Skillnad mellan versioner av "3.3 Ekvationer 2 kolumner"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m (Taifun flyttade sidan 3.3 Ekvationer till 3.3 Ekvationer 2 kolumner utan att lämna en omdirigering)
 
(141 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 2: Rad 2:
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Selected tab|[[3.4 Ekvationer|Genomgång]]}}
+
{{Not selected tab|[[3.2 Förenkling av uttryck| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
−
{{Not selected tab|[[3.4 Quiz till Ekvationer, ver 2|Quiz]]}}
+
{{Selected tab|[[3.3 Ekvationer|Genomgång]]}}
−
{{Not selected tab|[[3.4 Övningar till Ekvationer|Övningar]]}}
+
{{Not selected tab|[[3.3 Quiz till Ekvationer|Quiz]]}}
−
{{Not selected tab|[[3.4 Lathund till Ekvationer|Lathund]]}}
+
{{Not selected tab|[[3.3 Övningar till Ekvationer|Övningar]]}}
 +
<!-- {{Not selected tab|[[3.3 Ekvationer+|Genomgång+]]}} -->
 +
{{Not selected tab|[[3.4 Ekvationer med x på båda sidor|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
−
 
−
== <b><span style="color:#931136">Vad är en ekvation? <math> \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\; </math> Varför ekvationer? </span></b> ==
 
  
 
<table>
 
<table>
 
<tr>
 
<tr>
−
   <td><math> \qquad </math>[[Image: Ekvation Obekant VL HL_350.jpg]]
+
   <td><div class="border-divblue"><big><big><b><span style="color:#931136">Varför ekvationer?</span></b></big></big></div>
 
<br>
 
<br>
−
<div class="border-divblue">
+
<div class="ovnE">
−
<big>
+
<b>Exempel på en textuppgift:</b>
−
En <b><span style="color:#931136">ekvation</span></b> är en likhet mellan två uttryck,
+
<br>
 +
<div class="exempel">
 +
:Kalle köper en flaska dryck som kostar <math> \, 18 \, </math> kr <i>med</i> pant.
  
−
har alltid formen VL = HL och innehåller
+
:Drycken (innehållet) kostar <math> \, 14 \, </math> kr mer än panten (flaskan).
  
−
endast EN variabel, kallad <b><span style="color:red">obekant</span></b>, se
+
:Hur mycket kostar flaskan?
 +
</div>
  
−
exemplet ovan.
+
<b>Utan ekvation</b> svarar de flesta 4 kr, vilket är fel.
  
−
Ekvationens <b><span style="color:red">lösning:</span></b> <math> \quad\; </math> <div class="smallBoxVariantt"> <math> x \; = \; {\color{Red} 2} </math></div>
+
<b>Lösning med ekvation:</b> <math> \quad\;\;\; x \; = \; {\rm flaskans\;pris} </math>
  
−
<b><span style="color:#931136">Kontroll:</span></b> &nbsp;&nbsp;&nbsp; Sätt in lösningen i ekvationen.
+
::::<math> \qquad\qquad\;\; x \, + \, 14 \; = \; {\rm dryckens\;pris} </math>
 +
<div class="exempel">
 +
::::::<math>\begin{array}{rcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18            \\
 +
                                x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18            \\
 +
                                        2\,x \, + \, 14 & = & 18            \\
 +
                                        2\,x \,        & = & 4            \\
 +
                                          x \,        & = & {\color{Red} 2} 
 +
          \end{array}</math>
 +
</div>
  
−
&nbsp; VL <math> \, = \, 2 \, \cdot \, {\color{Red} 2} \, + \, 14 \, = \, 4 \, + \, 14 \, = \, 18 </math>
 
  
−
&nbsp; HL <math> \, = \, 18 </math>
+
<b>Svar:</b> &nbsp;&nbsp;&nbsp; Flaskan kostar <math> \, {\color{Red} {2 \; {\rm kr\,}}}</math>.
  
