Skillnad mellan versioner av "3.3 Ekvationer+"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(131 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 2: Rad 2:
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Not selected tab|[[3.3 Ekvationer|Genomgång Ekvationer]]}}
+
{{Not selected tab|[[3.3 Ekvationer|Genomgång]]}}
−
{{Not selected tab|[[3.3.1_Potensekvationer|Genomgång Potensekvationer]]}}
+
{{Not selected tab|[[3.3 Quiz till Ekvationer|Quiz]]}}
−
{{Not selected tab|[[3.3 Quiz till Ekvationer, ver 1|Quiz]]}}
+
 
{{Not selected tab|[[3.3 Övningar till Ekvationer|Övningar]]}}
 
{{Not selected tab|[[3.3 Övningar till Ekvationer|Övningar]]}}
−
{{Selected tab|[[3.3 Lathund till Ekvationer|Lathund]]}}
+
{{Selected tab|[[3.3 Ekvationer+|Genomgång+]]}}
 +
{{Not selected tab|[[3.4 Ekvationer med x på båda sidor|Nästa avsnitt  >> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"|  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"|  
 
|}
 
|}
  
  
−
== <b><span style="color:#931136">Vad är en ekvation?</span></b> ==
+
<table>
−
 
+
<tr>
−
<math> \qquad </math>[[Image: Ekvation Obekant VL HL_350.jpg]]
+
  <td><div class="border-divblue"><big><big><b><span style="color:#931136">Varför ekvationer?</span></b></big></big></div>
−
<br><br>
+
<br>
 
<div class="ovnE">
 
<div class="ovnE">
 +
<b>Exempel på en textuppgift:</b>
 +
<br>
 +
<div class="exempel">
 +
:Kalle köper en flaska dryck som kostar <math> \, 18 \, </math> kr <i>med</i> pant.
 +
 +
:Drycken (innehållet) kostar <math> \, 14 \, </math> kr mer än panten (flaskan).
 +
 +
:Hur mycket kostar flaskan?
 +
</div>
 +
 +
<b>Utan ekvation</b> svarar de flesta 4 kr, vilket är fel.
 +
 +
<b>Lösning med ekvation:</b> <math> \quad\;\;\; x \; = \; {\rm flaskans\;pris} </math>
 +
 +
::::<math> \qquad\qquad\;\; x \, + \, 14 \; = \; {\rm dryckens\;pris} </math>
 +
<div class="exempel">
 +
::::::<math>\begin{array}{rcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18            \\
 +
                                x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18            \\
 +
                                        2\,x \, + \, 14 & = & 18            \\
 +
                                        2\,x \,        & = & 4            \\
 +
                                          x \,        & = & {\color{Red} 2} 
 +
          \end{array}</math>
 +
</div>
 +
 +
 +
<b>Svar:</b> &nbsp;&nbsp;&nbsp; Flaskan kostar <math> \, {\color{Red} {2 \; {\rm kr\,}}}</math>.
 +
 +
 +
För mer info om hur man ställer upp en ekvation och om lösningsmetoder se:
 +
 +
 +
[[3.6_Användning_av_ekvationer#Metoden_att_st.C3.A4lla_upp_en_ekvation_utifr.C3.A5n_en_textuppgift|<b><span style="color:blue">Metoden att ställa upp en ekvation utifrån en textuppgift</span></b>]],
 +
 +
[[3.3_Ekvationer#1._.C2.A0_.C3.96vert.C3.A4ckningsmetoden|<b><span style="color:blue">Övertäckningsmetoden</span></b>]] <math> \quad </math> och <math> \quad </math> [[3.3_Ekvationer#2._.C2.A0_Allm.C3.A4n_metod|<b><span style="color:blue">Allmän metod</span></b>]].
 +
</div>
 +
</td>
 +
  <td><math> \;\; </math></td>
 +
  <td> <div class="border-divblue"><big><big><b><span style="color:#931136">Vad är en ekvation?</span></b></big></big></div>
 +
<br>
 +
<math> \qquad\quad </math>[[Image: Ekvation Obekant VL HL_350.jpg]]
 +
<br>
 +
<div class="border-divblue">
 
