Skillnad mellan versioner av "3.3 Ekvationer 2 kolumner"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m (Taifun flyttade sidan 3.3 Ekvationer till 3.3 Ekvationer 2 kolumner utan att lämna en omdirigering)
 
(284 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 2: Rad 2:
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 +
{{Not selected tab|[[3.2 Förenkling av uttryck| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
 
{{Selected tab|[[3.3 Ekvationer|Genomgång]]}}
 
{{Selected tab|[[3.3 Ekvationer|Genomgång]]}}
−
{{Not selected tab|[[3.3.1_Potensekvationer|Potensekvationer]]}}
+
{{Not selected tab|[[3.3 Quiz till Ekvationer|Quiz]]}}
−
{{Not selected tab|[[3.3 Quiz till Ekvationer, ver 2|Quiz]]}}
+
 
{{Not selected tab|[[3.3 Övningar till Ekvationer|Övningar]]}}
 
{{Not selected tab|[[3.3 Övningar till Ekvationer|Övningar]]}}
−
{{Not selected tab|[[3.3 Lathund till Ekvationer|Lathund]]}}
+
<!-- {{Not selected tab|[[3.3 Ekvationer+|Genomgång+]]}} -->
 +
{{Not selected tab|[[3.4 Ekvationer med x på båda sidor|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
−
 
−
== <b><span style="color:#931136">Varför ekvationer? <math> \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad </math> Vad är en ekvation? </span></b> ==
 
  
 
<table>
 
<table>
 
<tr>
 
<tr>
−
   <td><div class="ovnE">
+
   <td><div class="border-divblue"><big><big><b><span style="color:#931136">Varför ekvationer?</span></b></big></big></div>
−
 
+
<br>
−
<b>Uppgift:</b>
+
<div class="ovnE">
 +
<b>Exempel på en textuppgift:</b>
 +
<br>
 
<div class="exempel">
 
<div class="exempel">
−
:Kalle köper en flaska dryck som kostar <math> \, 18 \, </math> kr <u>med</u> pant.
+
:Kalle köper en flaska dryck som kostar <math> \, 18 \, </math> kr <i>med</i> pant.
  
 
:Drycken (innehållet) kostar <math> \, 14 \, </math> kr mer än panten (flaskan).
 
:Drycken (innehållet) kostar <math> \, 14 \, </math> kr mer än panten (flaskan).
  
 
:Hur mycket kostar flaskan?
 
:Hur mycket kostar flaskan?
−
 
−
:Försök att lösa uppgiften <b><span style="color:red">utan ekvation</span></b>.
 
−
 
−
:Lös sedan <b><span style="color:red">med ekvation</span></b>.
 
 
</div>
 
</div>
  
−
Lösning med ekvation<span style="color:black">:</span> <math> \quad\;\; x \; = \; {\rm flaskans\;pris} </math>
+
<b>Utan ekvation</b> svarar de flesta 4 kr, vilket är fel.
  
 +
<b>Lösning med ekvation:</b> <math> \quad\;\;\; x \; = \; {\rm flaskans\;pris} </math>
 +
 +
::::<math> \qquad\qquad\;\; x \, + \, 14 \; = \; {\rm dryckens\;pris} </math>
 
<div class="exempel">
 
<div class="exempel">
−
::::::<math>\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18 &       & \\
+
::::::<math>\begin{array}{rcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18           \\
−
                                          2\,x \, + \, 14 & = & 18 & \qquad &  \\
+
                                x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18            \\
−
                                          2\,x \,        & = & 4 & \qquad &  \\
+
                                        2\,x \, + \, 14 & = & 18           \\
−
                                            x \,        & = & 2  &        &
+
                                        2\,x \,        & = & 4             \\
−
            \end{array}</math>
+
                                          x \,        & = & {\color{Red} 2}  
 +
          \end{array}</math>
 
</div>
 
</div>
  
  
−
<b>Svar:</b> &nbsp;&nbsp;&nbsp; Flaskan kostar <math> \, 2 \; {\rm kr\,.} \quad </math> Utan ekvation svarar de flesta fel (4 kr).
+
<b>Svar:</b> &nbsp;&nbsp;&nbsp; Flaskan kostar <math> \, {\color{Red} {2 \; {\rm kr\,}}}</math>.
  