−
&nbsp; VL <math> \; = \; </math> HL <math> \qquad \Longrightarrow \qquad </math> OK
 
  
−
&nbsp; Dvs lösningen <math> \, x = {\color{Red} 2} \, </math> är korrekt.
+
För mer info om hur man ställer upp en ekvation och om lösningsmetoder se:
−
</big>
+
  
−
<b><span style="color:#931136">Kontroll</span></b> kallas ibland även för <b><span style="color:#931136">prövning.</span></b>
 
−
</div>
 
−
</td>
 
−
  <td><math> \qquad\qquad </math></td>
 
−
  <td><div class="ovnE">
 
  
−
<b>Uppgift:</b>
+
[[3.6_Användning_av_ekvationer#Metoden_att_st.C3.A4lla_upp_en_ekvation_utifr.C3.A5n_en_textuppgift|<b><span style="color:blue">Metoden att ställa upp en ekvation utifrån en textuppgift</span></b>]],
−
<br><br>
+
−
<div class="exempel">
+
−
:Kalle köper en flaska dryck som kostar <math> \, 18 \, </math> kr <u>med</u> pant.
+
  
−
:Drycken (innehållet) kostar <math> \, 14 \, </math> kr mer än panten (flaskan).
+
[[3.3_Ekvationer#1._.C2.A0_.C3.96vert.C3.A4ckningsmetoden|<b><span style="color:blue">Övertäckningsmetoden</span></b>]] <math> \quad </math> och <math> \quad </math> [[3.3_Ekvationer#2._.C2.A0_Allm.C3.A4n_metod|<b><span style="color:blue">Allmän metod</span></b>]].
−
 
+
−
:Hur mycket kostar flaskan?
+
 
</div>
 
</div>
 +
</td>
 +
  <td><math> \;\; </math></td>
 +
  <td> <div class="border-divblue"><big><big><b><span style="color:#931136">Vad är en ekvation?</span></b></big></big></div>
 +
<br>
 +
<math> \qquad\quad </math>[[Image: Ekvation Obekant VL HL_350.jpg]]
 +
<br>
 +
<div class="border-divblue">
 +
<big>
 +
En <b><span style="color:#931136">ekvation</span></b> är en likhet mellan två uttryck,
  
−
Försök att lösa uppgiften <b>utan ekvation</b>.
+
har alltid formen VL = HL och innehåller
  
−
<b>Lösning med ekvation:</b> <math> \quad\;\;\; x \; = \; {\rm flaskans\;pris} </math>
+
minst en variabel, kallad <b>obekant</b>.
  
−
::::::<math> \quad\;\; x \, + \, 14 \; = \; {\rm dryckens\;pris} </math>
+
Ex.<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\quad 2\,x \; + \; 14 \; = \; 18 </math>
−
<div class="exempel">
+
−
::::::<math>\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18              &        &  \\
+
−
                                  x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18              &        &  \\
+
−
                                          2\,x \, + \, 14 & = & 18             & \qquad &  \\
+
−
                                          2\,x \,        & = & 4              & \qquad &  \\
+
−
                                            x \,        & = & {\color{Red} 2} &        &
+
−
            \end{array}</math>
+
−
</div>
+
  
 +
Ekvationens <b><span style="color:red">lösning:</span></b> <math> \quad\; </math> <div class="smallBoxVariantt"> <math> x \; = \; {\color{Red} 2} </math></div>
 +
</big></div>
  
−
<b>Svar:</b> &nbsp;&nbsp;&nbsp; Flaskan kostar <math> \, {\color{Red} {2 \; {\rm kr\,}}}</math>. <math> \;\; </math> Utan ekvation svarar de flesta fel (4 kr).
 
