Skillnad mellan versioner av "3.3 Ekvationer+"
Från Mathonline
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (45 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 2: | Rad 2: | ||
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | ||
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | | ||
| − | {{Not selected tab|[[3.3 Ekvationer|Genomgång | + | {{Not selected tab|[[3.3 Ekvationer|Genomgång]]}} |
{{Not selected tab|[[3.3 Quiz till Ekvationer|Quiz]]}} | {{Not selected tab|[[3.3 Quiz till Ekvationer|Quiz]]}} | ||
| − | {{Not selected tab|[[3.3 Övningar till Ekvationer|Övningar | + | {{Not selected tab|[[3.3 Övningar till Ekvationer|Övningar]]}} |
| − | {{Selected tab|[[3.3 | + | {{Selected tab|[[3.3 Ekvationer+|Genomgång+]]}} |
{{Not selected tab|[[3.4 Ekvationer med x på båda sidor|Nästa avsnitt >> ]]}} | {{Not selected tab|[[3.4 Ekvationer med x på båda sidor|Nästa avsnitt >> ]]}} | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | ||
|} | |} | ||
| − | = | + | <table> |
| + | <tr> | ||
| + | <td><div class="border-divblue"><big><big><b><span style="color:#931136">Varför ekvationer?</span></b></big></big></div> | ||
| + | <br> | ||
| + | <div class="ovnE"> | ||
| + | <b>Exempel på en textuppgift:</b> | ||
| + | <br> | ||
| + | <div class="exempel"> | ||
| + | :Kalle köper en flaska dryck som kostar <math> \, 18 \, </math> kr <i>med</i> pant. | ||
| − | <math> \qquad </math>[[Image: Ekvation Obekant VL HL_350.jpg]] | + | :Drycken (innehållet) kostar <math> \, 14 \, </math> kr mer än panten (flaskan). |
| − | + | ||
| + | :Hur mycket kostar flaskan? | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | <b>Utan ekvation</b> svarar de flesta 4 kr, vilket är fel. | ||
| + | |||
| + | <b>Lösning med ekvation:</b> <math> \quad\;\;\; x \; = \; {\rm flaskans\;pris} </math> | ||
| + | |||
| + | ::::<math> \qquad\qquad\;\; x \, + \, 14 \; = \; {\rm dryckens\;pris} </math> | ||
| + | <div class="exempel"> | ||
| + | ::::::<math>\begin{array}{rcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18 \\ | ||
| + | x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18 \\ | ||
| + | 2\,x \, + \, 14 & = & 18 \\ | ||
| + | 2\,x \, & = & 4 \\ | ||
| + | x \, & = & {\color{Red} 2} | ||
| + | \end{array}</math> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <b>Svar:</b> Flaskan kostar <math> \, {\color{Red} {2 \; {\rm kr\,}}}</math>. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | För mer info om hur man ställer upp en ekvation och om lösningsmetoder se: | ||
| + | |||
| + | |||
| + | [[3.6_Användning_av_ekvationer#Metoden_att_st.C3.A4lla_upp_en_ekvation_utifr.C3.A5n_en_textuppgift|<b><span style="color:blue">Metoden att ställa upp en ekvation utifrån en textuppgift</span></b>]], | ||
| + | |||
| + | [[3.3_Ekvationer#1._.C2.A0_.C3.96vert.C3.A4ckningsmetoden|<b><span style="color:blue">Övertäckningsmetoden</span></b>]] <math> \quad </math> och <math> \quad </math> [[3.3_Ekvationer#2._.C2.A0_Allm.C3.A4n_metod|<b><span style="color:blue">Allmän metod</span></b>]]. | ||
| + | </div> | ||
| + | </td> | ||
| + | <td><math> \;\; </math></td> | ||
| + | <td> <div class="border-divblue"><big><big><b><span style="color:#931136">Vad är en ekvation?</span></b></big></big></div> | ||
| + | <br> | ||
| + | <math> \qquad\quad </math>[[Image: Ekvation Obekant VL HL_350.jpg]] | ||
| + | <br> | ||
<div class="border-divblue"> | <div class="border-divblue"> | ||
<big> | <big> | ||