<big>
 
<big>
−
En <b><span style="color:#931136">ekvation</span></b> är en likhet mellan två uttryck
+
En <b><span style="color:#931136">ekvation</span></b> är en likhet mellan två uttryck,
  
−
som innehåller endast EN variabel, kallad
+
har alltid formen VL = HL och innehåller
  
−
<b><span style="color:red">obekant</span></b>, se exemplet ovan.
+
minst en variabel, kallad <b>obekant</b>.
  
−
En ekvation har alltid formen VL = HL .
+
Ex.<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\quad 2\,x \; + \; 14 \; = \; 18 </math>
  
 
Ekvationens <b><span style="color:red">lösning:</span></b> <math> \quad\; </math> <div class="smallBoxVariantt"> <math> x \; = \; {\color{Red} 2} </math></div>
 
Ekvationens <b><span style="color:red">lösning:</span></b> <math> \quad\; </math> <div class="smallBoxVariantt"> <math> x \; = \; {\color{Red} 2} </math></div>
 +
</big></div>
  
−
<b><span style="color:#931136">Kontroll:</span></b> &nbsp;&nbsp;&nbsp; Sätt in lösningen i ekvationen.
 
  
−
&nbsp; VL <math> \, = \, 2 \, \cdot \, {\color{Red} 2} \, + \, 14 \, = \, 4 \, + \, 14 \, = \, 18 </math>
+
:<big><big><big><b><span style="color:#931136">Varför lösning?</span></b></big></big></big>
  
−
&nbsp; HL <math> \, = \, 18 </math>
+
<div class="border-divblue">
 +
<big>
 +
<b><span style="color:#931136">Kontroll:</span></b> Sätt in lösningen i ekvationen.
  
−
&nbsp; VL <math> \; = \; </math> HL <math> \qquad \Longrightarrow \qquad </math> OK
+
VL <math> \, = \, 2 \, \cdot \, {\color{Red} 2} \, + \, 14 \, = \, 4 \, + \, 14 \, = \, 18 </math>
  
−
&nbsp; Dvs lösningen <math> \, x = {\color{Red} 2} \, </math> är korrekt.
+
HL <math> \, = \, 18 </math>
−
</big>
+
 
 +
<b>VL <math> = </math> HL</b> <math> \, \implies \, x = {\color{Red} 2} </math> är en <b><span style="color:red">lösning</span></b>.
  
 
<b><span style="color:#931136">Kontroll</span></b> kallas ibland även för <b><span style="color:#931136">prövning.</span></b>
 
<b><span style="color:#931136">Kontroll</span></b> kallas ibland även för <b><span style="color:#931136">prövning.</span></b>
 +
</big>
 
</div>
 
</div>
 +
</td>
 +
</tr>
 +
</table>
  
  
−
== <b><span style="color:#931136">Ekvationslösning med övertäckningsmetoden</span></b> ==
+
<big><big>Om kontrollen ovan säger man: Lösningen <b><span style="color:red">satisfierar</span></b> (uppfyller) ekvationen.</big></big>
 +
 
 +
 
 +
<big><big>Men hur <b><span style="color:red">får</span></b> man lösningen? Det finns två lösningsmetoder:</big></big>
 +
 
 +
 
 +
<big><big>Två lösningsmetoder:</big></big>
 +
 
 +
 
 +
= <b><span style="color:#931136">1. &nbsp; Övertäckningsmetoden</span></b> =
  
 
<br>
 
<br>
  
−
<div class="border-divblue">
+
<div class="ovnC">
 
<big><b><span style="color:#931136">Exemplet ovan:</span></b>
 
<big><b><span style="color:#931136">Exemplet ovan:</span></b>
  
Rad 52: Rad 110:
  
