Skillnad mellan versioner av "Teoretisk förklaring"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
(Skapade sidan med '== Varför är division med 0 inte definierad? == Både i rationella tal och rationella uttryck får nämnaren inte bli <math> 0\, </math> eftersom division med <math> 0\, </...')
 
m
 
(33 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
−
== Varför är division med 0 inte definierad? ==
+
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 +
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
 +
{{Not selected tab|[[Huvudsida|<-- Tillbaka till Matte 1b:s startsida]]}}
 +
{{Not selected tab|[[Varför får man inte dividera med 0 ?|Problemet]]}}
 +
{{Selected tab|[[Teoretisk förklaring|Teoretisk förklaring]]}}
 +
{{Not selected tab|[[Praktisk förklaring|Praktisk förklaring]]}}
 +
{{Not selected tab|[[Vad händer om man ändå dividerar med 0 ?|Vad händer om ... ?]]}}
 +
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 +
|}
  
−
Både i rationella tal och rationella uttryck får nämnaren inte bli <math> 0\, </math> eftersom division med <math> 0\, </math> inte är definierad.
 
  
−
<strong><span style="color:red">Division med 0</span></strong> är den viktigaste "förbjudna" operationen i matematiken. Men vad beror det på att det är "förbjudet"? När vi besvarar denna fråga kommer vi också att inse att det snarare är en omöjlighet än ett förbud.
 
  
 +
<div class="ovnE">
  
−
=== Praktisk förklaring ===
 
  
−
Ta fram din miniräknare och mata in:
+
<div class="exempel">
 +
Vad betyder <math> \, 12 / 4 \, </math>?
  
−
:::::<math> 1 \over 0 </math>
+
::<math> 12 / 4 = {\color{Red} x} \quad {\rm betyder: \quad Att\;hitta\;ett\;tal\;}{\color{Red} x}\; {\rm så\;att\;} {\color{Red} x} \cdot 4 = 12 </math>
  
−
Du kommer att få <strong><span style="color:red">ERROR</span></strong>. Räknaren kan inte genomföra denna operation. Varför?
+
Uppenbarligen är detta tal <math> \quad {\color{Red} {x = 3}} \quad </math> därför att <math> \, {\color{Red} 3} \cdot 4 = 12 </math>.
 +
</div>
  
−
Fortsätt dina experiment med räknaren genom att dela <math> 1\, </math> inte direkt med <math> 0\, </math> utan med små tal. Och låt dessa små tal bli mindre och mindre:
+
Nu ersätter vi <math> \, 4 \, </math> med <math> \, 0 \, </math>:
  
−
::::::::{| class="wikitable"
+
<div class="exempel">
−
|-
+
Vad betyder <math> \, 12 / 0 \, </math>?
−
! <math> x\, </math> || <big><big><math> {1 \over x} </math></big></big>
+
−
|-
+
−
| align=left| <math> 0,1\, </math> ||align=left| <math> 10\, </math>
+
−
|-
+
−
| align=left| <math> 0,01\, </math> ||align=left| <math> 100\, </math>
+
−
|-
+
−
| align=left| <math> 0,001\, </math> ||align=left| <math> 1000\, </math>
+
−
|-
+
−
| align=left| <math> 0,000\,1 </math> ||align=left| <math> 10\,000 </math>
+
−
|-
+
−
| align=left| <math> 0,000\,01 </math> ||align=left| <math> 100\,000 </math>
+
−
|-
+
−
| align=left| <math> 0,000\,001 </math> ||align=left| <math> 1\,000\,000 </math>
+
−
|-
+
−
| align=left| <math> 0,000\,000\,1 </math> ||align=left| <math> 10\,000\,000 </math>
+
−
|-
+
−
| align=left| <math> 0,000\,000\,01 </math> ||align=left| <math> 100\,000\,000 </math>
+
−
|-
+
−
| align=center| <math> \cdots </math> ||align=center| <math> \cdots </math>
+
−
|-
+
−
| align=center| <math> \rightarrow 0 </math> ||align=center| <math> \rightarrow \infty </math>
+
−
|}
+
  
−
Experimentet visar: Ju mindre <math> x\, </math> blir desto större blir <big><big><math> {1 \over x} </math></big></big>. I gränsfallet <math> x = 0\, </math> blir <big><big><math> {1 \over x} </math></big></big> oändligt stort.
+
::<math> 12 / 0 = {\color{Red} x} \quad {\rm betyder: \quad Att\;hitta\;ett\;tal\;}{\color{Red} x}\; {\rm så\;att\;} {\color{Red} x} \cdot 0 = 12 </math>
  
−
<math> \infty </math> är symbolen för oändligheten. Men det är <strong><span style="color:red">fel</span></strong> att skriva:
+
Men det finns inget sådant tal <math> {\color{Red} x} </math> därför att <math> \quad {\color{Red} x} \cdot 0 = 0 \quad \neq 12 \, </math>.
 +
</div>
  
−
:<math> {\rm {\color{Red} {OBS!\;Fel:}}} \quad\; {1 \over 0} = \infty </math>
 
  
−
Detta är ingen korrekt matematisk notation. Ett tal kan inte vara lika med <math> \infty </math> därför att <math> \infty </math> inte är något tal utan endast en symbol. Korrekt ser det ut så här:
+
Ett annat sätt att förklara omöjligheten av division med <math> \, 0  \, </math> är att tolka <b>divisionen</b> som en <b>upprepad subtraktion</b>.  
  
