|
|
| Rad 11: |
Rad 11: |
| | | | |
| | __NOTOC__ <!-- __TOC__ --> | | __NOTOC__ <!-- __TOC__ --> |
| − | == <b><span style="color:#931136">Vad är en potens?</span></b> ==
| |
| − | <div class="exempel">
| |
| − | [[Image: Hur raknar du Potenser 20.jpg]]
| |
| − | :<math> {\rm {\color{Red} {OBS!\quad Vanligt\,fel:}}} \quad\; 2\,^3 \; = \; 6 </math>
| |
| − |
| |
| − | :<math> \qquad\quad\;\, {\rm Rätt:} \qquad\qquad\! 2\,^3 \; = \; 2 \cdot 2 \cdot 2 \; = \; 4 \cdot 2 \; = \; 8 </math>
| |
| − | </div> <!-- exempel -->
| |
| − |
| |
| − | <div class="tolv"> <!-- tolv1 -->
| |
| − | Felet beror på att man blandar ihop två olika räkneoperationer: multiplikationen med <strong><span style="color:red">upphöjt till</span></strong>.
| |
| − |
| |
| − | Hjärnan associerar <math> \, 2 \, </math> och <math> \, 3 \, </math> blind till multiplikationstabellen vilket ger <math> \, 6 \, </math>.
| |
| − |
| |
| − | I själva verket betyder <math> \, 2\,^{\color{Red} 3} \, </math> inte <math> \, 2 \cdot 3 \, </math> utan <math> \, \underbrace{2 \cdot 2 \cdot 2}_{{\color{Red} 3}\;\times} \, </math> och är en:
| |
| − | </div> <!-- tolv1 -->
| |
| − |
| |
| − | <table>
| |
| − | <tr>
| |
| − | <td><div class="border-divblue"><big>
| |
| − | <b>Potens</b>
| |
| − |
| |
| − | ::<math> 2\,^{\color{Red} 3} \; = \;\; \underbrace{2 \, \cdot \, 2 \, \cdot \, 2}_{{\color{Red} 3}\;\times} </math>
| |
| − |
| |
| − | <b>Upprepad multiplikation av </b>
| |
| − |
| |
| − | <b><math>2 \, </math> med sig själv, <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> gånger.</b>
| |
| − | </big></div>
| |
| − | </td>
| |
| − | <td> [[Image: Potens Bas Exponent_80.jpg]]</td>
| |
| − | </tr>
| |
| − | </table>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="tolv"> <!-- tolv2 -->
| |
| − | <math> \, 2\,^3 \, </math> läses <math> \, {\color{Red} 2} </math> <strong><span style="color:red">upphöjt till</span></strong><math> \, {\color{Red} 3} \, </math> och kallas för <strong><span style="color:red">potens</span></strong>. <math> \, 2\, </math> heter <strong><span style="color:red">basen</span></strong> och <math> \, 3 \, </math> <strong><span style="color:red">exponenten</span></strong>.
| |
| − |
| |
| − | Exponenten <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> är inget tal i vanlig bemärkelse utan endast en information om att <math> \, 2 \, </math> ska multipliceras <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> gånger med sig själv (jfr. [[1.2_Räkneordning#Varf.C3.B6r_g.C3.A5r_multiplikation_f.C3.B6re_addition.3F|<strong><span style="color:blue">upprepad addition</span></strong>]]).
| |
| − | </div> <!-- tolv2 -->
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="exempel"> <!-- exempel1 -->
| |
| − | == <b><span style="color:#931136">Exempel 1</span></b> ==
| |
| − | <big>
| |
| − | Förenkla<span style="color:black">:</span> <math> \qquad \displaystyle{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} </math>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <strong><span style="color:#931136">Lösning:</span></strong> <math> \qquad \displaystyle{{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \, = \, {2 \cdot 2 \cdot 2 \quad \cdot \quad 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \over 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \, = \, {2 \cdot 2 \cdot 2 \quad \cdot \quad 2 \cdot \cancel{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \over \cancel{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}} \, = \, 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \, = \, 4 \cdot 4 \, = \, 16} </math>
| |
| − |
| |
| − | :::::::::::::::::OBS! Förenkla alltid först, räkna sedan!