 
<div class="RedBox2x"><math>\quad</math></div> <math> \, + \;\, 14 \; = \; 18 </math>
 
<div class="RedBox2x"><math>\quad</math></div> <math> \, + \;\, 14 \; = \; 18 </math>
 +
 +
&nbsp; <math> \;\, {\color{Red} ?} \;\;\; + \; 14 \; = \; 18 </math>
  
 
&nbsp; <math> \;\, {\color{Red} 4} \;\;\; + \; 14 \; = \; 18 </math>
 
&nbsp; <math> \;\, {\color{Red} 4} \;\;\; + \; 14 \; = \; 18 </math>
Rad 57: Rad 117:
 
&nbsp; <math> \;\, \Downarrow </math>
 
&nbsp; <math> \;\, \Downarrow </math>
  
−
&nbsp; <math> \, 2 \, \cdot \; x \;\; = \;\, 4 \qquad\quad {\color{Red} {{\rm Täck\;över\;}} x </math>
+
&nbsp; <math> \, 2 \, \cdot \; x \;\; = \;\, {\color{Red} 4} \qquad\quad {\color{Red} {\rm Täck\;över\;}} x </math>
  
 
&nbsp; <math> \, 2 \, \cdot \; </math><div class="RedBoxx"><math> \quad </math></div> <math> \; = \;\, 4 </math>
 
&nbsp; <math> \, 2 \, \cdot \; </math><div class="RedBoxx"><math> \quad </math></div> <math> \; = \;\, 4 </math>
  
−
&nbsp; <math> \, 2 \, \cdot \; 2 \;\; = \;\; 4 </math>
+
&nbsp; <math> \, 2 \, \cdot \; {\color{Red} ?} \;\; = \;\; 4 </math>
 +
 
 +
&nbsp; <math> \, 2 \, \cdot \; {\color{Red} 2} \;\; = \;\; 4 </math>
  
 
&nbsp; <math> \quad\;\;\; \Downarrow </math>
 
&nbsp; <math> \quad\;\;\; \Downarrow </math>
Rad 69: Rad 131:
  
  
−
== <b><span style="color:#931136">Ekvationslösning med allmän metod</span></b> ==
+
= <b><span style="color:#931136">2. &nbsp; Allmän metod</span></b> =
  
 
<br>
 
<br>
  
 
<div class="ovnE">
 
<div class="ovnE">
−
<big><b><span style="color:#931136">Exemplet ovan:</span></b></big>
+
<big><b><span style="color:#931136">Exempel:</span></b></big>
  
 
<div class="exempel">
 
<div class="exempel">
−
::<math>\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18                                        & & \\
+
::<math>\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18                                        &         &                         \\
−
                               x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18                                        & & \\
+
                               x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18                                        &         &                         \\
−
                                       2\,x \, + \, 14 & = & 18                                        & & \\
+
                                       2\,x \, + \, 14 & = & 18                                        & \qquad | & {\color{Red} {- \, 14}} \\
−
           2\,x \, + \, 14 \, {\color{Red} {- \, 14}} & = & 18 \, {\color{Red} {- \, 14}}            & & \\
+
           2\,x \, + \, 14 \, {\color{Red} {- \, 14}} & = & 18 \, {\color{Red} {- \, 14}}            &         &                         \\
−
                                      2\,x \,       & = & 4                                        & &  \\
+
                                2 \cdot x \,         & = & 4                                        & \qquad | & {\color{Red} {/ \; 2}} \\
−
        \displaystyle \frac{2\,x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} & &  \\
+
    \displaystyle \frac{2 \cdot x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} & &  \\
−
                                         x \,        & = & 2                                        & &
+
                                         x \,        & = & 2                                        &         &
−
          \end{array}</math>
+
        \end{array}</math>
 
</div>
 
</div>
  
 +
Skrivsättet <math> \quad\;\;\, | \quad {\color{Red} {- \, 14}} \quad\;\;\, </math> är en kommentar och betyder<span style="color:black">:</span>
  
−
</div>
+
::Subtrahera <math> \, 14 \, </math> från ekvationens båda led.
  