  
 +
:<big><big><big><b><span style="color:#931136">Varför lösning?</span></b></big></big></big>
  
−
Läs [[3.7_Användning_av_ekvationer#Att_st.C3.A4lla_upp_en_ekvation|<b><span style="color:blue">hur man ställer upp ekvationen</span></b>]]. <math> \;\; </math> För en mer utförlig lösning, se<span style="color:black">:</span>  
+
<div class="border-divblue">
 +
<big>
 +
<b><span style="color:#931136">Kontroll:</span></b> Sätt in lösningen i ekvationen.
  
 +
VL <math> \, = \, 2 \, \cdot \, {\color{Red} 2} \, + \, 14 \, = \, 4 \, + \, 14 \, = \, 18 </math>
  
−
<math> \qquad\; </math>[[3.4_Ekvationer#Ekvationsl.C3.B6sning:_.C3.96vert.C3.A4ckningsmetoden|<b><span style="color:blue">Övertäckningsmetoden</span></b>]] <math> \quad </math> och <math> \quad </math> [[3.4_Ekvationer#Ekvationsl.C3.B6sning:_Allm.C3.A4n_metod|<b><span style="color:blue">Allmän metod</span></b>]].
+
HL <math> \, = \, 18 </math>
  
 +
<b>VL <math> = </math> HL</b> <math> \, \implies \, x = {\color{Red} 2} </math> är en <b><span style="color:red">lösning</span></b>.
  
 +
<b><span style="color:#931136">Kontroll</span></b> kallas ibland även för <b><span style="color:#931136">prövning.</span></b>
 +
</big>
 
</div>
 
</div>
 
</td>
 
</td>
Rad 85: Rad 92:
  
  
−
== <b><span style="color:#931136">Ekvationslösning: Övertäckningsmetoden</span></b> ==
+
<big><big>Om kontrollen ovan säger man: Lösningen <b><span style="color:red">satisfierar</span></b> (uppfyller) ekvationen.</big></big>
  
−
<br>
+
 
 +
<big><big>Men hur <b><span style="color:red">får</span></b> man lösningen? Det finns två lösningsmetoder:</big></big>
 +
 
 +
 
 +
= <b><span style="color:#931136">1. &nbsp; Övertäckningsmetoden</span></b> =
  
 
<div class="ovnC">
 
<div class="ovnC">
Rad 116: Rad 127:
  
  
−
== <b><span style="color:#931136">Ekvationslösning: Allmän metod</span></b> ==
+
= <b><span style="color:#931136">2. &nbsp; Allmän metod</span></b> =
−
 
+
−
<br>
+
−
 
+
 
<div class="ovnE">
 
<div class="ovnE">
−
<big><b><span style="color:#931136">Exemplet ovan:</span></b></big>
+
<big><b><span style="color:#931136">Exempel:</span></b></big>
  
 
<div class="exempel">
 
<div class="exempel">
Rad 131: Rad 139:
 
     \displaystyle \frac{2 \cdot x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} & &  \\
 
     \displaystyle \frac{2 \cdot x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} & &  \\
 
                                         x \,        & = & 2                                        &          &
 
                                         x \,        & = & 2                                        &          &
−
          \end{array}</math>
+
        \end{array}</math>
 
</div>
 
</div>
  
Rad 144: Rad 152:
  
  
−
:::::<big><big><b>Ekvation som en våg i balans</b></big></big>
+
== <b><span style="color:#931136">Den allmänna metoden steg för steg</span></b> ==
−
 
+
  
 
<div class="ovnE">
 
<div class="ovnE">
−
<big><b><span style="color:#931136">Målet:</span></b> <math> \qquad\quad </math> Att <b><span style="color:red">isolera</span></b> <math> \, {\color{Red} x} \, </math> på ett led.</big>
+
<b>Steg 1</b>  
 +
<div class="exempel">
  
 +
&nbsp; Förenkla uttrycken i ekvationens båda led
  
−
<b>Steg 1:</b>  
+
&nbsp; så långt som möjligt. I exemplet ovan<span style="color:black">:</span>
 +
 