| Rad 30: | Rad 63: | ||
har alltid formen VL = HL och innehåller | har alltid formen VL = HL och innehåller | ||
| − | + | minst en variabel, kallad <b>obekant</b>. | |
Ex.<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\quad 2\,x \; + \; 14 \; = \; 18 </math> | Ex.<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\quad 2\,x \; + \; 14 \; = \; 18 </math> | ||
| Rad 38: | Rad 71: | ||
| − | :<big><big>Varför?</big></big> | + | :<big><big><big><b><span style="color:#931136">Varför lösning?</span></b></big></big></big> |
| − | + | ||
<div class="border-divblue"> | <div class="border-divblue"> | ||
<big> | <big> | ||
| − | <b><span style="color:#931136">Kontroll:</span></b> | + | <b><span style="color:#931136">Kontroll:</span></b> Sätt in lösningen i ekvationen. |
VL <math> \, = \, 2 \, \cdot \, {\color{Red} 2} \, + \, 14 \, = \, 4 \, + \, 14 \, = \, 18 </math> | VL <math> \, = \, 2 \, \cdot \, {\color{Red} 2} \, + \, 14 \, = \, 4 \, + \, 14 \, = \, 18 </math> | ||
| Rad 49: | Rad 81: | ||
HL <math> \, = \, 18 </math> | HL <math> \, = \, 18 </math> | ||
| − | VL <math> = </math> HL <math> \, \ | + | <b>VL <math> = </math> HL</b> <math> \, \implies \, x = {\color{Red} 2} </math> är en <b><span style="color:red">lösning</span></b>. |
| − | </ | + | |
<b><span style="color:#931136">Kontroll</span></b> kallas ibland även för <b><span style="color:#931136">prövning.</span></b> | <b><span style="color:#931136">Kontroll</span></b> kallas ibland även för <b><span style="color:#931136">prövning.</span></b> | ||
| + | </big> | ||
</div> | </div> | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <big><big>Om kontrollen ovan säger man: Lösningen <b><span style="color:red">satisfierar</span></b> (uppfyller) ekvationen.</big></big> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <big><big>Men hur <b><span style="color:red">får</span></b> man lösningen? Det finns två lösningsmetoder:</big></big> | ||
| − | |||
<big><big>Två lösningsmetoder:</big></big> | <big><big>Två lösningsmetoder:</big></big> | ||
| − | + | = <b><span style="color:#931136">1. Övertäckningsmetoden</span></b> = | |
<br> | <br> | ||
| Rad 91: | Rad 131: | ||
| − | + | = <b><span style="color:#931136">2. Allmän metod</span></b> = | |
<br> | <br> | ||
| Rad 99: | Rad 139: | ||
<div class="exempel"> | <div class="exempel"> | ||
| − | ::<math>\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18 & | + | ::<math>\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18 & & \\ |
| − | x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18 & | + | x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18 & & \\ |
| − | 2\,x \, + \, 14 & = & 18 & & | + | 2\,x \, + \, 14 & = & 18 & \qquad | & {\color{Red} {- \, 14}} \\ |
| − | 2\,x \, + \, 14 \, {\color{Red} {- \, 14}} & = & 18 \, {\color{Red} {- \, 14}} & & | + | 2\,x \, + \, 14 \, {\color{Red} {- \, 14}} & = & 18 \, {\color{Red} {- \, 14}} & & \\ |
| − | 2 \cdot x \, & = & 4 & & \\ | + | 2 \cdot x \, & = & 4 & \qquad | & {\color{Red} {/ \; 2}} \\ |
\displaystyle \frac{2 \cdot x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} & & \\ | \displaystyle \frac{2 \cdot x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} & & \\ | ||
| − | x \, & = & 2 & & | + | x \, & = & 2 & & |
| − | + | \end{array}</math> | |
</div> | </div> | ||
| + | Skrivsättet <math> \quad\;\;\, | \quad {\color{Red} {- \, 14}} \quad\;\;\, </math> är en kommentar och betyder<span style="color:black">:</span> | ||