| |
| − |
| |
| − | Snabbare<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\!\! \displaystyle{{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \, = \, 2\,^{3\,+\,5\,-\,4} \, = \, 2\,^4 \, = \, 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \, = \, 4 \cdot 4 \, = \, 16} </math>
| |
| − | </big>
| |
| − | </div> <!-- exempel1 -->
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="tolv"> <!-- tolv2 -->
| |
| − | För att förstå den snabbare lösningen se [[1.7_Potenser#Potenslagarna|<strong><span style="color:blue">potenslagarna</span></strong>]].
| |
| − | </div> <!-- tolv2 -->
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | == <b><span style="color:#931136">Potens med positiva heltalsexponenter</span></b> ==
| |
| − | <div class="tolv"> <!-- tolv1 -->
| |
| − |
| |
| − | Potensen <big><math> \, a\,^{\color{Red} x} \, </math></big> kan, om exponenten <math> \, {\color{Red} x} \, </math> är ett positivt heltal och basen <big><math> \, a \, </math></big> ett tal <math> \neq 0 </math>, definieras som
| |
| − |
| |
| − | ::::::<b>Upprepad multiplikation av <big><math> \, a \, </math></big> med sig själv, <math> \, {\color{Red} x} \, </math> gånger:</b>
| |
| − |
| |
| − | ::::::::<big><math> a\,^{\color{Red} x} = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{{\color{Red} x}\;{\rm gånger}} </math></big>
| |
| − | </div> <!-- tolv1 -->
| |
| − |
| |
| − | <div class="exempel"> <!-- exempel2 -->
| |
| − | == <b><span style="color:#931136">Exempel 2</span></b> ==
| |
| − | <big>
| |
| − | Förenkla<span style="color:black">:</span> <big><math> \quad\;\; a\,^2 \, \cdot \, a\,^3 </math></big>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <strong><span style="color:#931136">Lösning:</span></strong>
| |
| − |
| |
| − | ::::<big><math> a\,^2 \cdot a\,^3 \; = \; \underbrace{a \cdot a}_{2\;\times} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot a}_{3\;\times} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}_{{\color{Red} 5}\;\times} \; = \; a\,^{\color{Red} 5}</math></big>
| |
| − |
| |
| − | Snabbare:
| |
| − |
| |
| − | ::::<big><math> a\,^2 \cdot a\,^3 \; = \; a\,^{2\,+\,3} = \; a\,^{\color{Red} 5} </math></big>
| |
| − | </big>
| |
| − | </div> <!-- exempel2 -->
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="tolv"> <!-- tolv2 -->
| |
| − | Den snabbare lösningen är ett exempel på den första potenslagen:
| |
| − | </div> <!-- tolv2 -->
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | == <b><span style="color:#931136">Potenslagarna</span></b> ==
| |
| − | <div class="tolv"> <!-- tolv3 -->
| |
| − |
| |
| − | Följande lagar gäller för potenser där basen <math> a\, </math> är ett tal <math> \neq 0 </math>, exponenterna <math> \, x \, </math> och <math> \, y \, </math> godtyckliga tal och <math> m,\,n </math> heltal (<math> n\neq 0 </math>):
| |
| − | </div> <!-- tolv3 -->
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="border-divblue"><big>
| |
| − | <b><span style="color:#931136">Första potenslagen:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\quad\;\, a^x \cdot a^y \; = \; a\,^{x \, + \, y} \qquad\qquad </math></big>
| |
| − | ----
| |
| − | <b><span style="color:#931136">Andra potenslagen:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\qquad\quad \displaystyle {a^x \over a^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} \qquad\qquad </math></big>
| |
| − | ----
| |
| − | <b><span style="color:#931136">Tredje potenslagen:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\qquad \displaystyle {(a^x)^y} \; = \; a\,^{x \, \cdot \, y} \qquad\qquad </math></big>
| |
| − | ----
| |
| − | <b><span style="color:#931136">Lagen om nollte potens:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\qquad\! a\,^0 \; = \; 1 \qquad\qquad </math></big>
| |
| − | ----
| |
| − | <b><span style="color:#931136">Lagen om negativ exponent:</span></b> <big><math> \qquad\qquad a\,^{-x} \; = \; \displaystyle {1 \over a\,^x} \qquad\qquad </math></big>
| |
| − | ----
| |
| − | <b><span style="color:#931136">Potens av en produkt:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\;\;\, (a \cdot b)\,^x \; = \; a\,^x \cdot b\,^x \qquad\qquad </math></big>
| |
| − | ----
| |
| − | <b><span style="color:#931136">Potens av en kvot:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\qquad \left(\displaystyle {a \over b}\right)^x \; = \; \displaystyle {a\,^x \over b\,^x} \qquad\qquad </math></big>
| |
| − | </big></div> <!-- border-divblue -->
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="tolv"> <!-- tolv3a -->
| |
| − | För enkelhets skull definierades potensbegreppet inledningsvis endast för positiva heltalsexponenter <math> \, x \, </math> och <math> \, y </math>. Men potenslagarna gäller även för exponenter som är negativa eller bråktal. I formuleringen "negativ exponent" antas <math> \, x > 0 </math>.
