Skillnad mellan versioner av "1.7.1 Grundpotensform"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(172 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 +
__NOTOC__
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Not selected tab|[[1.6 Delbarhet, primtal och faktorisering|<-- Förra avsnitt]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.7 Potenser|Potenser]]}}
−
{{Not selected tab|[[1.7 Potenser|Genomgång]]}}
+
 
{{Selected tab|[[1.7.1_Grundpotensform|Grundpotensform]]}}
 
{{Selected tab|[[1.7.1_Grundpotensform|Grundpotensform]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.7 Quiz till Potenser|Quiz]]}}
 
{{Not selected tab|[[1.7 Övningar till Potenser|Övningar]]}}
 
{{Not selected tab|[[1.7 Övningar till Potenser|Övningar]]}}
−
{{Not selected tab|[[1.8 Talsystem med olika baser|Nästa avsnitt -->]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.7 Lathund till Potenser Webbversion|Lathund]]}}
 +
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 +
|}
 +
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 +
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
 +
{{Not selected tab|[[1.6 Delbarhet, primtal och faktorisering| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
 +
{{Not selected tab|    }}
 +
{{Not selected tab|    }}
 +
{{Not selected tab|    }}
 +
{{Not selected tab|[[1.8 Omvandling av enheter och Prefix|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
−
 
−
__NOTOC__  <!-- __TOC__ -->
 
−
== <b><span style="color:#931136">Vad är en potens?</span></b> ==
 
−
<div class="exempel">
 
−
[[Image: Hur raknar du Potenser 20.jpg]]
 
−
:<math> {\rm {\color{Red} {OBS!\quad Vanligt\,fel:}}} \quad\; 2\,^3 \; = \; 6 </math>
 
−
 
−
:<math> \qquad\quad\;\, {\rm Rätt:} \qquad\qquad\! 2\,^3 \; = \; 2 \cdot 2 \cdot 2 \; = \; 4 \cdot 2 \; = \; 8 </math>
 
−
</div>  <!-- exempel -->
 
  
 
<div class="tolv"> <!-- tolv1 -->
 
<div class="tolv"> <!-- tolv1 -->
−
Felet beror på att man blandar ihop två olika räkneoperationer: multiplikationen med <strong><span style="color:red">upphöjt till</span></strong>.
+
För att förenkla skrivandet av stora och små tal används <b><span style="color:red">grundpotensform</span></b> (eng. [https://www.youtube.com/watch?v=Dme-G4rc6NI|<b><span style="color:blue">scientific notation</span></b>]) som är ett sätt att skriva tal med hjälp av <math>10</math>-potenser.
  
−
Hjärnan associerar <math> \, 2 \, </math> och <math> \, 3 \, </math> blind till multiplikationstabellen vilket ger <math> \, 6 \, </math>.
+
Grundpotensform visas i räknarens display (beroende på modellen) t.ex. så här:
  
−
I själva verket betyder <math> \, 2\,^{\color{Red} 3} \, </math> inte <math> \, 2 \cdot 3 \, </math> utan <math> \, \underbrace{2 \cdot 2 \cdot 2}_{{\color{Red} 3}\;\times} \, </math> och är en:
 
−
</div> <!-- tolv1 -->
 
  
−
<table>
+
::[[Image: Grundpotensform_60b.jpg]]
−
<tr>
+
−
  <td><div class="border-divblue"><big>
+
−
<b>Potens</b>
+
  
−
::<math> 2\,^{\color{Red} 3} \; = \;\; \underbrace{2 \, \cdot \, 2 \, \cdot \, 2}_{{\color{Red} 3}\;\times} </math>  
+
Mera utförligt<span style="color:black">:</span>
  
−
<b>Upprepad multiplikation av </b>
+
<math> 5,26 \, {\text E} \, {\color{Red} {-3}} \, = \, 5,26 \cdot 10\,^{\color{Red} {-3}} \, = \, 5,26 \cdot \displaystyle{{1 \over 10\,^3} \, = \, 5,26 \cdot {1 \over 10 \cdot 10 \cdot 10} \, = \, 5,26 \cdot {1 \over 1000} \, = \, 5,26 \cdot 0,001 \, = \, 0,00526} </math>
 +
</div> <!-- tolv1 -->
  
−
<b><math>2 \, </math> med sig själv, <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> gånger.</b>
 
−
</big></div>
 
−
</td>
 
−
  <td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image: Potens Bas Exponent_80.jpg]]</td>
 
−
</tr>
 
−
</table>
 
  
 +
<div class="border-divblue">
 +
== <small><b><span style="color:#931136">Definition:</span></b></small> ==
  
−
<div class="tolv"> <!-- tolv2 -->
 
−
<math> \, 2\,^3 \, </math> läses <math> \, {\color{Red} 2} </math> <strong><span style="color:red">upphöjt till</span></strong><math> \, {\color{Red} 3} \, </math> och kallas för &nbsp;<strong><span style="color:red">potens</span></strong>. <math> \, 2\, </math> heter <strong><span style="color:red">basen</span></strong> och <math> \, 3 \, </math> <strong><span style="color:red">exponenten</span></strong>.
 