 +
::<math>\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18  &  &  \\
 +
                              x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18  &  &  \\
 +
                                      2\,x \, + \, 14 & = & 18  &  & 
 +
        \end{array}</math>
 +
</div>
 +
 
 +
<b>Steg 2</b>  
 
<div class="exempel">
 
<div class="exempel">
  
−
&nbsp; Förenkla uttrycken i ekvationens båda led så långt som
+
&nbsp; Utför <b><span style="color:red">samma operation</span></b> på båda leden<span style="color:black">:</span>
  
−
&nbsp; möjligt: Se raderna 1-3 i exemplet ovan (VL).
+
::<math>\begin{array}{rcl}          2\,x \, + \, 14 & = & 18                            \\
−
</div>
+
        2\,x \, + \, 14 \, {\color{Red} {- \, 14}} & = & 18 \, {\color{Red} {- \, 14}} \\
 +
                                            2\,x \, & = & 4
 +
        \end{array}</math>
  
 +
<b><span style="color:red">Vilken operation?</span></b>
  
−
<b>Steg 2:</b>  
+
<b>Den inversa operation som isolerar <math> x</math>-termen. </b>
 +
 
 +
<math> \;\;\; {\color{Red} {- \, 14}} \, </math> är den <b><span style="color:red">inversa operationen</span></b> till <math> \, + \, 14 </math>
 +
</div>
 +
 
 +
<b>Steg 3</b>  
 
<div class="exempel">
 
<div class="exempel">
  
−
&nbsp; Utför <b><span style="color:red">samma operation</span></b> på ekvationens båda led med
+
&nbsp; Utför <b><span style="color:red">samma operation</span></b> på båda leden<span style="color:black">:</span>
  
−
&nbsp;  målet att isolera <math> \, x \, </math>: Se raderna 3 och 5 i exemplet ovan.
+
::::<math>\begin{array}{rclcl} \quad\;  2 \cdot x \, & = & 4                                        &  & \\
 +
    \displaystyle \frac{2 \cdot x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} &  & \\
 +
                                                    x & = & 2                                        &  &
 +
          \end{array}</math>
  
−
&nbsp; Förenkla de nyuppkomna uttrycken.
+
<b><span style="color:red">Vilken operation?</span></b>
 +
 
 +
<b>Den inversa operation som isolerar <math> \, x \, </math>. </b>
 +
 
 +
<math> \quad\;\; {\color{Red} {/ \; 2}} \, </math> är den <b><span style="color:red">inversa operationen</span></b> till <math> \, \cdot \; 2 </math>
 
</div>
 
</div>
  
  
−
<b>Regel: &nbsp;&nbsp; <span style="color:red">Vilken operation?</span> &nbsp;&nbsp; Den som isolerar <math> \, x \, </math>. </b>
+
</div>
−
<div class="exempel">
+
  
−
&nbsp; Rad 3 i exemplet ovan<span style="color:black">:</span>
 
  
−
::::<math> 2\,x \, + \, 14 \; = \; 18 \qquad\quad | \;\; {\color{Red} {- \, 14}} </math>
+
<div class="border-divblue">
 +
<big>
 +
<b><span style="color:#931136">Den allmänna metodens filosofi:</span></b>
  
−
&nbsp;<math> \, {\color{Red} {- \, 14}} \, </math> är den <b><span style="color:red">inversa (motsatta) operationen</span></b> till <math> \, + \, 14 \, </math>.
+
Betrakta ekvationen som en <b><span style="color:red">våg i balans</span></b>.
  
−
&nbsp; Rad 5 i exemplet ovan<span style="color:black">:</span>
+
HL och VL är vågens skålar. Likhetsteck-
  
−
:::::<math> \;\; 2 \cdot x \; = \; 4 </math>
+
net betyder att vågens skålar är i balans.
  