 +
Kommentaren <math> \;\; | \quad {\color{Red} {/ \; 2}} \;\; </math> betyder<span style="color:black">:</span>
  
−
:<big><b>Allmänna metodens förklaring:</b></big>
+
::Dividera ekvationens båda led med <math> \, 2 </math>.
 +
</div>
  
  
−
<div class="ovnC">
+
:::::<big><big><b>Ekvation som en våg i balans</b></big></big>
−
<big><b><span style="color:#931136">Målet:</span></b> <math> \qquad\quad </math> Att <b><span style="color:red">isolera</span></b> <math> \, {\color{Red} x} \, </math> på ett led.</big>
+
  
  
−
<big><b><span style="color:#931136">Allmänna metoden:</span></b></big>
+
<div class="ovnE">
 +
<big><b><span style="color:#931136">Målet:</span></b> <math> \qquad\quad </math> Att <b><span style="color:red">isolera</span></b> <math> \, {\color{Red} x} \, </math> på ett led.</big>
  
  
Rad 106: Rad 171:
 
&nbsp; Förenkla uttrycken i ekvationens båda led så långt som
 
&nbsp; Förenkla uttrycken i ekvationens båda led så långt som
  
−
&nbsp; möjligt: Se de två första raderna i exemplet ovan.
+
&nbsp; möjligt. I exemplet ovan<span style="color:black">:</span>
 +
 
 +
::::<math>\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18  &  &  \\
 +
                                x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18  &  &  \\
 +
                                        2\,x \, + \, 14 & = & 18  &  & 
 +
        \end{array}</math>
 
</div>
 
</div>
  
Rad 113: Rad 183:
 
<div class="exempel">
 
<div class="exempel">
  
−
&nbsp; Utför <b><span style="color:red">samma operation</span></b> på ekvationens båda led med må-
+
&nbsp; Utför <b><span style="color:red">samma operation</span></b> på ekvationens båda led<span style="color:black">:</span>
  
−
&nbsp; let att isolera <math> \, x </math>: Se raderna 3 och 5 i exemplet.
+
::<math>\begin{array}{rcl}          2\,x \, + \, 14 & = & 18 \qquad\quad | \;\; {\color{Red} {- \, 14}}  \\
 +
          2\,x \, + \, 14 \, {\color{Red} {- \, 14}} & = & 18 \, {\color{Red} {- \, 14}}                  \\
 +
        \end{array}</math>
 +
 
 +
&nbsp; Förenkla de nyuppkomna uttrycken.
 +
 
 +
::::<math>\begin{array}{rclcl} \quad\;  2 \cdot x \, & = & 4                                        & \qquad | & {\color{Red} {/ \; 2}}  \\
 +
    \displaystyle \frac{2 \cdot x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} &          & 
 +
          \end{array}</math>
 +
 
 +
&nbsp; Förenkla de nyuppkomna uttrycken<span style="color:black">:</span>
 +
 
 +
::::<math>\begin{array}{rclcl} \quad\;  x \,        & = & 2                                        &          &
 +
          \end{array}</math>
 
</div>
 
</div>
  
 +
<math> \qquad\quad </math> <b><span style="color:red">Vilken operation?</span></b>
  
−
<b>Regel: &nbsp;&nbsp; <span style="color:red">Vilken operation?</span> &nbsp;&nbsp; Den som isolerar <math> \, x \, </math>. </b>
+
<b>Regel: &nbsp; Den inversa operationen med målet att isolera <math> \, x \, </math>. </b>
 
<div class="exempel">
 
<div class="exempel">
  
−
&nbsp; Rad 3 i exemplet ovan<span style="color:black">:</span>
+
::::<math> 2\,x \, + \, 14 \; = \; 18 \qquad\quad | \;\; {\color{Red} {- \, 14}} </math>
  
−
::::<math>\begin{array}{rclcl}            2\,x \, + \, 14 & = & 18                            & &  \\
+
&nbsp; Eftersom<span style="color:black">:</span>
−
                2\,x \, + \, 14 \, {\color{Red} {- \, 14}} & = & 18 \, {\color{Red} {- \, 14}} & &  \\
+
−
          \end{array}</math>
+
  
 
&nbsp;<math> \, {\color{Red} {- \, 14}} \, </math> är den <b><span style="color:red">inversa (motsatta) operationen</span></b> till <math> \, + \, 14 \, </math>.
 