−
 
−
Exponenten <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> är inget tal i vanlig bemärkelse utan endast en information om att <math> \, 2 \, </math> ska multipliceras <math> \, {\color{Red} 3} \, </math> gånger med sig själv  (jfr. [[1.2_Räkneordning#Varf.C3.B6r_g.C3.A5r_multiplikation_f.C3.B6re_addition.3F|<strong><span style="color:blue">upprepad addition</span></strong>]]).
 
−
</div> <!-- tolv2 -->
 
−
 
−
 
−
<div class="exempel"> <!-- exempel1 -->
 
−
== <b><span style="color:#931136">Exempel 1</span></b> ==
 
 
<big>
 
<big>
−
Förenkla<span style="color:black">:</span> <math> \qquad \displaystyle{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} </math>
+
<b><span style="color:#931136"><math> a \cdot 10\,^n \; </math></span></b> kallas <b><span style="color:#931136">grundpotensform</span></b> om <b><span style="color:#931136"><math> n \, </math></span></b> är heltal och <math> \; 1 \leq </math> <b><span style="color:#931136"><math> a </math></span></b> <math> < 10 \; </math>.
  
 +
Dvs <b><span style="color:#931136"><math> \, a \, </math></span></b> måste vara mellan <math> \, 1,\ldots \, </math> och <math> \, 9,\ldots \; </math>.</big>
 +
</div>
  
−
<strong><span style="color:#931136">Lösning:</span></strong> <math> \qquad \displaystyle{{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \, = \, {2 \cdot 2 \cdot 2 \quad \cdot \quad 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \over 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \, = \, {2 \cdot 2 \cdot 2 \quad \cdot \quad 2 \cdot \cancel{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \over \cancel{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}} \, = \, 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \, = \, 4 \cdot 4 \, = \, 16} </math>
 
  
−
:::::::::::::::::OBS! &nbsp; Förenkla alltid först, räkna sedan!
+
<div class="tolv"> <!-- tolv2 -->
 +
<b>OBS!</b> &nbsp;&nbsp; Inte alla uttryck med en <math> \, 10</math>-potens är grundpotensformer. Talet <math> \, a \, </math> som står framför <math> \, 10</math>-potensen måste vara <math> \, < 10 \, </math>.
  
−
Snabbare<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\!\! \displaystyle{{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \, = \, 2\,^{3\,+\,5\,-\,4} \, = \, 2\,^4 \, = \, 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \, = \, 4 \cdot 4 \, = \, 16} </math>
+
Villkoret <math> \quad\ 1 \leq a < 10 \quad </math> i definitionen gör att alla tal <i>endast på ett sätt</i> kan skrivas i grundpotensform.
−
</big>
+
−
</div>  <!-- exempel1 -->
+
  
−
 
+
I praktiken används grundpotensformen för att kunna skriva stora och små tal kompakt, utan att behöva skriva så många nollor.
−
<div class="tolv"> <!-- tolv2 -->
+
−
För att förstå den snabbare lösningen se [[1.7_Potenser#Potenslagarna|<strong><span style="color:blue">potenslagarna</span></strong>]].
+
 
</div> <!-- tolv2 -->
 
</div> <!-- tolv2 -->
  
−
 
−
== <b><span style="color:#931136">Potens med positiva heltalsexponenter</span></b> ==
 
−
<div class="tolv"> <!-- tolv1 -->
 
−
 
−
Potensen <big><math> \, a\,^{\color{Red} x} \, </math></big> kan, om exponenten <math> \, {\color{Red} x} \, </math> är ett positivt heltal och basen <big><math> \, a \, </math></big> ett tal <math> \neq 0 </math>, definieras som
 
−
 
−
::::::<b>Upprepad multiplikation av <big><math> \, a \, </math></big> med sig själv, <math> \, {\color{Red} x} \, </math> gånger:</b>
 
−
 
−
::::::::<big><math> a\,^{\color{Red} x} = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{{\color{Red} x}\;{\rm gånger}} </math></big>
 
−
</div> <!-- tolv1 -->
 
  
 
<div class="exempel"> <!-- exempel2 -->
 
<div class="exempel"> <!-- exempel2 -->
−
== <b><span style="color:#931136">Exempel 2</span></b> ==
+
== <b><span style="color:#931136">Exempel på stora och små tal i grundpotensform</span></b> ==
 
<big>
 
<big>
−
Förenkla<span style="color:black">:</span> <big><math> \quad\;\; a\,^2 \, \cdot \, a\,^3 </math></big>
 
  
  
−
<strong><span style="color:#931136">Lösning:</span></strong>  
+
<b><span style="color:#931136">Stora tal:</span></b> <math> \qquad 8\,250\,000\,000\,000\,000 \; = \; 8,25 \, \cdot \, 10\,^{15} </math>
 +
 
