1)   Ta exemplet \( \, r = 4 \, \). Beräkna \( \, a = f(4) \, \). Beräkna båda figurernas areor. Vilken är större?

Med \( \, r = 4 \, \) och \( \, a = 6,28 \, \) beräknar vi figurernas areor:

\( \quad\; \displaystyle A_{cirkel} \, = \, \pi \cdot r^2 \, = \, \pi \cdot 4^2 \, = \, \pi \cdot 16 \, \approx \, 3,14 \cdot 16 \, = \, \underline{50,24} \)

\( \quad\; \displaystyle A_{kvadrat} \, = \, a^2 \, = \, 6,28^2 \, = \, \underline{39,44} \).

Slutsats: \( \quad \) Cirkelns area är större än kvadratens.

2)   Ta flera exempel, t.ex. \( r = 2 \), \( \; r = 6 \; \) och \( \; r = 8 \). Gör samma sak som i steg 1.

\( \quad\; \color{Red}{r = 2} \; \) insatt i inramad formel i steg 1 ovan ger \( \quad \displaystyle a = f(2) = \frac{\pi}{2} \cdot \, 2 = \frac{\pi\cdot 2}{2} = \pi \, \approx \, 3,14 \quad \)

Med \( \, r = 2 \, \) och \( \, a = 3,14 \, \) beräknar vi figurernas areor:

\( \quad\; \displaystyle A_{cirkel} \, = \, \pi \cdot r^2 \, = \, \pi \cdot 2^2 \, = \, \pi \cdot 4 \, \approx \, 3,14 \cdot 4 \, = \, \underline{12,56} \)

\( \quad\; \displaystyle A_{kvadrat} \, = \, a^2 \, = \, 3,14^2 \, = \, \underline{9,86} \).

Slutsats: \( \quad \) Cirkelns area är större än kvadratens.

Med exemplen \( \; \color{Red}{r = 6} \; \) och \( \; \color{Red}{r = 8} \; \) gör man på exakt samma sätt.

Slutsaterna blir alltid: \( \quad \) Cirkelns area är större än kvadratens.

3)   Lös uppgiften generellt med \( \, r \, \) och \( \, a \, \) som variabler. Ställ upp ett uttryck för arean till resp. figur.

      Bilda kvoten mellan deras areor dvs \( \, \displaystyle \frac{A_{cirkel}}{A_{kvadrat}} \, \).

      Räkna exakt dvs bibehålla \( \, \pi \, \) som bokstav och använd hela tiden bråk istället för decimaltal.

      Förenkla kvoten så långt som möjligt. Vilken figur har alltid större area?

      Är resultatet beroende av figurernas storlek, dvs av \( \, r \, \) och \( \, a \, \)?

      Ange hur många procent den ena figuren är större än den andra.