&nbsp;<math> \, {\color{Red} {- \, 14}} \, </math> är den <b><span style="color:red">inversa (motsatta) operationen</span></b> till <math> \, + \, 14 \, </math>.
  
−
&nbsp; Rad 5 i exemplet ovan<span style="color:black">:</span>
+
:::::<math> \;\; 2 \cdot x \; = \; 4 \qquad\quad\;\;\, | \;\; {\color{Red} {/ \; 2}} </math>
  
−
::::::<math>\begin{array}{rclcl}              2 \cdot x \,        & = & 4                                        & &  \\
+
&nbsp; Eftersom<span style="color:black">:</span>
−
                  \displaystyle \frac{2 \cdot x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} & &  \\
+
−
            \end{array}</math>
+
  
 
&nbsp; <math> \, {\color{Red} {/ \; 2}} \, </math> är den <b><span style="color:red">inversa operationen</span></b> till <math> \, \cdot \; 2 \, </math>.</div>
 
&nbsp; <math> \, {\color{Red} {/ \; 2}} \, </math> är den <b><span style="color:red">inversa operationen</span></b> till <math> \, \cdot \; 2 \, </math>.</div>
Rad 141: Rad 221:
 
</div>
 
</div>
  
 +
<big>
  
−
== <b><span style="color:#931136">Ekvationer med obekanten <math> \, x \, </math> i båda leden</span></b> ==
 
  
 +
<div class="border-divblue">
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td>
 +
==== <b><span style="color:#931136">Begreppsförklaringar</span></b> ====
 
<br>
 
<br>
 +
<b><span style="color:red">Variabler</span></b> är platshållare för tal och betecknas med
  
 +
bokstäver, jämförbart med lådor som har etiketter.
  
 +
Innehållet är <b><span style="color:red">variabelns värde</span></b> (tal) och kan bytas ut.
 +
----
 +
<b><span style="color:red">Obekant</span></b> är en variabel som förekommer i en ekvation.
 +
----
 +
<b><span style="color:red">Uttryck</span></b> är en kombination av variabler, tal, räkneopera-
 +
</td>
 +
<td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
 +
<td><div class="smallBoxVariantt"><b><span style="color:red">God redovisningsstil</span></b> vid ekvationslösning:
  
 +
* &nbsp; Definiera vad din obekant står för.
  
−
== <b><span style="color:#931136">Potensekvationer</span></b> ==
+
* &nbsp; Skriv likhetstecknen exakt under varandra (samma kolumn).
  
−
<br>
+
* &nbsp; Kommentera, när det behövs, det du gör antingen genom att &nbsp;&nbsp;
  
 +
:använda skrivsättet i [[3.3_Ekvationer#2._.C2.A0_Allm.C3.A4n_metod|<b><span style="color:blue">exemplet ovan</span></b>]] eller på ditt eget sätt,
 +
 +
:bara det blir förståeligt vad du gör.
 +
 +
*Skriv kommentarerna skilda från ekvationens lösningsgång.</div>
 +
</td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
tioner och parenteser som till slut, när uttrycket beräknas, ger ett värde: <b><span style="color:red">uttryckets värde</span></b>, se [[3.1 Algebraiska uttryck|<b><span style="color:blue">3.1 Algebraiska uttryck</span></b>]].
 +
----
 +
<b><span style="color:red">Ekvation</span></b> är en likhet mellan två uttryck med endast EN obekant (än så länge i Matte 1).
 +
----
 +
<b><span style="color:red">Formel</span></b> är en likhet mellan två uttryck med minst två variabler, behandlas i [[3.7 Formler|<b><span style="color:blue">3.7 Formler</span></b>]].
 +
</div>
 +
 +
</big>
  
  
Rad 160: Rad 272:
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2010-2016 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2021 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 15 december 2021 kl. 13.25

       Genomgång          Quiz          Övningar          Genomgång+          Nästa avsnitt  >>      


Varför ekvationer?