| + | ::Subtrahera <math> \, 14 \, </math> från ekvationens båda led. | ||
| + | |||
| + | Kommentaren <math> \;\; | \quad {\color{Red} {/ \; 2}} \;\; </math> betyder<span style="color:black">:</span> | ||
| + | |||
| + | ::Dividera ekvationens båda led med <math> \, 2 </math>. | ||
</div> | </div> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | :::::<big><big><b>Ekvation som en våg i balans</b></big></big> | ||
<div class="ovnE"> | <div class="ovnE"> | ||
| − | <big><b><span style="color:#931136"> | + | <big><b><span style="color:#931136">Målet:</span></b> <math> \qquad\quad </math> Att <b><span style="color:red">isolera</span></b> <math> \, {\color{Red} x} \, </math> på ett led.</big> |
| − | <b>Steg 1</b> | + | |
| + | <b>Steg 1:</b> | ||
<div class="exempel"> | <div class="exempel"> | ||
| − | Förenkla uttrycken i ekvationens båda led | + | Förenkla uttrycken i ekvationens båda led så långt som |
| − | | + | möjligt. I exemplet ovan<span style="color:black">:</span> |
| − | ::<math>\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18 & & \\ | + | ::::<math>\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18 & & \\ |
| − | + | x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18 & & \\ | |
| − | + | 2\,x \, + \, 14 & = & 18 & & | |
\end{array}</math> | \end{array}</math> | ||
</div> | </div> | ||
| − | <b>Steg 2</b> | + | |
| + | <b>Steg 2:</b> | ||
<div class="exempel"> | <div class="exempel"> | ||
| − | Utför <b><span style="color:red">samma operation</span></b> på båda | + | Utför <b><span style="color:red">samma operation</span></b> på ekvationens båda led<span style="color:black">:</span> |
| − | ::<math>\begin{array}{rcl} 2\,x \, + \, 14 & = & 18 | + | ::<math>\begin{array}{rcl} 2\,x \, + \, 14 & = & 18 \qquad\quad | \;\; {\color{Red} {- \, 14}} \\ |
| − | + | 2\,x \, + \, 14 \, {\color{Red} {- \, 14}} & = & 18 \, {\color{Red} {- \, 14}} \\ | |
| − | + | ||
\end{array}</math> | \end{array}</math> | ||
| − | + | Förenkla de nyuppkomna uttrycken. | |
| − | + | ::::<math>\begin{array}{rclcl} \quad\; 2 \cdot x \, & = & 4 & \qquad | & {\color{Red} {/ \; 2}} \\ | |
| + | \displaystyle \frac{2 \cdot x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} & & | ||
| + | \end{array}</math> | ||
| − | + | Förenkla de nyuppkomna uttrycken<span style="color:black">:</span> | |
| + | |||
| + | ::::<math>\begin{array}{rclcl} \quad\; x \, & = & 2 & & | ||
| + | \end{array}</math> | ||
</div> | </div> | ||
| − | <b> | + | <math> \qquad\quad </math> <b><span style="color:red">Vilken operation?</span></b> |
| + | |||
| + | <b>Regel: Den inversa operationen med målet att isolera <math> \, x \, </math>. </b> | ||
<div class="exempel"> | <div class="exempel"> | ||
| − | + | ::::<math> 2\,x \, + \, 14 \; = \; 18 \qquad\quad | \;\; {\color{Red} {- \, 14}} </math> | |
| − | + | Eftersom<span style="color:black">:</span> | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | <b><span style="color:red"> | + | <math> \, {\color{Red} {- \, 14}} \, </math> är den <b><span style="color:red">inversa (motsatta) operationen</span></b> till <math> \, + \, 14 \, </math>. |
| − | + | :::::<math> \;\; 2 \cdot x \; = \; 4 \qquad\quad\;\;\, | \;\; {\color{Red} {/ \; 2}} </math> | |
| − | <math> \ | + | Eftersom<span style="color:black">:</span> |
| − | </div> | + | |
| + | <math> \, {\color{Red} {/ \; 2}} \, </math> är den <b><span style="color:red">inversa operationen</span></b> till <math> \, \cdot \; 2 \, </math>.</div> | ||