  
−
Läs [[3.4_Användning_av_ekvationer|<b><span style="color:blue">hur man ställer upp ekvationen</span></b>]]. <math> \;\; </math> För en mer utförlig lösning, se<span style="color:black">:</span>
+
För mer info om hur man ställer upp en ekvation och om lösningsmetoder se:
  
  
−
<math> \qquad\; </math>[[3.3_Ekvationer#Ekvationsl.C3.B6sning_med_inspektionsmetoden|<b><span style="color:blue">inspektionsmetoden</span></b>]] <math> \quad </math> och <math> \quad </math> [[3.3_Ekvationer#Ekvationsl.C3.B6sning_med_allm.C3.A4n_metod|<b><span style="color:blue">den allmänna metoden</span></b>]].
+
[[3.6_Användning_av_ekvationer#Metoden_att_st.C3.A4lla_upp_en_ekvation_utifr.C3.A5n_en_textuppgift|<b><span style="color:blue">Metoden att ställa upp en ekvation utifrån en textuppgift</span></b>]],
−
 
+
  
 +
[[3.3_Ekvationer#1._.C2.A0_.C3.96vert.C3.A4ckningsmetoden|<b><span style="color:blue">Övertäckningsmetoden</span></b>]] <math> \quad </math> och <math> \quad </math> [[3.3_Ekvationer#2._.C2.A0_Allm.C3.A4n_metod|<b><span style="color:blue">Allmän metod</span></b>]].
 
</div>
 
</div>
 
</td>
 
</td>
−
   <td><math> \qquad\qquad </math></td>
+
   <td><math> \;\; </math></td>
−
   <td><math> \qquad </math>[[Image: Ekvation Obekant VL HL_350.jpg]]
+
   <td> <div class="border-divblue"><big><big><b><span style="color:#931136">Vad är en ekvation?</span></b></big></big></div>
 +
<br>
 +
<math> \qquad\quad </math>[[Image: Ekvation Obekant VL HL_350.jpg]]
 
<br>
 
<br>
 
<div class="border-divblue">
 
<div class="border-divblue">
 
<big>
 
<big>
−
<b><span style="color:#931136">Ekvation</span></b> <math> \; = \; </math> En likhet mellan två uttryck.
+
En <b><span style="color:#931136">ekvation</span></b> är en likhet mellan två uttryck,
  
−
Innehåller alltid ett likhetstecken och
+
har alltid formen VL = HL och innehåller
  
−
endast en obekant. <math> \qquad\;\, </math> Ex. ovan<span style="color:black">:</span>
+
minst en variabel, kallad <b>obekant</b>.
  
−
Ekvationens <b><span style="color:#931136">lösning:</span></b> <math> \quad\; </math> <div class="smallBoxVariantt"> <math> x \; = \; {\color{Red} 2} </math></div>
+
Ex.<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\quad 2\,x \; + \; 14 \; = \; 18 </math>
  
−
<b><span style="color:#931136">Kontroll:</span></b> &nbsp;&nbsp;&nbsp; Sätt in lösningen i ekvationen.
+
Ekvationens <b><span style="color:red">lösning:</span></b> <math> \quad\; </math> <div class="smallBoxVariantt"> <math> x \; = \; {\color{Red} 2} </math></div>
 +
</big></div>
  
−
&nbsp; VL <math> \, = \, 2 \, \cdot \, {\color{Red} 2} \, + \, 14 \, = \, 4 \, + \, 14 \, = \, 18 </math>
 
  
−
&nbsp; HL <math> \, = \, 18 </math>
+
:<big><big><big><b><span style="color:#931136">Varför lösning?</span></b></big></big></big>
  
−
&nbsp; VL <math> \; = \; </math> HL <math> \qquad \Longrightarrow \qquad </math> OK
+
<div class="border-divblue">
−
</big>
+
<big>
 +
<b><span style="color:#931136">Kontroll:</span></b> Sätt in lösningen i ekvationen.
  
−
<b><span style="color:#931136">Kontroll</span></b> kallas ibland för <b><span style="color:#931136">prövning.</span></b>
+
VL <math> \, = \, 2 \, \cdot \, {\color{Red} 2} \, + \, 14 \, = \, 4 \, + \, 14 \, = \, 18 </math>
 +
 
 +
HL <math> \, = \, 18 </math>
 +
 
 +
<b>VL <math> = </math> HL</b> <math> \, \implies \, x = {\color{Red} 2} </math> är en <b><span style="color:red">lösning</span></b>.
 +
 
 +
<b><span style="color:#931136">Kontroll</span></b> kallas ibland även för <b><span style="color:#931136">prövning.</span></b>
 +
</big>
 
</div>
 
</div>
 
</td>
 
</td>
Rad 81: Rad 92:
  
  
−
<big>
+
<big><big>Om kontrollen ovan säger man: Lösningen <b><span style="color:red">satisfierar</span></b> (uppfyller) ekvationen.</big></big>
−
<b><span style="color:red">Obekanta</span></b> är variabler som förekommer i ekvationer. Ofta används bokstaven <math> \, x \, </math> för obekanta. Men det är inget måste.
+
  
−
<b><span style="color:red">Variabler</span></b> är platshållare för tal som betecknas med bokstäver. Jämförbart med lådor som förses med etiketter. Innehållet är tal: <b><span style="color:red">Variabelns värde</span></b>.
 