Exempel på en textuppgift:

Kalle köper en flaska dryck som kostar \( \, 18 \, \) kr med pant.
Drycken (innehållet) kostar \( \, 14 \, \) kr mer än panten (flaskan).
Hur mycket kostar flaskan?

Utan ekvation svarar de flesta 4 kr, vilket är fel.

Lösning med ekvation: \( \quad\;\;\; x \; = \; {\rm flaskans\;pris} \)

\[ \qquad\qquad\;\; x \, + \, 14 \; = \; {\rm dryckens\;pris} \]
\[\begin{array}{rcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18 \\ x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18 \\ 2\,x \, + \, 14 & = & 18 \\ 2\,x \, & = & 4 \\ x \, & = & {\color{Red} 2} \end{array}\]


Svar:     Flaskan kostar \( \, {\color{Red} {2 \; {\rm kr\,}}}\).


För mer info om hur man ställer upp en ekvation och om lösningsmetoder se:


Metoden att ställa upp en ekvation utifrån en textuppgift,

Övertäckningsmetoden \( \quad \) och \( \quad \) Allmän metod.

\( \;\; \)
Vad är en ekvation?


\( \qquad\quad \)Ekvation Obekant VL HL 350.jpg

En ekvation är en likhet mellan två uttryck,

har alltid formen VL = HL och innehåller

minst en variabel, kallad obekant.

Ex.: \( \qquad\quad 2\,x \; + \; 14 \; = \; 18 \)

Ekvationens lösning: \( \quad\; \)
\( x \; = \; {\color{Red} 2} \)


Varför lösning?

Kontroll: Sätt in lösningen i ekvationen.

VL \( \, = \, 2 \, \cdot \, {\color{Red} 2} \, + \, 14 \, = \, 4 \, + \, 14 \, = \, 18 \)

HL \( \, = \, 18 \)

VL \( = \) HL \( \, \implies \, x = {\color{Red} 2} \) är en lösning.

Kontroll kallas ibland även för prövning.


Om kontrollen ovan säger man: Lösningen satisfierar (uppfyller) ekvationen.


Men hur får man lösningen? Det finns två lösningsmetoder:


Två lösningsmetoder:


1.   Övertäckningsmetoden


Exemplet ovan:

  \( 2 \, x \;\; + \; 14 \; = \; 18 \quad {\color{Red} {\rm Täck\;över\;}} 2 \, x \)

\(\quad\)
\( \, + \;\, 14 \; = \; 18 \)

  \( \;\, {\color{Red} ?} \;\;\; + \; 14 \; = \; 18 \)

  \( \;\, {\color{Red} 4} \;\;\; + \; 14 \; = \; 18 \)

  \( \;\, \Downarrow \)

  \( \, 2 \, \cdot \; x \;\; = \;\, {\color{Red} 4} \qquad\quad {\color{Red} {\rm Täck\;över\;}} x \)

  \( \, 2 \, \cdot \; \)
\( \quad \)
\( \; = \;\, 4 \)

  \( \, 2 \, \cdot \; {\color{Red} ?} \;\; = \;\; 4 \)

  \( \, 2 \, \cdot \; {\color{Red} 2} \;\; = \;\; 4 \)

  \( \quad\;\;\; \Downarrow \)

 
\( \; x \; = \; {\color{Red} 2} \)