</div> | </div> | ||
| + | |||
| + | <big> | ||
<div class="border-divblue"> | <div class="border-divblue"> | ||
| − | < | + | <table> |
| − | <b><span style="color:#931136"> | + | <tr> |
| + | <td> | ||
| + | ==== <b><span style="color:#931136">Begreppsförklaringar</span></b> ==== | ||
| + | <br> | ||
| + | <b><span style="color:red">Variabler</span></b> är platshållare för tal och betecknas med | ||
| − | + | bokstäver, jämförbart med lådor som har etiketter. | |
| − | + | Innehållet är <b><span style="color:red">variabelns värde</span></b> (tal) och kan bytas ut. | |
| + | ---- | ||
| + | <b><span style="color:red">Obekant</span></b> är en variabel som förekommer i en ekvation. | ||
| + | ---- | ||
| + | <b><span style="color:red">Uttryck</span></b> är en kombination av variabler, tal, räkneopera- | ||
| + | </td> | ||
| + | <td> </td> | ||
| + | <td><div class="smallBoxVariantt"><b><span style="color:red">God redovisningsstil</span></b> vid ekvationslösning: | ||
| − | + | * Definiera vad din obekant står för. | |
| − | + | * Skriv likhetstecknen exakt under varandra (samma kolumn). | |
| − | + | * Kommentera, när det behövs, det du gör antingen genom att | |
| − | + | :använda skrivsättet i [[3.3_Ekvationer#2._.C2.A0_Allm.C3.A4n_metod|<b><span style="color:blue">exemplet ovan</span></b>]] eller på ditt eget sätt, | |
| − | + | ||
| + | :bara det blir förståeligt vad du gör. | ||
| + | |||
| + | *Skriv kommentarerna skilda från ekvationens lösningsgång.</div> | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | tioner och parenteser som till slut, när uttrycket beräknas, ger ett värde: <b><span style="color:red">uttryckets värde</span></b>, se [[3.1 Algebraiska uttryck|<b><span style="color:blue">3.1 Algebraiska uttryck</span></b>]]. | ||
| + | ---- | ||
| + | <b><span style="color:red">Ekvation</span></b> är en likhet mellan två uttryck med endast EN obekant (än så länge i Matte 1). | ||
| + | ---- | ||
| + | <b><span style="color:red">Formel</span></b> är en likhet mellan två uttryck med minst två variabler, behandlas i [[3.7 Formler|<b><span style="color:blue">3.7 Formler</span></b>]]. | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | </big> | ||
| Rad 191: | Rad 272: | ||
| − | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © | + | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2021 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved. |
Nuvarande version från 15 december 2021 kl. 13.25
| Genomgång | Quiz | Övningar | Genomgång+ | Nästa avsnitt >> |
Varför ekvationer?
Exempel på en textuppgift:
Utan ekvation svarar de flesta 4 kr, vilket är fel. Lösning med ekvation: \( \quad\;\;\; x \; = \; {\rm flaskans\;pris} \)
Övertäckningsmetoden \( \quad \) och \( \quad \) Allmän metod. |
\( \;\; \) | Vad är en ekvation?
En ekvation är en likhet mellan två uttryck, har alltid formen VL = HL och innehåller minst en variabel, kallad obekant. Ex.: \( \qquad\quad 2\,x \; + \; 14 \; = \; 18 \) Ekvationens lösning: \( \quad\; \) \( x \; = \; {\color{Red} 2} \)
Kontroll: Sätt in lösningen i ekvationen. VL \( \, = \, 2 \, \cdot \, {\color{Red} 2} \, + \, 14 \, = \, 4 \, + \, 14 \, = \, 18 \) HL \( \, = \, 18 \) VL \( = \) HL \( \, \implies \, x = {\color{Red} 2} \) är en lösning. Kontroll kallas ibland även för prövning. |
Om kontrollen ovan säger man: Lösningen satisfierar (uppfyller) ekvationen.