−
&nbsp; Eller<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\quad\;\, x \cdot 2 \; = \; 4 \qquad\quad\;\;\, | \;\; {\color{Red} {/ \; 2}} </math>
+
Bibehåll balansen genom att utföra<span style="color:black">:</span>
  
−
&nbsp; <math> \, {\color{Red} {/ \; 2}} \, </math> är den <b><span style="color:red">inversa operationen</span></b> till <math> \, \cdot \; 2 \, </math>.</div>
+
<math> \;\;\; </math> <b><span style="color:red">Samma operation på båda leden !</span></b>
  
 +
Välj alltid den <b><span style="color:red">inversa</span></b> operationen till den
  
−
</div>
+
operation som binder <math> \, x \, </math> till dess omgivning.
 +
</big></div>
  
−
<big>
 
  
 +
== <b><span style="color:#931136">När saknar en ekvation lösning?</span></b> ==
  
−
<div class="border-divblue">
 
−
==== <b><span style="color:#931136">Begreppsförklaringar</span></b> ====
 
 
<br>
 
<br>
−
<table>
 
−
<tr>
 
−
  <td><b><span style="color:red">Variabler</span></b> är platshållare för tal och betecknas med
 
  
−
bokstäver, jämförbart med lådor som har etiketter.
+
<div class="ovnC">
 +
<big><b><span style="color:#931136">Exempel:</span></b></big>
  
−
Innehållet är <b><span style="color:red">variabelns värde</span></b> som kan bytas ut.
+
<div class="exempel">
 +
<math>\begin{array}{rcl} 2\,x \, - \, 2\, (3 \, + \, x ) & = & 8                                        \\
 +
                            2\,x \, - \, 6 \, - \, 2\,x & = & 8                                        \\
 +
                                                  - \, 6 & = & 8 \quad {\color{Red} {\rm{Motsägelse!}}} \\
 +
                                                        & \Downarrow &
 +
      \end{array}</math>
  
−
<b><span style="color:red">Obekant</span></b> är en variabel som förekommer i en ekvation.
+
<math> \qquad\quad </math> Ekvationen saknar lösning.
  
−
Ofta används bokstaven <math> \, x \, </math>, vilket dock inte är ett måste.
+
</div>
  
−
<b><span style="color:red">Uttryck</span></b> är en kombination av variabler, tal, räkneopera-
 
−
</td>
 
−
<td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
 
−
  <td><div class="smallBoxVariantt"><b><span style="color:red">God redovisningsstil:</span></b>
 
  
−
*Skriv likhetstecknen exakt under varandra (samma kolumn).
+
</div>
  
−
*Kommentera, när det behövs, det du gör antingen genom att
 
  
−
:använda skrivsättet i exemplet ovan eller på ditt eget sätt, ba-
+
== <b><span style="color:#931136">När är alla tal lösningar till en ekvation?</span></b> ==
  
−
:ra det blir förståeligt vad du gör.
+
<br>
 +
 
 +
<div class="ovnA">
 +
<big><b><span style="color:#931136">Exempel:</span></b></big>
 +
 
 +
<div class="exempel">
 +
<math>\begin{array}{rcl} \;\; x \, - \, (4 \, + \, x ) & = & -4                                          \\
 +
                                x \, - \, 4 \, - \, x & = & -4                                          \\
 +
                                                - \, 4 & = & -4 \quad {\color{Red} {\rm{Alltid\;sant!}}} \\
 +
                                                      & \Downarrow &
 +
      \end{array}</math>
 +
 
 +
<math> \;\; </math> Alla tal är lösningar till ekvationen. Eller<span style="color:black">:</span>
 +
 
 +
<math> \;\; </math> Ekvationen har oändligt många lösningar.
 +
 
 +
</div>
  
−
*Skriv kommentarerna skilda från ekvationens lösningsgång.</div>
 
−
</td>
 
−
</tr>
 
−
</table>
 
−
tioner och parenteser som till slut, när uttrycket beräknas, ger ett värde: <b><span style="color:red">uttryckets värde</span></b>, se [[3.1 Uttryck|<b><span style="color:blue">3.1 Uttryck</span></b>]].
 