  
−
<b><span style="color:red">Uttryck</span></b> är en kombination av variabler, tal, räkneoperationer och parenteser som till slut, när uttrycket beräknas, ger ett värde: <b><span style="color:red">Uttryckets värde</span></b>, se [[3.1 Uttryck|<b><span style="color:blue">3.1 Uttryck</span></b>]].
+
<big><big>Men hur <b><span style="color:red">får</span></b> man lösningen? Det finns två lösningsmetoder:</big></big>
  
−
<b><span style="color:red">Formel</span></b> är en likhet mellan två uttryck med minst två variabler, behandlas i [[3.5 Formler|<b><span style="color:blue">3.5 Formler</span></b>]].
 
−
</big>
 
  
 +
= <b><span style="color:#931136">1. &nbsp; Övertäckningsmetoden</span></b> =
  
−
== <b><span style="color:#931136">Ekvationslösning med inspektionsmetoden</span></b> ==
+
<div class="ovnC">
−
 
+
−
<br>
+
−
 
+
−
<div class="border-divblue">
+
 
<big><b><span style="color:#931136">Exemplet ovan:</span></b>
 
<big><b><span style="color:#931136">Exemplet ovan:</span></b>
  
Rad 103: Rad 107:
 
<div class="RedBox2x"><math>\quad</math></div> <math> \, + \;\, 14 \; = \; 18 </math>
 
<div class="RedBox2x"><math>\quad</math></div> <math> \, + \;\, 14 \; = \; 18 </math>
  
−
&nbsp; <math> \;\, 4 \;\;\; + \; 14 \; = \; 18 </math>
+
&nbsp; <math> \;\, {\color{Red} ?} \;\;\; + \; 14 \; = \; 18 </math>
 +
 
 +
&nbsp; <math> \;\, {\color{Red} 4} \;\;\; + \; 14 \; = \; 18 </math>
  
 
&nbsp; <math> \;\, \Downarrow </math>
 
&nbsp; <math> \;\, \Downarrow </math>
  
−
&nbsp; <math> \, {\color{Red} {2 \, \cdot \; x}} \;\; = \;\, 4 \qquad\quad {\color{Red} {{\rm Täck\;över\;} x}}</math>
+
&nbsp; <math> \, 2 \, \cdot \; x \;\; = \;\, {\color{Red} 4} \qquad\quad {\color{Red} {\rm Täck\;över\;}} x </math>
  
 
&nbsp; <math> \, 2 \, \cdot \; </math><div class="RedBoxx"><math> \quad </math></div> <math> \; = \;\, 4 </math>
 
&nbsp; <math> \, 2 \, \cdot \; </math><div class="RedBoxx"><math> \quad </math></div> <math> \; = \;\, 4 </math>
  
−
&nbsp; <math> \, 2 \, \cdot \; 2 \;\; = \;\; 4 </math>
+
&nbsp; <math> \, 2 \, \cdot \; {\color{Red} ?} \;\; = \;\; 4 </math>
 +
 
 +
&nbsp; <math> \, 2 \, \cdot \; {\color{Red} 2} \;\; = \;\; 4 </math>
  
 
&nbsp; <math> \quad\;\;\; \Downarrow </math>
 
&nbsp; <math> \quad\;\;\; \Downarrow </math>
  
−
&nbsp; <div class="smallBoxVariantt"> <math> \; {\color{Red} x} \; = \; 2 </math></div>
+
&nbsp; <div class="smallBoxVariantt"> <math> \; x \; = \; {\color{Red} 2} </math></div>
 
</big></div>
 
</big></div>
  
  
−
== <b><span style="color:#931136">Ekvationslösning med allmän metod</span></b> ==
+
= <b><span style="color:#931136">2. &nbsp; Allmän metod</span></b> =
−
 
+
−
<br>
+
−
 
+
 
<div class="ovnE">
 
<div class="ovnE">
−
<big><b><span style="color:#931136">Exemplet ovan:</span></b></big>
+
<big><b><span style="color:#931136">Exempel:</span></b></big>
  
 
<div class="exempel">
 
<div class="exempel">
Rad 131: Rad 136:
 
                                       2\,x \, + \, 14 & = & 18                                        & \qquad | & {\color{Red} {- \, 14}} \\
 
                                       2\,x \, + \, 14 & = & 18                                        & \qquad | & {\color{Red} {- \, 14}} \\
 
           2\,x \, + \, 14 \, {\color{Red} {- \, 14}} & = & 18 \, {\color{Red} {- \, 14}}            &          &                        \\
 
           2\,x \, + \, 14 \, {\color{Red} {- \, 14}} & = & 18 \, {\color{Red} {- \, 14}}            &          &                        \\
−
                                      2\,x \,       & = & 4                                        & \qquad | & {\color{Red} {/ \; 2}}  \\
+
                                2 \cdot x \,         & = & 4                                        & \qquad | & {\color{Red} {/ \; 2}}  \\
−
        \displaystyle \frac{2\,x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} &         &                         \\
+
    \displaystyle \frac{2 \cdot x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} & & \\
 