  
−
::::<big><math> a\,^2 \cdot a\,^3 \; = \; \underbrace{a \cdot a}_{2\;\times} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot a}_{3\;\times} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}_{{\color{Red} 5}\;\times} \; = \; a\,^{\color{Red} 5}</math></big>
+
<b><span style="color:#931136">Små tal:</span></b> <math> \qquad\; 0,000\,000\,000\,000\,16 \;\; = \;\; 1,6 \, \cdot \, 10\,^{-13} </math>
  
−
Snabbare:
 
  
−
::::<big><math> a\,^2 \cdot a\,^3 \; = \; a\,^{2\,+\,3} = \; a\,^{\color{Red} 5} </math></big>
 
 
</big>
 
</big>
 
</div> <!-- exempel2 -->
 
</div> <!-- exempel2 -->
  
  
−
<div class="tolv"> <!-- tolv2 -->
+
<div class="tolv"> <!-- tolv3 -->
−
Den snabbare lösningen är ett exempel på den första potenslagen:
+
Läs exemplen ovan från höger för att förstå hur man skriver grundpotensform till vanligt tal:
−
</div> <!-- tolv2 -->
+
  
 +
Att multiplicera <math> \, 8,25 \, </math> med <math> \, 10\,^{15} \, </math> innebär att flytta <math> \, 8,25</math>:s decimaltecken <math> \, 15  \, </math>positioner till höger.
  
−
== <b><span style="color:#931136">Potenslagarna</span></b> ==
+
Att multiplicera <math> \, 1,6 \, </math> med <math> \, 10\,^{-13} \, </math> innebär att flytta <math> \, 1,6</math>:s decimaltecken <math> \, 13  \, </math>positioner till vänster.
−
<div class="tolv"> <!-- tolv3 -->
+
  
−
Följande lagar gäller för potenser där basen <math> a\, </math> är ett tal <math> \neq 0 </math>, exponenterna <math> \, x \, </math> och <math> \, y \, </math> godtyckliga tal och <math> m,\,n </math> heltal (<math> n\neq 0 </math>):
+
Omvänt, hur man skriver vanliga tal i grundpotensform, förklaras i [[1.7.1_Grundpotensform#Exempel_3|<b><span style="color:blue">Exempel 3 och 4</span></b>]] längre fram.
 
</div> <!-- tolv3 -->
 
</div> <!-- tolv3 -->
  
  
−
<div class="border-divblue"><big>
+
<div class="exempel"> <!-- exempel5 -->
−
<b><span style="color:#931136">Första potenslagen:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\quad\;\, a^x \cdot a^y \; = \; a\,^{x \, + \, y} \qquad\qquad </math></big>
+
== <b><span style="color:#931136">Exempel 1</span></b> ==
−
----
+
−
<b><span style="color:#931136">Andra potenslagen:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\qquad\quad \displaystyle {a^x \over a^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} \qquad\qquad </math></big>
+
−
----
+
−
<b><span style="color:#931136">Tredje potenslagen:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\qquad \displaystyle {(a^x)^y} \; = \; a\,^{x \, \cdot \, y} \qquad\qquad </math></big>
+
−
----
+
−
<b><span style="color:#931136">Lagen om nollte potens:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\qquad\! a\,^0 \; = \; 1 \qquad\qquad </math></big>
+
−
----
+
−
<b><span style="color:#931136">Lagen om negativ exponent:</span></b> <big><math> \qquad\qquad a\,^{-x} \; = \; \displaystyle {1 \over a\,^x} \qquad\qquad </math></big>
+
−
----
+
−
<b><span style="color:#931136">Potens av en produkt:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\;\;\, (a \cdot b)\,^x \; = \; a\,^x \cdot b\,^x \qquad\qquad </math></big>
+
−
----
+
−
<b><span style="color:#931136">Potens av en kvot:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\qquad \left(\displaystyle {a \over b}\right)^x \; = \; \displaystyle {a\,^x \over b\,^x} \qquad\qquad </math></big>
+
−
</big></div> <!-- border-divblue -->
+
−
 
+
−
 
+
−
<div class="tolv"> <!-- tolv3a -->
+
−
För enkelhets skull definierades potensbegreppet inledningsvis endast för positiva heltalsexponenter <math> \, x \, </math> och <math> \, y </math>. Men potenslagarna gäller även för exponenter som är negativa eller bråktal. I formuleringen "negativ exponent" antas <math> \, x > 0 </math>.
+
−
</div> <!-- tolv3a -->
+
−
 
+
−
 
+
−
<div class="exempel"> <!-- exempel3 -->
+
−
== <b><span style="color:#931136">Exempel 3</span></b> ==
+
 
<big>
 
<big>
 +
Skriv grundpotensformen <math> \; 6,28 \cdot 10\,^6 \; </math> till vanligt tal.
  