| |
| − | </div> <!-- tolv3a -->
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="exempel"> <!-- exempel3 -->
| |
| − | == <b><span style="color:#931136">Exempel 3</span></b> ==
| |
| − | <big>
| |
| − |
| |
| − | ::::<big><math> \displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; {a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \; \over \; a \cdot a \cdot a} \; = \; {a \cdot a \cdot \cancel{a \cdot a \cdot a} \; \over \; \cancel{a \cdot a \cdot a}} \; = \; a \cdot a \; = \; a\,^2 </math></big>
| |
| − |
| |
| − | Snabbare med andra potenslagen:
| |
| − |
| |
| − | ::::<big><math> \displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; a\,^{{\color{Red} {5\,-\,3}}} \; = \; a\,^2 </math></big>
| |
| − | </big>
| |
| − | </div> <!-- exempel3 -->
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="tolv"> <!-- tolv2 -->
| |
| − | '''Påstående (Lagen om nollte potens)''':
| |
| − |
| |
| − | ::::<big><math> a^0 \; = \; 1 </math></big>
| |
| − |
| |
| − | '''Bevis''':
| |
| − |
| |
| − | Påståendet kan bevisas genom att använda andra potenslagen:
| |
| − |
| |
| − | ::::<big><math> \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; a^{x-x} \; = \; a^0 </math></big>
| |
| − |
| |
| − | Å andra sidan vet vi att ett bråk med samma täljare som nämnare har värdet <math> \, 1 </math>:
| |
| − |
| |
| − | ::::<big><math> \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; 1 </math></big>
| |
| − |
| |
| − | Av raderna ovan följer påståendet:
| |
| − |
| |
| − | ::::<big><math> a^0 \; = \; 1 </math></big>
| |
| − | </div> <!-- tolv4 -->
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="exempel"> <!-- exempel4 -->
| |
| − | == <b><span style="color:#931136">Exempel på potenser med negativa exponenter</span></b> ==
| |
| − | <big>
| |
| − |
| |
| − | ::::<math> \displaystyle{10\,^{-1} \, = \, {1 \over 10\,^1} \, = \, {1 \over 10} \, = \, 0,1} </math>
| |
| − |
| |
| − | ::::<math> \displaystyle{10\,^{-2} \, = \, {1 \over 10\,^2} \, = \, {1 \over 10 \cdot 10} \, = \, {1 \over 100} \, = \, 0,01} </math>
| |
| − |
| |
| − | ::::<math> \displaystyle{10\,^{-3} \, = \, {1 \over 10\,^3} \, = \, {1 \over 10 \cdot 10 \cdot 10} \, = \, {1 \over 1000} \, = \, 0,001} </math>
| |
| − | </big>
| |
| − | </div> <!-- exempel4 -->
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="tolv"> <!-- tolv4a -->
| |
| − |
| |
| − | '''Påstående (Lagen om negativ exponent, <math> \, x > 0 </math>)''':
| |
| − |
| |
| − | ::::<big><math> a^{-x} = \displaystyle{1 \over a^x} </math></big>
| |
| − |
| |
| − | '''Bevis''':
| |
| − |
| |
| − | Påståendet kan bevisas genom att använda lagen om nollte potensen (baklänges) samt andra potenslagen:
| |
| − |
| |
| − | ::::<big><math> \displaystyle{1 \over a^x} \; = \; \displaystyle{a^0 \over a^x} \; = \; a^{0-x} \; = \; a^{-x} </math></big>
| |
| − |
| |
| − | Vi får påståendet, fast baklänges.
