Skillnad mellan versioner av "3.4 Lösning 4a"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(12 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
−
 
+
::<math>\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 6) & = & 12                        &          &                        \\
−
::<math>\begin{array}{rcl} f(x) & = & -\,{x^3 \over 3} \, + \, 2\,x^2 \, - \, 3\,x \, + \, 1 \\
+
                              x \, + \, x \, + \, 6 & = & 12                        &          &                        \\
−
                          f'(x) & = & -\,x^2 \, + \, 4\,x \, - \, 3  \\
+
                                      2\,x \, + \, 6 & = & 12                        & \qquad | & - \, 6  \\
−
                          f''(x) & = & -2\,x \, + \, 4
+
                            2\,x \, + \, 6 \, - \, 6 & = & 12 \, - \, 6              &          &                        \\
−
        \end{array}</math>
+
                                      2\,x \,       & = & 6                        & \qquad | & / \; 2  \\
−
 
+
                        \displaystyle \frac{2\,x}{2} & = & \displaystyle \frac{6}{2} &          &                        \\
−
'''Steg 2'''&nbsp;&nbsp; Sätt derivatan till <math> \, 0 </math>:
+
                                        x \,         & = & 3                        &          &
−
 
+
−
:::<math>\begin{array}{rcl} 3\,x^2 - 24\,x + 45 & = & 0   
+
 
         \end{array}</math>
 
         \end{array}</math>
  
−
'''Steg 3'''&nbsp;&nbsp; Lös ekvationen som uppstår (beräkna derivatans nollställen):
+
Kontroll<span style="color:black">:</span>
−
 
+
−
:::<math>\begin{array}{rcl}  3\,x^2 - 24\,x + 45 & = & 0  \\
+
−
                                x^2 -  8\,x + 15 & = & 0  \\
+
−
  \end{array}</math>
+
−
 
+
−
:::<math> \begin{array}{rcl} {\rm Vieta:} \quad x_1 \cdot x_2 &    =    & 15        \\
+
−
                              x_1  +  x_2 &    =    & -(-8) = 8 \\
+
−
                                            &\Downarrow&          \\
+
−
                                        x_1 &    =    & 3        \\
+
−
                                        x_2 &    =    & 5
+
−
          \end{array}</math>
+
−
 
+
−
::Dessa är <math> x</math>-koordinater till eventuella lokala maximi-, minimi- eller terasspunkter.
+
−
 
+
−
'''Steg 4'''&nbsp;&nbsp; Sätt in derivatans nollställen i andraderivatan<span style="color:black">:</span>
+
−
 
+
−
<math> {\color{White} x} \qquad \underline{x_1 = 3} \, </math><span style="color:black">:</span>
+
−
 
+
−
:::<math> f''(x) \, = \, 6\,x - 24 </math>
+
−
 
+
−
:::<math> f''(3) \, = \, 6\cdot 3 - 24 = -6 < 0 \quad \Longrightarrow \quad x_1 = 3 \quad {\rm lokalt\;maximum.} </math>
+
−
 
+
−
<math> {\color{White} x} \qquad \underline{x_2 = 5} \, </math><span style="color:black">:</span>
+
−
 
+
−
:::<math> f''(5) \, = \, 6\cdot 5 - 24 = 6 > 0 \quad \Longrightarrow \quad x_2 = 5 \quad {\rm lokalt\;minimum.} </math>
+
−
 
+
−
:::<math> f''(3) \neq 0 \quad {\rm och} \quad f''(5) \neq 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, {\rm har\;inga\;terasspunkter.} </math>
+
  
−
'''Steg 5'''&nbsp;&nbsp; Beräkna de lokala extrempunkternas <math> y</math>-koordinater<span style="color:black">:</span>
+
<math> \, x = 3 \quad </math> insatt i <math> \quad x \, + \, (x \, + \, 6) \, = \, 12 \, </math><span style="color:black">:</span>
  
−
:::<math> f(x) \, = \, x^3 - 12\,x^2 + 45\,x - 44 </math>
+
VL <math> \, = \, 3 \, + \, (3 \, + \, 6) \, = \, 3 \, + \, 3 \, + \, 6 \, = \, 12 </math>
  
−
:::<math> f(3) \, = \, 3^3 - 12\cdot 3^2 + 45\cdot 3 - 44 = 10 \quad \Longrightarrow \quad (3, 10) \quad {\rm är\;lokal\;maximipunkt.} </math>
+
HL <math> \, = \, 12 </math>
  
−
:::<math> f(5) \, = \, 5^3 - 12\cdot 5^2 + 45\cdot 5 - 44 = 6 \quad \Longrightarrow \quad (5, 6) \quad {\rm är\;lokal\;minimipunkt.} </math>
+
VL <math> \; = \; </math> HL <math> \quad \Longrightarrow \quad </math> OK

Nuvarande version från 9 juli 2017 kl. 17.14

\[\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 6) & = & 12 & & \\ x \, + \, x \, + \, 6 & = & 12 & & \\ 2\,x \, + \, 6 & = & 12 & \qquad | & - \, 6 \\ 2\,x \, + \, 6 \, - \, 6 & = & 12 \, - \, 6 & & \\ 2\,x \, & = & 6 & \qquad | & / \; 2 \\ \displaystyle \frac{2\,x}{2} & = & \displaystyle \frac{6}{2} & & \\ x \, & = & 3 & & \end{array}\]

Kontroll:

\( \, x = 3 \quad \) insatt i \( \quad x \, + \, (x \, + \, 6) \, = \, 12 \, \):

VL \( \, = \, 3 \, + \, (3 \, + \, 6) \, = \, 3 \, + \, 3 \, + \, 6 \, = \, 12 \)

HL \( \, = \, 12 \)

VL \( \; = \; \) HL \( \quad \Longrightarrow \quad \) OK

Hämtad från "https://matte1b.mathonline.se/index.php?title=3.4_Lösning_4a&oldid=32575"