−
::::<big><math> \displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; {a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \; \over \; a \cdot a \cdot a} \; = \; {a \cdot a \cdot \cancel{a \cdot a \cdot a} \; \over \; \cancel{a \cdot a \cdot a}} \; = \; a \cdot a \; = \; a\,^2 </math></big>
 
  
−
Snabbare med andra potenslagen:
+
<b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b> <math> \qquad </math>Att multiplicera <math> \, 6,28 \, </math> med <math> \, 10\,^6 \, </math> innebär att multiplicera <math> \, 6,28 \, </math> med <math> \, 1\,000\,000 \, </math> och därmed att flytta <math> \, 6,28</math>:s decimaltecken <math> \, 6  \, </math> positioner till höger:
  
−
::::<big><math> \displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; a\,^{{\color{Red} {5\,-\,3}}} \; = \; a\,^2 </math></big>
+
:<math> \qquad\;\,\qquad\quad\; 6,28 \cdot 10\,^6 \, = \, 6,28 \cdot 1\,000\,000 \, = \, \underline{6\,280\,000} </math>
 
</big>
 
</big>
−
</div> <!-- exempel3 -->
+
</div> <!-- exempel5 -->
  
  
−
<div class="tolv"> <!-- tolv2 -->
+
<div class="exempel"> <!-- exempel6 -->
−
'''Påstående (Lagen om nollte potens)''':
+
== <b><span style="color:#931136">Exempel 2</span></b> ==
−
 
+
−
::::<big><math> a^0 \; = \; 1 </math></big>
+
−
 
+
−
'''Bevis''':
+
−
 
+
−
Påståendet kan bevisas genom att använda andra potenslagen:
+
−
 
+
−
::::<big><math> \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; a^{x-x} \; = \; a^0 </math></big>
+
−
 
+
−
Å andra sidan vet vi att ett bråk med samma täljare som nämnare har värdet <math> \, 1 </math>:
+
−
 
+
−
::::<big><math> \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; 1 </math></big>
+
−
 
+
−
Av raderna ovan följer påståendet:
+
−
 
+
−
::::<big><math> a^0 \; = \; 1 </math></big>
+
−
</div> <!-- tolv4 -->
+
−
 
+
−
 
+
−
<div class="exempel"> <!-- exempel4 -->
+
−
== <b><span style="color:#931136">Exempel på potenser med negativa exponenter</span></b> ==
+
 
<big>
 
<big>
 +
Skriv grundpotensformen <math> \; 3 \cdot 10\,^{-4} \; </math> till vanligt tal.
  
−
::::<math> \displaystyle{10\,^{-1} \, = \, {1 \over 10\,^1} \, = \, {1 \over 10} \, = \, 0,1} </math>
 
  
−
::::<math> \displaystyle{10\,^{-2} \, = \, {1 \over 10\,^2} \, = \, {1 \over 10 \cdot 10} \, = \, {1 \over 100} \, = \, 0,01} </math>
+
<b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b> <math> \qquad </math>Att multiplicera <math> \, 3 \, </math> med <math> \, 10\,^{-4} \, </math> innebär att multiplicera <math> \, 3 \, </math> med <math> \, 0,000\,1 \, </math> och därmed att flytta <math> \, 3</math>:s decimaltecken <math> \, 4  \, </math> positioner till vänster.
  
−
::::<math> \displaystyle{10\,^{-3} \, = \, {1 \over 10\,^3} \, = \, {1 \over 10 \cdot 10 \cdot 10} \, = \, {1 \over 1000} \, = \, 0,001} </math>
+
::::&nbsp;&nbsp;Decimaltecknets aktuella position är <math> \, 3,0  \, </math>. Flyttning <math> \, 4  \, </math> positioner till vänster ger <math> \, 0,000\,3  \, </math>:
−
</big>
+
−
</div> <!-- exempel4 -->
+
  
−
 
+
:<math> \qquad\;\,\qquad\quad\; 3 \cdot 10\,^{-4} \, = \, 3 \cdot \displaystyle{{1 \over 10\,^4} \, = \, 3 \cdot {1 \over 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10} \, = \, 3 \cdot {1 \over 10\,000} \, = \, 3 \cdot 0,000\,1 \, = \, \underline{0,000\,3}} </math>
−
<div class="tolv"> <!-- tolv4a -->
+
−
 
+
−
'''Påstående (Lagen om negativ exponent, <math> \, x > 0 </math>)''':
+
−
 
+
−
::::<big><math> a^{-x} = \displaystyle{1 \over a^x} </math></big>
+
−
 
+
−
'''Bevis''':
+
−
 
+
−
Påståendet kan bevisas genom att använda lagen om nollte potensen (baklänges) samt andra potenslagen:
+
−
 
+
−
::::<big><math> \displaystyle{1 \over a^x} \; = \; \displaystyle{a^0 \over a^x} \; = \; a^{0-x} \; = \; a^{-x} </math></big>
+
−
 
+
−
Vi får påståendet, fast baklänges.
+
−
</div> <!-- tolv4a -->
+
−
 
+
−
 
+
−
<div class="tolv"> <!-- tolv5 -->
+
−
Att potenser med negativa exponenter är en naturlig fortsättning på potenser med positiva exponenter med nollte potensen däremellan illustrerar följande exempel:
+
−
</div> <!-- tolv5 -->
+
−
 
+
−
 
+
−
<div class="exempel"> <!-- exempel4 -->
+
−
== <b><span style="color:#931136">Varför är <math> \; 5\,^0 \, = \, 1 \; </math>?</span></b> ==
+
−
<big>
+
−
 