| |
| − | </div> <!-- tolv4a -->
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="tolv"> <!-- tolv5 -->
| |
| − | Att potenser med negativa exponenter är en naturlig fortsättning på potenser med positiva exponenter med nollte potensen däremellan illustrerar följande exempel:
| |
| − | </div> <!-- tolv5 -->
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="exempel"> <!-- exempel4 -->
| |
| − | == <b><span style="color:#931136">Varför är <math> \; 5\,^0 \, = \, 1 \; </math>?</span></b> ==
| |
| − | <big>
| |
| − |
| |
| − | ::::<math> \;\; 5^4 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 </math>
| |
| − |
| |
| − | ::::<math> \;\; 5^3 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 </math>
| |
| − |
| |
| − | ::::<math> \;\; 5^2 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 </math>
| |
| − |
| |
| − | ::::<math> \;\; 5^1 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 </math>
| |
| − |
| |
| − | ::::<math> \;\; {\color{Red} {5^0 \; = \; 1}} </math>
| |
| − |
| |
| − | ::::<math> \;\; 5^{-1} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5} </math>
| |
| − |
| |
| − | ::::<math> \;\; 5^{-2} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5} </math>
| |
| − |
| |
| − | ::::<math> \;\; 5^{-3} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5} </math>
| |
| − |
| |
| − | ::::<math> \;\; 5^{-4} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 } </math>
| |
| − |
| |
| − | Att <math> \; {\color{Red} 1} </math>-orna följer med hela tiden beror på att multiplikationens ''enhet'' är <math> \, {\color{Red} 1} </math>, dvs <math> \, a \cdot {\color{Red} 1} \, = \, a </math>. Därför blir endast <math> \, {\color{Red} 1} \, </math> kvar, när vi kommer till <math> \, {\color{Red} {5^0}} \, </math> då alla <math> \, 5</math>-or har försvunnit.
| |
| − | </big>
| |
| − | </div> <!-- exempel4 -->
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="tolv"> <!-- tolv5 -->
| |
| − | Jämför med:
| |
| − | </div> <!-- tolv5 -->
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="exempel"> <!-- exempel5 -->
| |
| − | == <b><span style="color:#931136">Varför är <math> \; 5 \cdot 0 \, = \, 0 \; </math>?</span></b> ==
| |
| − | <big>
| |
| − |
| |
| − | ::::<math> \;\; 5 \cdot 4 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 + 5 + 5 </math>
| |
| − |
| |
| − | ::::<math> \;\; 5 \cdot 3 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 + 5 </math>
| |
| − |
| |
| − | ::::<math> \;\; 5 \cdot 2 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 </math>
| |
| − |
| |
| − | ::::<math> \;\; 5 \cdot 1 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 </math>
| |
| − |
| |
| − | ::::<math> \;\; {\color{Red} {5 \cdot 0 \; = \; 0}} </math>
| |
| − |
| |
| − | ::::<math> \;\; 5 \cdot (-1) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 </math>
| |
| − |
| |
| − | ::::<math> \;\; 5 \cdot (-2) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 </math>
| |
| − |
| |
| − | ::::<math> \;\; 5 \cdot (-3) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 - 5 </math>
| |
| − |
| |
| − | ::::<math> \;\; 5 \cdot (-4) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 - 5 - 5 </math>
| |
| − |
| |
| − | Att <math> \; {\color{Red} 0} </math>-orna följer med hela tiden beror på att additionens ''enhet'' är <math> \, {\color{Red} 0} </math>, dvs <math> \, a + {\color{Red} 0} \, = \, a </math>. Därför blir endast <math> \, {\color{Red} 0} \, </math> kvar, när vi kommer till <math> \, {\color{Red} {5 \cdot 0}} \, </math> då alla <math> \, 5</math>-or har försvunnit.
| |
| − | </big>
| |
| − | </div> <!-- exempel5 -->
| |
| − |
| |
| − |
| |
| | == <b><span style="color:#931136">1.7.1 Grundpotensform</span></b> == | | == <b><span style="color:#931136">1.7.1 Grundpotensform</span></b> == |
| | <div class="tolv"> <!-- tolv6 --> | | <div class="tolv"> <!-- tolv6 --> |