Men hur får man lösningen? Det finns två lösningsmetoder:
Två lösningsmetoder:
1. Övertäckningsmetoden
Exemplet ovan:
\( 2 \, x \;\; + \; 14 \; = \; 18 \quad {\color{Red} {\rm Täck\;över\;}} 2 \, x \)
\(\quad\)
\( \, + \;\, 14 \; = \; 18 \)
\( \;\, {\color{Red} ?} \;\;\; + \; 14 \; = \; 18 \)
\( \;\, {\color{Red} 4} \;\;\; + \; 14 \; = \; 18 \)
\( \;\, \Downarrow \)
\( \, 2 \, \cdot \; x \;\; = \;\, {\color{Red} 4} \qquad\quad {\color{Red} {\rm Täck\;över\;}} x \)
\( \, 2 \, \cdot \; \)\( \quad \)
\( \; = \;\, 4 \)
\( \, 2 \, \cdot \; {\color{Red} ?} \;\; = \;\; 4 \)
\( \, 2 \, \cdot \; {\color{Red} 2} \;\; = \;\; 4 \)
\( \quad\;\;\; \Downarrow \)
\( \; x \; = \; {\color{Red} 2} \)
2. Allmän metod
Exempel:
- \[\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18 & & \\ x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18 & & \\ 2\,x \, + \, 14 & = & 18 & \qquad | & {\color{Red} {- \, 14}} \\ 2\,x \, + \, 14 \, {\color{Red} {- \, 14}} & = & 18 \, {\color{Red} {- \, 14}} & & \\ 2 \cdot x \, & = & 4 & \qquad | & {\color{Red} {/ \; 2}} \\ \displaystyle \frac{2 \cdot x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} & & \\ x \, & = & 2 & & \end{array}\]
Skrivsättet \( \quad\;\;\, | \quad {\color{Red} {- \, 14}} \quad\;\;\, \) är en kommentar och betyder:
- Subtrahera \( \, 14 \, \) från ekvationens båda led.
Kommentaren \( \;\; | \quad {\color{Red} {/ \; 2}} \;\; \) betyder:
- Dividera ekvationens båda led med \( \, 2 \).
- Ekvation som en våg i balans
Målet: \( \qquad\quad \) Att isolera \( \, {\color{Red} x} \, \) på ett led.
Steg 1:
Förenkla uttrycken i ekvationens båda led så långt som
möjligt. I exemplet ovan:
- \[\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18 & & \\ x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18 & & \\ 2\,x \, + \, 14 & = & 18 & & \end{array}\]
Steg 2:
Utför samma operation på ekvationens båda led:
- \[\begin{array}{rcl} 2\,x \, + \, 14 & = & 18 \qquad\quad | \;\; {\color{Red} {- \, 14}} \\ 2\,x \, + \, 14 \, {\color{Red} {- \, 14}} & = & 18 \, {\color{Red} {- \, 14}} \\ \end{array}\]
Förenkla de nyuppkomna uttrycken.
- \[\begin{array}{rclcl} \quad\; 2 \cdot x \, & = & 4 & \qquad | & {\color{Red} {/ \; 2}} \\ \displaystyle \frac{2 \cdot x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} & & \end{array}\]
Förenkla de nyuppkomna uttrycken:
- \[\begin{array}{rclcl} \quad\; x \, & = & 2 & & \end{array}\]
\( \qquad\quad \) Vilken operation?
Regel: Den inversa operationen med målet att isolera \( \, x \, \).
- \[ 2\,x \, + \, 14 \; = \; 18 \qquad\quad | \;\; {\color{Red} {- \, 14}} \]
Eftersom:
\( \, {\color{Red} {- \, 14}} \, \) är den inversa (motsatta) operationen till \( \, + \, 14 \, \).
- \[ \;\; 2 \cdot x \; = \; 4 \qquad\quad\;\;\, | \;\; {\color{Red} {/ \; 2}} \]
Eftersom:
\( \, {\color{Red} {/ \; 2}} \, \) är den inversa operationen till \( \, \cdot \; 2 \, \).
Begreppsförklaringar
bokstäver, jämförbart med lådor som har etiketter. Innehållet är variabelns värde (tal) och kan bytas ut. Obekant är en variabel som förekommer i en ekvation. Uttryck är en kombination av variabler, tal, räkneopera- |
God redovisningsstil vid ekvationslösning:
|
tioner och parenteser som till slut, när uttrycket beräknas, ger ett värde: uttryckets värde, se 3.1 Algebraiska uttryck.
Ekvation är en likhet mellan två uttryck med endast EN obekant (än så länge i Matte 1).
Formel är en likhet mellan två uttryck med minst två variabler, behandlas i 3.7 Formler.
Copyright © 2021 TechPages AB. All Rights Reserved.