+
−
::::<math> \;\; 5^4 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 </math>
+
−
 
+
−
::::<math> \;\; 5^3 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 </math>
+
−
 
+
−
::::<math> \;\; 5^2 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 </math>
+
−
 
+
−
::::<math> \;\; 5^1 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 </math>
+
−
 
+
−
::::<math> \;\; {\color{Red} {5^0 \; = \; 1}} </math>
+
−
 
+
−
::::<math> \;\; 5^{-1} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5} </math>
+
−
 
+
−
::::<math> \;\; 5^{-2} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5} </math>
+
−
 
+
−
::::<math> \;\; 5^{-3} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5} </math>
+
−
 
+
−
::::<math> \;\; 5^{-4} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 } </math>
+
−
 
+
−
Att <math> \; {\color{Red} 1} </math>-orna följer med hela tiden beror på att multiplikationens ''enhet'' är <math> \, {\color{Red} 1} </math>, dvs <math> \, a \cdot {\color{Red} 1} \, = \, a </math>. Därför blir endast <math> \, {\color{Red} 1} \, </math> kvar, när vi kommer till <math> \, {\color{Red} {5^0}} \, </math> då alla <math> \, 5</math>-or har försvunnit.
+
 
</big>
 
</big>
−
</div> <!-- exempel4 -->
+
</div> <!-- exempel6 -->
  
  
−
<div class="tolv"> <!-- tolv5 -->
+
<div class="exempel"> <!-- exempel3 -->
−
Jämför med:
+
== <b><span style="color:#931136">Exempel 3</span></b> ==
−
</div> <!-- tolv5 -->
+
−
 
+
−
 
+
−
<div class="exempel"> <!-- exempel5 -->
+
−
== <b><span style="color:#931136">Varför är <math> \; 5 \cdot 0 \, = \, 0 \; </math>?</span></b> ==
+
 
<big>
 
<big>
 +
Skriv <math> \; 11\,000 \; </math> i grundpotensform.
  
−
::::<math> \;\; 5 \cdot 4 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 + 5 + 5 </math>
 
  
−
::::<math> \;\; 5 \cdot 3 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 + 5 </math>
+
<b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b> <math> \qquad 11\,000 \, = \, 11 \cdot 1\,000 \, = \, 11 \cdot 10\,^3 \, = \, 11 \cdot \underbrace{ {\color{Red} {10\,^{-1} \cdot 10\,^1}} }_{=\;1} \cdot 10\,^3 \, = \, (11 \cdot {\color{Red} {10\,^{-1}}}) \cdot ({\color{Red} {10\,^1}} \cdot 10\,^3) \, = \, \underline{1,1 \cdot 10\,^4} </math>
  
−
::::<math> \;\; 5 \cdot 2 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 </math>
+
:<math> {\rm {\color{Red} {OBS!\qquad\quad\; Vanligt\,fel:}}} \quad\;\; 11 \cdot 10\,^3 \quad {\rm som\;svar.} </math>
  
−
::::<math> \;\; 5 \cdot 1 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 </math>
+
<math> \qquad\;\,\qquad\quad\; {\rm Därför\;att} \qquad 11 \cdot 10\,^3 \quad {\rm inte\;är\;någon\;grundpotensform:} \quad 11 > 10 \quad , </math> se [[1.7.1_Grundpotensform#Definition:|<b><span style="color:blue">definitionen</span></b>]]:
  
−
::::<math> \;\; {\color{Red} {5 \cdot 0 \; = \; 0}} </math>
+
:<math> \qquad\;\,\qquad\quad\; {\rm Villkoret} \quad 1 \leq a < 10 \quad {\rm är\;inte\;uppfyllt\;} \quad \Longrightarrow \quad 11 \; {\rm inte\;lämpligt\;som\;} a  \, {\rm .}</math>
−
 
+
−
::::<math> \;\; 5 \cdot (-1) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 </math>
+
−
 
+
−
::::<math> \;\; 5 \cdot (-2) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 </math>
+
−
 
+
−
::::<math> \;\; 5 \cdot (-3) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 - 5 </math>
+
−
 
+
−
::::<math> \;\; 5 \cdot (-4) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 - 5 - 5 </math>
+
−
 
+
−
Att <math> \; {\color{Red} 0} </math>-orna följer med hela tiden beror på att additionens ''enhet'' är <math> \, {\color{Red} 0} </math>, dvs <math> \, a + {\color{Red} 0} \, = \, a </math>. Därför blir endast <math> \, {\color{Red} 0} \, </math> kvar, när vi kommer till <math> \, {\color{Red} {5 \cdot 0}} \, </math> då alla <math> \, 5</math>-or har försvunnit.
+
 