−
:<math> {\rm {\color{Red} {Rätt:}}} \qquad\quad\, {1 \over x} \to \infty \quad {\rm när} \quad x \to 0 </math>
+
Operationen <math> \, 12 / 4 \, </math> kan nämligen tolkas som:
  
−
Och läses så här <big><big><math> {1 \over x} </math></big></big> går mot <math> \infty </math> när <math> x\, </math> går mot <math> 0\, </math>.
+
::<math> 12 \; \underbrace{- \, 4 \, - \, 4 \, - \, 4}_{3\;\times} \; = \; 0 \qquad {\rm Därför:} \qquad 12 \, / \, 4 \; = \; 3\,, \;\; {\rm rest\;\;} 0 </math>
  
−
<b>Slutsats:</b> <big><big><math> {\color{White} x} {1 \over 0} </math></big></big> är inget tal och därför inte definierat.
+
Nu ersätter vi <math> \, 4 \, </math> med <math> \, 0 \, </math>.
  
 +
Operationen <math> \, 12 / 0 \, </math> kan tolkas som:
  
−
=== Teoretisk förklaring ===
+
::<math> 12 \; - \, 0 \, - \, 0 \, - \, \ldots - \, 0 \; = \; 12 </math>
  
−
Vad betyder <math> 12 / 4  </math> ?
+
Man kan alltså dra av hur många nollor som helst från <math> \, 12 \, </math> utan att det blir mindre: En oändlig process ger inget resultat.
  
−
::<math> 12 / 4 = {\color{Red} x} \quad {\rm betyder: \quad Att\;hitta\;ett\;tal\;}{\color{Red} x}\; {\rm så\;att\;} {\color{Red} x} \cdot 4 = 12 </math>
+
<b>Slutsats:</b> &nbsp;&nbsp;&nbsp; Division med <math> 0 \,</math> är omöjligt att genomföra.
  
−
Uppenbarligen är detta tal <math> {\color{White} x} {\color{Red} {x = 3} {\color{White} x} } </math> därför att <math> {\color{Red} 3} \cdot 4 = 12 </math>.
+
 
 +
</div>
  
  
−
Vad betyder <math> 12 / 0  </math> ?
 
  
−
::<math> 12 / 0 = {\color{Red} x} \quad {\rm betyder: \quad Att\;hitta\;ett\;tal\;}{\color{Red} x}\; {\rm så\;att\;} {\color{Red} x} \cdot 0 = 12 </math>
 
  
−
Men det finns inget sådant tal <math> {\color{Red} x} </math> därför att <math> {\color{White} x} {\color{Red} x} \cdot 0 = 0 {\color{White} x} \neq 12 </math>.
 
  
  
−
<b>Slutsats:</b> &nbsp;&nbsp;&nbsp; Operationen <math> 12 / 0 \,</math> och därmed division med <math> 0 \,</math> är omöjligt att genomföra.
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2016 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 11 juni 2016 kl. 21.07

       <-- Tillbaka till Matte 1b:s startsida          Problemet          Teoretisk förklaring          Praktisk förklaring          Vad händer om ... ?      



Vad betyder \( \, 12 / 4 \, \)?

\[ 12 / 4 = {\color{Red} x} \quad {\rm betyder: \quad Att\;hitta\;ett\;tal\;}{\color{Red} x}\; {\rm så\;att\;} {\color{Red} x} \cdot 4 = 12 \]

Uppenbarligen är detta tal \( \quad {\color{Red} {x = 3}} \quad \) därför att \( \, {\color{Red} 3} \cdot 4 = 12 \).

Nu ersätter vi \( \, 4 \, \) med \( \, 0 \, \):

Vad betyder \( \, 12 / 0 \, \)?

\[ 12 / 0 = {\color{Red} x} \quad {\rm betyder: \quad Att\;hitta\;ett\;tal\;}{\color{Red} x}\; {\rm så\;att\;} {\color{Red} x} \cdot 0 = 12 \]

Men det finns inget sådant tal \( {\color{Red} x} \) därför att \( \quad {\color{Red} x} \cdot 0 = 0 \quad \neq 12 \, \).


Ett annat sätt att förklara omöjligheten av division med \( \, 0 \, \) är att tolka divisionen som en upprepad subtraktion.

Operationen \( \, 12 / 4 \, \) kan nämligen tolkas som:

\[ 12 \; \underbrace{- \, 4 \, - \, 4 \, - \, 4}_{3\;\times} \; = \; 0 \qquad {\rm Därför:} \qquad 12 \, / \, 4 \; = \; 3\,, \;\; {\rm rest\;\;} 0 \]

Nu ersätter vi \( \, 4 \, \) med \( \, 0 \, \).

Operationen \( \, 12 / 0 \, \) kan tolkas som:

\[ 12 \; - \, 0 \, - \, 0 \, - \, \ldots - \, 0 \; = \; 12 \]

Man kan alltså dra av hur många nollor som helst från \( \, 12 \, \) utan att det blir mindre: En oändlig process ger inget resultat.

Slutsats:     Division med \( 0 \,\) är omöjligt att genomföra.





Copyright © 2011-2016 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte1b.mathonline.se/index.php?title=Teoretisk_förklaring&oldid=30121"