Skillnad mellan versioner av "1.3.1 Avrundning och värdesiffror"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 29: | Rad 29: | ||
Meningen med denna regel är att avrunda ett decimaltal till det önskade antalet decimaler så att avrundningsfelet blir så litet som möjligt. | Meningen med denna regel är att avrunda ett decimaltal till det önskade antalet decimaler så att avrundningsfelet blir så litet som möjligt. | ||
</big> | </big> | ||
| + | |||
<div class="exempel"> <!-- exempel1 --> | <div class="exempel"> <!-- exempel1 --> | ||
Versionen från 19 juli 2015 kl. 14.12
| <-- Förra avsnitt | Decimaltal | Avrundning | Övningar | Nästa avsnitt --> |
Om ett decimaltal ska avrundas till \( \, {\color{Red} n} \,\) decimaler kallas den \( \, {\color{Red} n}\)-te decimalen för avrundningssiffran.
Avrundningsregeln:
Om siffran efter avrundningssiffran är:
- \( 0, \, 1, \, 2, \, 3 \; {\rm eller} \; 4 , \quad {\rm bibehåll\;\;avrundningssiffran.} \)
- \( 5, \, 6, \, 7, \, 8 \; {\rm eller} \; 9 , \quad {\rm höj\;\;avrundningssiffran\;\;ett\;\;steg.} \qquad \)
Meningen med denna regel är att avrunda ett decimaltal till det önskade antalet decimaler så att avrundningsfelet blir så litet som möjligt.
Exempel 1
Skriv \( \; \displaystyle{2 \over 3} \; \) till decimaltal. Avrunda ditt svar till \( \, {\color{Red} 2} \,\) decimaler.
Lösning:
\( \displaystyle{2 \over 3} \; = \; 2 \cdot \; \) \( \displaystyle{1 \over 3} \) \( \; = \; 2 \cdot \; \) \( \, 0,333\,333\,\ldots \) \( \; = \; 0,6{\color{Red} 6} 66\,666\,\ldots \; \approx \; \underline{0,6{\color{Red} 7}} \)
Avrundningssiffran är markerad med rött.
OBS! Inte alla uttryck med en \( \, 10\)-potens är grundpotensformer. Talet \( \, a \, \) framför \( \, 10\)-potensen måste vara \( \, < 10 \, \).
Villkoret \( \quad\ 1 \leq a < 10 \quad \) i definitionen gör att alla tal endast på ett sätt kan skrivas i grundpotensform.
I praktiken används grundpotensformen för att kunna skriva stora och små tal, utan att behöva skriva så många nollor.
Exempel på stora och små tal i grundpotensform
Stora tal: \( \qquad 8\,250\,000\,000\,000\,000 \; = \; 8,25 \, \cdot \, 10\,^{15} \)
Små tal: \( \qquad\; 0,000\,000\,000\,000\,16 \;\; = \;\; 1,6 \, \cdot \, 10\,^{-13} \)
Läs exemplen ovan från höger för att förstå hur man skriver grundpotensform till vanligt tal:
Att multiplicera \( \, 8,25 \, \) med \( \, 10\,^{15} \, \) innebär att flytta \( \, 8,25\):s decimalkomma \( \, 15 \, \)positioner till höger.
Att multiplicera \( \, 1,6 \, \) med \( \, 10\,^{-13} \, \) innebär att flytta \( \, 1,6\):s decimalkomma \( \, 13 \, \)positioner till vänster.
Omvänt, hur man skriver vanliga tal i grundpotensform, förklaras i Exempel 3 och 4 längre fram.
Exempel 1
Skriv grundpotensformen \( \; 6,28 \cdot 10\,^6 \; \) till vanligt tal.
Lösning: \( \qquad \)Att multiplicera \( \, 6,28 \, \) med \( \, 10\,^6 \, \) innebär att multiplicera \( \, 6,28 \, \) med \( \, 1\,000\,000 \, \) och därmed att flytta \( \, 6,28\):s decimalkomma \( \, 6 \, \) positioner till höger:
\[ \qquad\;\,\qquad\quad\; 6,28 \cdot 10\,^6 \, = \, 6,28 \cdot 1\,000\,000 \, = \, \underline{6\,280\,000} \]
Exempel 2
Skriv grundpotensformen \( \; 3 \cdot 10\,^{-4} \; \) till vanligt tal.