</big>
 
</big>
−
</div> <!-- exempel5 -->
+
</div> <!-- exempel3 -->
  
  
−
== <b><span style="color:#931136">1.7.1 Grundpotensform</span></b> ==
+
<div class="tolv"> <!-- tolv4 -->
−
<div class="tolv"> <!-- tolv6 -->
+
Visserligen är <math> \, 11 \cdot 10\,^3 \, </math> ett uttryck med en <math> \, 10</math>-potens, men ingen grundpotensform. Endast <math> \, \underline{1,1 \cdot 10\,^4} \, </math> är grundpotensformen till <math> \, 11\,000 </math>.
−
I räknarens display visas ibland tal t.ex. på följande sätt:
+
</div> <!-- tolv4 -->
  
  
−
::[[Image: Grundpotensform_60b.jpg]]
+
<div class="exempel"> <!-- exempel4 -->
−
 
+
−
Mera utförligt:
+
−
 
+
−
::<math> \;\; 5,26 \cdot 10\,^{\color{Red} {-3}} \, = \, 5,26 \cdot \displaystyle{{1 \over 10\,^3} \, = \, 5,26 \cdot {1 \over 10 \cdot 10 \cdot 10} \, = \, 5,26 \cdot {1 \over 1000} \, = \, 5,26 \cdot 0,001 \, = \, 0,00526} </math>
+
−
 
+
−
Exakt gäller:
+
−
</div> <!-- tolv6 -->
+
−
 
+
−
<div class="border-divblue"><big>
+
−
<b>Alla tal kan skrivas i grundpotensform:</b>
+
−
 
+
−
::<math> a \, \cdot \, 10\,^x \quad\; {\rm där} \quad\; 1 \leq a < 10 </math>
+
−
</big></div>
+
−
 
+
−
 
+
−
<div class="tolv"> <!-- tolv7 -->
+
−
I praktiken används grundpotensformen för att kunna skriva stora och små tal, utan att behöva skriva så många nollor.
+
−
</div> <!-- tolv7 -->
+
−
 
+
−
 
+
−
<div class="exempel"> <!-- exempel6 -->
+
−
== <b><span style="color:#931136">Exempel på stora och små tal i grundpotensform</span></b> ==
+
−
<big>
+
−
 
+
−
:::<math> 8\,250\,000\,000\,000\,000 \; = \; 8,25 \, \cdot \, 10\,^{15} </math>
+
−
 
+
−
:::<math> 0,000\,000\,000\,000\,16 \; = \; 1,6 \, \cdot \, 10\,^{-13} </math>
+
−
 
+
−
</big>
+
−
</div> <!-- exempel6 -->
+
−
 
+
−
 
+
−
<div class="exempel"> <!-- exempel7 -->
+
 
== <b><span style="color:#931136">Exempel 4</span></b> ==
 
== <b><span style="color:#931136">Exempel 4</span></b> ==
 
<big>
 
<big>
−
Skriv <math> \; 11\,000 \; </math> i grundpotensform.
+
Skriv <math> \; 0,000\,39 \; </math> i grundpotensform.
  
  
−
<strong><span style="color:#931136">Lösning:</span></strong> <math> \qquad 11\,000 \, = \, 11 \cdot 1\,000 \, = \, 11 \cdot 10\,^3 \, = \, \underline{1,1 \cdot 10\,^4} </math>
+
<b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b> <math> \qquad 0,000\,39 \; {\rm har} \; 5 \; {\rm decimaler} \quad \Longrightarrow \quad 0,000\,39 \, = \, 39 \cdot 10\,^{-5} </math>
  
−
:<math> {\rm {\color{Red} {OBS!\qquad\quad\; Vanligt\,fel:}}} \quad\;\; 11 \cdot 10\,^3 \; {\rm som\;svar.} </math>
+
:::::<math> \; a \; {\rm måste\;uppfylla\;villkoret\;} \; 1 \leq a < 10 \quad \Longrightarrow \quad 39 \; {\rm inte\;lämpligt\;som\;} a  \, {\rm .}</math>
  
−
:<math> \qquad\;\,\qquad\quad\; {\rm Därför\;att} \qquad 11 \cdot 10\,^3 \quad {\rm inte\;är\;någon\;grundpotensform:} \quad a = 11 > 10 \, {\rm .}</math>
+
:::::<math> \; {\rm Därför:} \quad 0,000\,39 \, = \, 39 \cdot 10\,^{-5} \, = \, 39 \cdot \underbrace{ {\color{Red} {10\,^{-1} \cdot 10\,^1}} }_{=\;1} \cdot 10\,^{-5} \, = \, (39 \cdot {\color{Red} {10\,^{-1}}}) \cdot ({\color{Red} {10\,^1}} \cdot 10\,^{-5}) \, = \, \underline{3,9 \cdot 10\,^{-4}} </math>
−
 
+
−
:<math> \qquad\;\,\qquad\quad\; a \; {\rm måste\;uppfylla\;villkoret} \; 1 \leq a < 10 \, {\rm .}</math>
+
 
</big>
 
</big>
−
</div>  <!-- exempel7 -->
+
</div>  <!-- exempel4 -->
 +
  
 +
<div class="tolv"> <!-- tolv4 -->
 +
Samma sak här<span style="color:black">:</span> <math> \, 39 \cdot 10\,^{-5} \, </math> är ett uttryck med en <math> \, 10</math>-potens, men ingen grundpotensform. Endast <math> \, \underline{3,9 \cdot 10\,^{-4}} \, </math> är grundpotensformen till <math> \; 0,000\,39 </math>.
 +
</div> <!-- tolv4 -->
  
−
<div class="exempel"> <!-- exempel8 -->
 
−
== <b><span style="color:#931136">Exempel 5</span></b> ==
 
−
<big>
 
−
Skriv <math> \; 0,000\,39 \; </math> i grundpotensform.
 