  
−
<b><span style="color:red">Formel</span></b> är en likhet mellan två uttryck med minst två variabler, behandlas i [[3.8 Formler|<b><span style="color:blue">3.8 Formler</span></b>]].
 
 
</div>
 
</div>
  
−
</big>
 
  
  
Rad 239: Rad 278:
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2010-2016 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2021 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 15 december 2021 kl. 13.28

        <<  Förra avsnitt          Genomgång          Quiz          Övningar          Nästa avsnitt  >>      


Varför ekvationer?


Exempel på en textuppgift:

Kalle köper en flaska dryck som kostar \( \, 18 \, \) kr med pant.
Drycken (innehållet) kostar \( \, 14 \, \) kr mer än panten (flaskan).
Hur mycket kostar flaskan?

Utan ekvation svarar de flesta 4 kr, vilket är fel.

Lösning med ekvation: \( \quad\;\;\; x \; = \; {\rm flaskans\;pris} \)

\[ \qquad\qquad\;\; x \, + \, 14 \; = \; {\rm dryckens\;pris} \]
\[\begin{array}{rcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18 \\ x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18 \\ 2\,x \, + \, 14 & = & 18 \\ 2\,x \, & = & 4 \\ x \, & = & {\color{Red} 2} \end{array}\]


Svar:     Flaskan kostar \( \, {\color{Red} {2 \; {\rm kr\,}}}\).


För mer info om hur man ställer upp en ekvation och om lösningsmetoder se:


Metoden att ställa upp en ekvation utifrån en textuppgift,

Övertäckningsmetoden \( \quad \) och \( \quad \) Allmän metod.

\( \;\; \)
Vad är en ekvation?


\( \qquad\quad \)Ekvation Obekant VL HL 350.jpg

En ekvation är en likhet mellan två uttryck,

har alltid formen VL = HL och innehåller

minst en variabel, kallad obekant.

Ex.: \( \qquad\quad 2\,x \; + \; 14 \; = \; 18 \)

Ekvationens lösning: \( \quad\; \)
\( x \; = \; {\color{Red} 2} \)


Varför lösning?

Kontroll: Sätt in lösningen i ekvationen.

VL \( \, = \, 2 \, \cdot \, {\color{Red} 2} \, + \, 14 \, = \, 4 \, + \, 14 \, = \, 18 \)

HL \( \, = \, 18 \)

VL \( = \) HL \( \, \implies \, x = {\color{Red} 2} \) är en lösning.

Kontroll kallas ibland även för prövning.


Om kontrollen ovan säger man: Lösningen satisfierar (uppfyller) ekvationen.


Men hur får man lösningen? Det finns två lösningsmetoder:


1.   Övertäckningsmetoden

Exemplet ovan:

  \( 2 \, x \;\; + \; 14 \; = \; 18 \quad {\color{Red} {\rm Täck\;över\;}} 2 \, x \)

\(\quad\)
\( \, + \;\, 14 \; = \; 18 \)

  \( \;\, {\color{Red} ?} \;\;\; + \; 14 \; = \; 18 \)

  \( \;\, {\color{Red} 4} \;\;\; + \; 14 \; = \; 18 \)

  \( \;\, \Downarrow \)

  \( \, 2 \, \cdot \; x \;\; = \;\, {\color{Red} 4} \qquad\quad {\color{Red} {\rm Täck\;över\;}} x \)

  \( \, 2 \, \cdot \; \)
\( \quad \)
\( \; = \;\, 4 \)

  \( \, 2 \, \cdot \; {\color{Red} ?} \;\; = \;\; 4 \)

  \( \, 2 \, \cdot \; {\color{Red} 2} \;\; = \;\; 4 \)