Lösning: \( \qquad \)Att multiplicera \( \, 3 \, \) med \( \, 10\,^{-4} \, \) innebär att multiplicera \( \, 3 \, \) med \( \, 0,000\,1 \, \) och därmed att flytta \( \, 3\):s decimalkomma \( \, 4 \, \) positioner till vänster.
- Decimalkommats aktuella position är \( \, 3,0 \, \). Flyttning \( \, 4 \, \) positioner till vänster ger \( \, 0,000\,3 \, \):
\[ \qquad\;\,\qquad\quad\; 3 \cdot 10\,^{-4} \, = \, 3 \cdot \displaystyle{{1 \over 10\,^4} \, = \, 3 \cdot {1 \over 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10} \, = \, 3 \cdot {1 \over 10\,000} \, = \, 3 \cdot 0,000\,1 \, = \, \underline{0,000\,3}} \]
Exempel 3
Skriv \( \; 11\,000 \; \) i grundpotensform.
Lösning: \( \qquad 11\,000 \, = \, 11 \cdot 1\,000 \, = \, 11 \cdot 10\,^3 \, = \, 11 \cdot \underbrace{ {\color{Red} {10\,^{-1} \cdot 10\,^1}} }_{=\;1} \cdot 10\,^3 \, = \, (11 \cdot {\color{Red} {10\,^{-1}}}) \cdot ({\color{Red} {10\,^1}} \cdot 10\,^3) \, = \, \underline{1,1 \cdot 10\,^4} \)
\[ {\rm {\color{Red} {OBS!\qquad\quad\; Vanligt\,fel:}}} \quad\;\; 11 \cdot 10\,^3 \quad {\rm som\;svar.} \]
\( \qquad\;\,\qquad\quad\; {\rm Därför\;att} \qquad 11 \cdot 10\,^3 \quad {\rm inte\;är\;någon\;grundpotensform:} \quad 11 > 10 \quad , \) se definitionen:
\[ \qquad\;\,\qquad\quad\; {\rm Villkoret} \quad 1 \leq a < 10 \quad {\rm är\;inte\;uppfyllt\;} \quad \Longrightarrow \quad 11 \; {\rm inte\;lämpligt\;som\;} a \, {\rm .}\]
Visserligen är \( \, 11 \cdot 10\,^3 \, \) ett uttryck med en \( \, 10\)-potens, men ingen grundpotensform. Endast \( \, \underline{1,1 \cdot 10\,^4} \, \) är grundpotensformen till \( \, 11\,000 \).
Exempel 4
Skriv \( \; 0,000\,39 \; \) i grundpotensform.
Lösning: \( \qquad 0,000\,39 \; {\rm har} \; 5 \; {\rm decimaler} \quad \Longrightarrow \quad 0,000\,39 \, = \, 39 \cdot 10\,^{-5} \)
- \[ \; a \; {\rm måste\;uppfylla\;villkoret\;} \; 1 \leq a < 10 \quad \Longrightarrow \quad 39 \; {\rm inte\;lämpligt\;som\;} a \, {\rm .}\]
- \[ \; {\rm Därför:} \quad 0,000\,39 \, = \, 39 \cdot 10\,^{-5} \, = \, 39 \cdot \underbrace{ {\color{Red} {10\,^{-1} \cdot 10\,^1}} }_{=\;1} \cdot 10\,^{-5} \, = \, (39 \cdot {\color{Red} {10\,^{-1}}}) \cdot ({\color{Red} {10\,^1}} \cdot 10\,^{-5}) \, = \, \underline{3,9 \cdot 10\,^{-4}} \]
Samma sak här: \( \, 39 \cdot 10\,^{-5} \, \) är ett uttryck med en \( \, 10\)-potens, men ingen grundpotensform. Endast \( \, \underline{3,9 \cdot 10\,^{-4}} \, \) är grundpotensformen till \( \; 0,000\,39 \).
Internetlänkar
https://www.youtube.com/watch?v=G8EqeYUXZOk
http://www.maspa.se/MATEMATIK/Matte4/Aritmetik/Naturliga%20Tal/Reknelagar/1asja.html
https://www.youtube.com/watch?v=Dme-G4rc6NI
Copyright © 2010-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