  
  
−
<strong><span style="color:#931136">Lösning:</span></strong> <math> \qquad 0,000\,39 \; {\rm har} \; 5 \; {\rm decimaler} \quad \Longrightarrow \quad 0,000\,39 \, = \, 39 \cdot 10\,^{-5} </math>
 
  
−
:::::<math> \; a \; {\rm måste\;uppfylla\;villkoret} \; 1 \leq a < 10 \, {\rm .}</math>
+
== <b><span style="color:#931136">Internetlänkar</span></b> ==
  
−
:::::<math> \; {\rm Därför:} \quad 0,000\,39 \, = \, 39 \cdot 10\,^{-5} \, = \, \underline{3,9 \cdot 10\,^{-4}} </math>
+
https://www.youtube.com/watch?v=G8EqeYUXZOk
−
</big>
+
−
</div>  <!-- exempel8 -->
+
  
 +
https://sites.google.com/a/norrvikensskola.se/matte/home/specmatte/aak-9/taluppfattning/grundpotensform
  
 +
http://www.maspa.se/MATEMATIK/Matte4/Aritmetik/Naturliga%20Tal/Reknelagar/1asja.html
  
 +
https://www.youtube.com/watch?v=Dme-G4rc6NI
  
−
== <b><span style="color:#931136">Internetlänkar</span></b> ==
 
−
 
−
http://www.youtube.com/watch?v=iYgG4LUqXks
 
−
 
−
http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_4sv.html
 
−
 
−
http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_3sv.html
 
  
−
http://wiki.math.se/wikis/forberedandematte1/index.php/1.3_%C3%96vningar
 
  
  
Rad 348: Rad 170:
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2010-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 6 oktober 2021 kl. 12.37

       Potenser          Grundpotensform          Quiz          Övningar          Lathund      
        <<  Förra avsnitt                                        Nästa avsnitt  >>      


För att förenkla skrivandet av stora och små tal används grundpotensform (eng. scientific notation) som är ett sätt att skriva tal med hjälp av \(10\)-potenser.

Grundpotensform visas i räknarens display (beroende på modellen) t.ex. så här:


Grundpotensform 60b.jpg

Mera utförligt:

\( 5,26 \, {\text E} \, {\color{Red} {-3}} \, = \, 5,26 \cdot 10\,^{\color{Red} {-3}} \, = \, 5,26 \cdot \displaystyle{{1 \over 10\,^3} \, = \, 5,26 \cdot {1 \over 10 \cdot 10 \cdot 10} \, = \, 5,26 \cdot {1 \over 1000} \, = \, 5,26 \cdot 0,001 \, = \, 0,00526} \)


Definition:

\( a \cdot 10\,^n \; \) kallas grundpotensform om \( n \, \) är heltal och \( \; 1 \leq \) \( a \) \( < 10 \; \).

Dvs \( \, a \, \) måste vara mellan \( \, 1,\ldots \, \) och \( \, 9,\ldots \; \).


OBS!    Inte alla uttryck med en \( \, 10\)-potens är grundpotensformer. Talet \( \, a \, \) som står framför \( \, 10\)-potensen måste vara \( \, < 10 \, \).

Villkoret \( \quad\ 1 \leq a < 10 \quad \) i definitionen gör att alla tal endast på ett sätt kan skrivas i grundpotensform.

I praktiken används grundpotensformen för att kunna skriva stora och små tal kompakt, utan att behöva skriva så många nollor.


Exempel på stora och små tal i grundpotensform


Stora tal: \( \qquad 8\,250\,000\,000\,000\,000 \; = \; 8,25 \, \cdot \, 10\,^{15} \)


Små tal: \( \qquad\; 0,000\,000\,000\,000\,16 \;\; = \;\; 1,6 \, \cdot \, 10\,^{-13} \)



Läs exemplen ovan från höger för att förstå hur man skriver grundpotensform till vanligt tal:

Att multiplicera \( \, 8,25 \, \) med \( \, 10\,^{15} \, \) innebär att flytta \( \, 8,25\):s decimaltecken \( \, 15 \, \)positioner till höger.

Att multiplicera \( \, 1,6 \, \) med \( \, 10\,^{-13} \, \) innebär att flytta \( \, 1,6\):s decimaltecken \( \, 13 \, \)positioner till vänster.

Omvänt, hur man skriver vanliga tal i grundpotensform, förklaras i Exempel 3 och 4 längre fram.


Exempel 1

Skriv grundpotensformen \( \; 6,28 \cdot 10\,^6 \; \) till vanligt tal.