  \( \quad\;\;\; \Downarrow \)

 
\( \; x \; = \; {\color{Red} 2} \)


2.   Allmän metod

Exempel:

\[\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18 & & \\ x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18 & & \\ 2\,x \, + \, 14 & = & 18 & \qquad | & {\color{Red} {- \, 14}} \\ 2\,x \, + \, 14 \, {\color{Red} {- \, 14}} & = & 18 \, {\color{Red} {- \, 14}} & & \\ 2 \cdot x \, & = & 4 & \qquad | & {\color{Red} {/ \; 2}} \\ \displaystyle \frac{2 \cdot x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} & & \\ x \, & = & 2 & & \end{array}\]

Skrivsättet \( \quad\;\;\, | \quad {\color{Red} {- \, 14}} \quad\;\;\, \) är en kommentar och betyder:

Subtrahera \( \, 14 \, \) från ekvationens båda led.

Kommentaren \( \;\; | \quad {\color{Red} {/ \; 2}} \;\; \) betyder:

Dividera ekvationens båda led med \( \, 2 \).


Den allmänna metoden steg för steg

Steg 1

  Förenkla uttrycken i ekvationens båda led

  så långt som möjligt. I exemplet ovan:

\[\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18 & & \\ x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18 & & \\ 2\,x \, + \, 14 & = & 18 & & \end{array}\]

Steg 2

  Utför samma operation på båda leden:

\[\begin{array}{rcl} 2\,x \, + \, 14 & = & 18 \\ 2\,x \, + \, 14 \, {\color{Red} {- \, 14}} & = & 18 \, {\color{Red} {- \, 14}} \\ 2\,x \, & = & 4 \end{array}\]

Vilken operation?

Den inversa operation som isolerar \( x\)-termen.

\( \;\;\; {\color{Red} {- \, 14}} \, \) är den inversa operationen till \( \, + \, 14 \)

Steg 3

  Utför samma operation på båda leden:

\[\begin{array}{rclcl} \quad\; 2 \cdot x \, & = & 4 & & \\ \displaystyle \frac{2 \cdot x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} & & \\ x & = & 2 & & \end{array}\]

Vilken operation?

Den inversa operation som isolerar \( \, x \, \).

\( \quad\;\; {\color{Red} {/ \; 2}} \, \) är den inversa operationen till \( \, \cdot \; 2 \)



Den allmänna metodens filosofi:

Betrakta ekvationen som en våg i balans.

HL och VL är vågens skålar. Likhetsteck-

net betyder att vågens skålar är i balans.

Bibehåll balansen genom att utföra:

\( \;\;\; \) Samma operation på båda leden !

Välj alltid den inversa operationen till den

operation som binder \( \, x \, \) till dess omgivning.


När saknar en ekvation lösning?


Exempel:

\(\begin{array}{rcl} 2\,x \, - \, 2\, (3 \, + \, x ) & = & 8 \\ 2\,x \, - \, 6 \, - \, 2\,x & = & 8 \\ - \, 6 & = & 8 \quad {\color{Red} {\rm{Motsägelse!}}} \\ & \Downarrow & \end{array}\)

\( \qquad\quad \) Ekvationen saknar lösning.



När är alla tal lösningar till en ekvation?


Exempel:

\(\begin{array}{rcl} \;\; x \, - \, (4 \, + \, x ) & = & -4 \\ x \, - \, 4 \, - \, x & = & -4 \\ - \, 4 & = & -4 \quad {\color{Red} {\rm{Alltid\;sant!}}} \\ & \Downarrow & \end{array}\)

\( \;\; \) Alla tal är lösningar till ekvationen. Eller:

\( \;\; \) Ekvationen har oändligt många lösningar.






Copyright © 2021 TechPages AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte1b.mathonline.se/index.php?title=3.3_Ekvationer_2_kolumner&oldid=37413"