2.   Allmän metod


Exempel:

\[\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18 & & \\ x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18 & & \\ 2\,x \, + \, 14 & = & 18 & \qquad | & {\color{Red} {- \, 14}} \\ 2\,x \, + \, 14 \, {\color{Red} {- \, 14}} & = & 18 \, {\color{Red} {- \, 14}} & & \\ 2 \cdot x \, & = & 4 & \qquad | & {\color{Red} {/ \; 2}} \\ \displaystyle \frac{2 \cdot x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} & & \\ x \, & = & 2 & & \end{array}\]

Skrivsättet \( \quad\;\;\, | \quad {\color{Red} {- \, 14}} \quad\;\;\, \) är en kommentar och betyder:

Subtrahera \( \, 14 \, \) från ekvationens båda led.

Kommentaren \( \;\; | \quad {\color{Red} {/ \; 2}} \;\; \) betyder:

Dividera ekvationens båda led med \( \, 2 \).


Ekvation som en våg i balans


Målet: \( \qquad\quad \) Att isolera \( \, {\color{Red} x} \, \) på ett led.


Steg 1:

  Förenkla uttrycken i ekvationens båda led så långt som

  möjligt. I exemplet ovan:

\[\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18 & & \\ x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18 & & \\ 2\,x \, + \, 14 & = & 18 & & \end{array}\]


Steg 2:

  Utför samma operation på ekvationens båda led:

\[\begin{array}{rcl} 2\,x \, + \, 14 & = & 18 \qquad\quad | \;\; {\color{Red} {- \, 14}} \\ 2\,x \, + \, 14 \, {\color{Red} {- \, 14}} & = & 18 \, {\color{Red} {- \, 14}} \\ \end{array}\]

  Förenkla de nyuppkomna uttrycken.

\[\begin{array}{rclcl} \quad\; 2 \cdot x \, & = & 4 & \qquad | & {\color{Red} {/ \; 2}} \\ \displaystyle \frac{2 \cdot x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} & & \end{array}\]

  Förenkla de nyuppkomna uttrycken:

\[\begin{array}{rclcl} \quad\; x \, & = & 2 & & \end{array}\]

\( \qquad\quad \) Vilken operation?

Regel:   Den inversa operationen med målet att isolera \( \, x \, \).

\[ 2\,x \, + \, 14 \; = \; 18 \qquad\quad | \;\; {\color{Red} {- \, 14}} \]

  Eftersom:

 \( \, {\color{Red} {- \, 14}} \, \) är den inversa (motsatta) operationen till \( \, + \, 14 \, \).

\[ \;\; 2 \cdot x \; = \; 4 \qquad\quad\;\;\, | \;\; {\color{Red} {/ \; 2}} \]

  Eftersom:

  \( \, {\color{Red} {/ \; 2}} \, \) är den inversa operationen till \( \, \cdot \; 2 \, \).



Begreppsförklaringar


Variabler är platshållare för tal och betecknas med

bokstäver, jämförbart med lådor som har etiketter.

Innehållet är variabelns värde (tal) och kan bytas ut.

Obekant är en variabel som förekommer i en ekvation.

Uttryck är en kombination av variabler, tal, räkneopera-

    
God redovisningsstil vid ekvationslösning:
  •   Definiera vad din obekant står för.
  •   Skriv likhetstecknen exakt under varandra (samma kolumn).
  •   Kommentera, när det behövs, det du gör antingen genom att   
använda skrivsättet i exemplet ovan eller på ditt eget sätt,
bara det blir förståeligt vad du gör.
  • Skriv kommentarerna skilda från ekvationens lösningsgång.

tioner och parenteser som till slut, när uttrycket beräknas, ger ett värde: uttryckets värde, se 3.1 Algebraiska uttryck.

Ekvation är en likhet mellan två uttryck med endast EN obekant (än så länge i Matte 1).

Formel är en likhet mellan två uttryck med minst två variabler, behandlas i 3.7 Formler.




Copyright © 2021 TechPages AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte1b.mathonline.se/index.php?title=3.3_Ekvationer%2B&oldid=37411"