Lösning: \( \qquad \)Att multiplicera \( \, 6,28 \, \) med \( \, 10\,^6 \, \) innebär att multiplicera \( \, 6,28 \, \) med \( \, 1\,000\,000 \, \) och därmed att flytta \( \, 6,28\):s decimaltecken \( \, 6 \, \) positioner till höger:

\[ \qquad\;\,\qquad\quad\; 6,28 \cdot 10\,^6 \, = \, 6,28 \cdot 1\,000\,000 \, = \, \underline{6\,280\,000} \]


Exempel 2

Skriv grundpotensformen \( \; 3 \cdot 10\,^{-4} \; \) till vanligt tal.


Lösning: \( \qquad \)Att multiplicera \( \, 3 \, \) med \( \, 10\,^{-4} \, \) innebär att multiplicera \( \, 3 \, \) med \( \, 0,000\,1 \, \) och därmed att flytta \( \, 3\):s decimaltecken \( \, 4 \, \) positioner till vänster.

  Decimaltecknets aktuella position är \( \, 3,0 \, \). Flyttning \( \, 4 \, \) positioner till vänster ger \( \, 0,000\,3 \, \):

\[ \qquad\;\,\qquad\quad\; 3 \cdot 10\,^{-4} \, = \, 3 \cdot \displaystyle{{1 \over 10\,^4} \, = \, 3 \cdot {1 \over 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10} \, = \, 3 \cdot {1 \over 10\,000} \, = \, 3 \cdot 0,000\,1 \, = \, \underline{0,000\,3}} \]


Exempel 3

Skriv \( \; 11\,000 \; \) i grundpotensform.


Lösning: \( \qquad 11\,000 \, = \, 11 \cdot 1\,000 \, = \, 11 \cdot 10\,^3 \, = \, 11 \cdot \underbrace{ {\color{Red} {10\,^{-1} \cdot 10\,^1}} }_{=\;1} \cdot 10\,^3 \, = \, (11 \cdot {\color{Red} {10\,^{-1}}}) \cdot ({\color{Red} {10\,^1}} \cdot 10\,^3) \, = \, \underline{1,1 \cdot 10\,^4} \)

\[ {\rm {\color{Red} {OBS!\qquad\quad\; Vanligt\,fel:}}} \quad\;\; 11 \cdot 10\,^3 \quad {\rm som\;svar.} \]

\( \qquad\;\,\qquad\quad\; {\rm Därför\;att} \qquad 11 \cdot 10\,^3 \quad {\rm inte\;är\;någon\;grundpotensform:} \quad 11 > 10 \quad , \) se definitionen:

\[ \qquad\;\,\qquad\quad\; {\rm Villkoret} \quad 1 \leq a < 10 \quad {\rm är\;inte\;uppfyllt\;} \quad \Longrightarrow \quad 11 \; {\rm inte\;lämpligt\;som\;} a \, {\rm .}\]


Visserligen är \( \, 11 \cdot 10\,^3 \, \) ett uttryck med en \( \, 10\)-potens, men ingen grundpotensform. Endast \( \, \underline{1,1 \cdot 10\,^4} \, \) är grundpotensformen till \( \, 11\,000 \).


Exempel 4

Skriv \( \; 0,000\,39 \; \) i grundpotensform.


Lösning: \( \qquad 0,000\,39 \; {\rm har} \; 5 \; {\rm decimaler} \quad \Longrightarrow \quad 0,000\,39 \, = \, 39 \cdot 10\,^{-5} \)

\[ \; a \; {\rm måste\;uppfylla\;villkoret\;} \; 1 \leq a < 10 \quad \Longrightarrow \quad 39 \; {\rm inte\;lämpligt\;som\;} a \, {\rm .}\]
\[ \; {\rm Därför:} \quad 0,000\,39 \, = \, 39 \cdot 10\,^{-5} \, = \, 39 \cdot \underbrace{ {\color{Red} {10\,^{-1} \cdot 10\,^1}} }_{=\;1} \cdot 10\,^{-5} \, = \, (39 \cdot {\color{Red} {10\,^{-1}}}) \cdot ({\color{Red} {10\,^1}} \cdot 10\,^{-5}) \, = \, \underline{3,9 \cdot 10\,^{-4}} \]


Samma sak här: \( \, 39 \cdot 10\,^{-5} \, \) är ett uttryck med en \( \, 10\)-potens, men ingen grundpotensform. Endast \( \, \underline{3,9 \cdot 10\,^{-4}} \, \) är grundpotensformen till \( \; 0,000\,39 \).



Internetlänkar

https://www.youtube.com/watch?v=G8EqeYUXZOk

https://sites.google.com/a/norrvikensskola.se/matte/home/specmatte/aak-9/taluppfattning/grundpotensform

http://www.maspa.se/MATEMATIK/Matte4/Aritmetik/Naturliga%20Tal/Reknelagar/1asja.html

https://www.youtube.com/watch?v=Dme-G4rc6NI






Copyright © 2019 TechPages AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte1b.mathonline.se/index.php?title=1.7.1_Grundpotensform&oldid=37247"