class="exempel"> 
== Exempel 5 ==
<big>
a)   Skriv <math> \; 0,75 \; </math> i bråkform.

      Lösning: <math> \; 0,75 \, = \, \displaystyle{{75 \over 100} \, = \, {15 \cdot {\color{Red} 5} \over 20 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {3 \cdot {\color{Red} {5 \cdot 5}} \over 4 \cdot {\color{Red} {5 \cdot 5}}} \, = \, {3 \cdot \cancel{\color{Red} {5 \cdot 5}} \over 4 \cdot \cancel{\color{Red} {5 \cdot 5}}} \, = \, {3 \over 4} } </math>

b)   Skriv <math> \; 0,125 \; </math> i bråkform.

      Lösning: <math> \; 0,125 \, = \, \displaystyle{{125 \over 1000} \, = \, {25 \cdot {\color{Red} 5} \over 200 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {5 \cdot {\color{Red} {5 \cdot 5}} \over 40 \cdot {\color{Red} {5 \cdot 5}}} \, = \, {1 \cdot {\color{Red} {5 \cdot 5 \cdot 5}} \over 8 \cdot {\color{Red} {5 \cdot 5 \cdot 5}}} \, = \, {1 \cdot \cancel{\color{Red} {5 \cdot 5 \cdot 5}} \over 8 \cdot \cancel{\color{Red} {5 \cdot 5 \cdot 5}}} \, = \, {1 \over 8} } </math>
</big></div> 

<div class="tolv"> 
Omvänt: För att skriva bråk till decimaltal förlängs bråket med målet att åstadkomma en <math> \, 10</math>-potens (<math> \, 1 \, </math> med nollor) i nämnaren. Är detta möjligt kan ändlig decimalutveckling uppnås. Annars är endast periodisk decimalutveckling möjlig som kan åstadkommas med metoder liknande [[1.3_Decimaltal#Exempel_7|Exempel 7]].
</div> 

<div class="exempel"> 
== Exempel 6 ==
<big>
a)   Skriv <math> \; \displaystyle{3 \over 4} \; </math> till decimaltal.

       Lösning: <math> \; \displaystyle{{3 \over 4} \, = \, {3 \cdot {\color{Red} 5} \over 4 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {15 \over 20} \, = \, {15 \cdot {\color{Red} 5} \over 20 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {75 \over 100}} \, = \, 0,75 </math>

b)   Skriv <math> \; \displaystyle{1 \over 8} \; </math> till decimaltal.

       Lösning: <math> \; \displaystyle{{1 \over 8} \, = \, {1 \cdot {\color{Red} 5} \over 8 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {5 \over 40} \, = \, {5 \cdot {\color{Red} 5} \over 40 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {25 \cdot {\color{Red} 5} \over 200 \cdot {\color{Red} 5}} \, = \, {125 \over 1000}} \, = \, 0,125 </math>
</big></div> 

== Periodisk decimalutveckling ==
<div class="tolv"> 
Så kallas decimaltal med oändligt många decimaler där decimalerna upprepas enligt ett mönster antingen som en enskild siffra eller gruppvis. Mönstret kallas för period. T.ex. har den periodiska decimalutvecklingen <math> \, 0,333\,333\,\ldots \, </math> perioden <math> \, 3 \, </math>, medan <math> \, 0,363636 \ldots \, </math> har perioden <math> \, 36 \, </math>.

Periodiska decimalutvecklingar kan inte skrivas om till bråk med en <math> \, 10</math>-potens i nämnaren, därför att de har oändligt många decimaler. Deras nämnare kan därför inte vara en <math> \, 10</math>-potens. Andra hjälpmedel än för ändliga decimalutvecklingar måste användas för att åstadkomma denna omskrivning:
</div> 

<div class="exempel"> 
== Exempel 7 ==
<big>
a)   Skriv <math> \; 0,333\,333\,\ldots \; </math> i bråkform.

      Lösning: <math> \quad \quad\; 10 \; \cdot \; 0,333\,333\,\ldots \; = \; 3,333\,333\,\ldots \qquad\qquad {\rm (I)} </math>

      Lösning: <math> \quad\; \underline{\quad\; 1 \;\, \cdot \; 0,333\,333\,\ldots \; = \; 0,333\,333\,\ldots} \qquad\qquad {\rm (II)} </math>

::<math>{\rm (I)-(II)} \quad\quad\! 9 \;\; \cdot \; 0,333\,333\,\ldots \; = \; 3 </math>

:::::::<math> \quad\, 0,333\,333\,\ldots \: = \: \displaystyle{3 \over 9} \; = \; {1 \cdot \cancel{\color{Red} 3} \over 3 \cdot \cancel{\color{Red} 3}} </math>

:::::::<math> \quad\, 0,333\,333\,\ldots \: = \: \displaystyle{1 \over 3} </math>

b)   Skriv <math> \; \displaystyle{1 \over 3} \; </math> till decimaltal.

       Lösning:

       Låt miniräknaren dividera <math> \, 1 \,/\, 3 \, </math> så får du:

:::<math> \quad\, \displaystyle{1 \over 3} \: = \: 0,333\,333\,\ldots </math>

       Samma resultat skulle även manuell division <math> \, 1 \,/\, 3 \, </math> ge, vilket vi dock inte vill genomföra här.
</big></div> 

== Icke-periodisk decimalutveckling ==
<div class="tolv"> 
Så kallas decimaltal som har oändligt många decimaler utan något upprepande mönster (utan period), t.ex.:

::::::<math>\sqrt{2} \; = \; 1,4142135623730950488016887\ldots \, </math>

Detta decimaltal är en icke-periodisk decimalutveckling, för det har inte bara oändligt många decimaler utan framför allt förekommer i det inga grupper av siffror som upprepas, dvs det har ingen period. Därför kan decimaltalet inte skrivas i bråkform.

Därmed är <math> \sqrt{2} \, </math> inget rationellt utan ett irrationellt tal, se även [[1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal|Olika typer av tal]]. Ändå är <math> \, \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \; = \; 2 \, </math> dvs ett heltal.

Ett annat exempel är talet [[1.3 Decimaltal#Viktiga_decimaltal|<big><math> \, \pi </math></big>]]. Det finns oändligt många irrationella tal.
</div> 

== Internetlänkar ==

https://www.elevspel.se/amnen/matematik/539-decimaltal.html

http://www.youtube.com/watch?v=6aGAzibVJ5M

http://nomp.se/nomp/#/!/matematik/52/braktal/ova-pa-skriv-braktal-som-decimaltal/52.FRACTIONS.3

https://www.youtube.com/watch?v=kTWP-n9-PEM

[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.