                                         x \,        & = & 2                                        &          &
 
                                         x \,        & = & 2                                        &          &
−
          \end{array}</math>
+
        \end{array}</math>
 
</div>
 
</div>
  
−
Skrivsättet <math> \quad | \quad {\color{Red} {- \, 14}} \quad\!</math> är en kortform för<span style="color:black">:</span>
+
Skrivsättet <math> \quad\;\;\, | \quad {\color{Red} {- \, 14}} \quad\;\;\, </math> är en kommentar och betyder<span style="color:black">:</span>
  
−
::::Subtrahera <math> \, 14 \, </math> från ekvationens båda led.
+
::Subtrahera <math> \, 14 \, </math> från ekvationens båda led.
  
−
Skrivsättet <math> \quad | \quad {\color{Red} {/ \; 2}} \quad\;\; </math> är en kortform för<span style="color:black">:</span>
+
Kommentaren <math> \;\; | \quad {\color{Red} {/ \; 2}} \;\; </math> betyder<span style="color:black">:</span>
  
−
::::Dividera ekvationens båda led med <math> \, 2 </math>.
+
::Dividera ekvationens båda led med <math> \, 2 </math>.
 
</div>
 
</div>
  
  
−
:<big><b>God redovisningsstil:</b>  
+
== <b><span style="color:#931136">Den allmänna metoden steg för steg</span></b> ==
  
−
*&nbsp;&nbsp; Skriv likhetstecknen exakt under varandra (samma kolumn).
+
<div class="ovnE">
 +
<b>Steg 1</b>
 +
<div class="exempel">
  
−
*&nbsp;&nbsp; Kommentera, där det behövs, det du gör antingen genom att
+
&nbsp; Förenkla uttrycken i ekvationens båda led
  
−
:&nbsp;&nbsp; använda skrivsättet i exemplet ovan eller på ditt eget sätt, så
+
&nbsp; så långt som möjligt. I exemplet ovan<span style="color:black">:</span>
  
−
:&nbsp;&nbsp; att det blir förståeligt vad du gör.
+
::<math>\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18  &  &  \\
 +
                              x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18  &  &  \\
 +
                                      2\,x \, + \, 14 & = & 18  &  & 
 +
        \end{array}</math>
 +
</div>
  
−
*&nbsp;&nbsp; Skriv kommentarerna skilda från ekvationens lösningsgång.
+
<b>Steg 2</b>
−
</big>
+
<div class="exempel">
  
 +
&nbsp; Utför <b><span style="color:red">samma operation</span></b> på båda leden<span style="color:black">:</span>
  
−
<div class="ovnC">
+
::<math>\begin{array}{rcl}          2\,x \, + \, 14 & = & 18                            \\
−
<big><b><span style="color:#931136">Målet:</span></b> <math> \qquad\quad </math> Att <b><span style="color:red">isolera</span></b> <math> \, {\color{Red} x} \, </math> på ett led.</big>
+
        2\,x \, + \, 14 \, {\color{Red} {- \, 14}} & = & 18 \, {\color{Red} {- \, 14}} \\
 +
                                            2\,x \, & = & 4
 +
        \end{array}</math>
  
 +
<b><span style="color:red">Vilken operation?</span></b>
  
−
<big><b><span style="color:#931136">Allmänna metoden:</span></b></big>
+
<b>Den inversa operation som isolerar <math> x</math>-termen. </b>
  
 +
<math> \;\;\; {\color{Red} {- \, 14}} \, </math> är den <b><span style="color:red">inversa operationen</span></b> till <math> \, + \, 14 </math>
 +
</div>
  
−
<b>Steg 1:</b>  
+
<b>Steg 3</b>  
 
<div class="exempel">
 
<div class="exempel">
  
−
&nbsp; Förenkla uttrycken i ekvationens båda led så långt som
+
&nbsp; Utför <b><span style="color:red">samma operation</span></b> på båda leden<span style="color:black">:</span>
  
−
&nbsp; möjligt: Se de två första raderna i exemplet ovan.
+
::::<math>\begin{array}{rclcl} \quad\;   2 \cdot x \, & = & 4                                        &  & \\
 +
    \displaystyle \frac{2 \cdot x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} &  & \\
 +
                                                    x & = & 2                                        &  &
 +
          \end{array}</math>
 +
 
 +
<b><span style="color:red">Vilken operation?</span></b>
 +
 
 +
<b>Den inversa operation som isolerar <math> \, x \, </math>. </b>
 +
 
 +
<math> \quad\;\; {\color{Red} {/ \; 2}} \, </math> är den <b><span style="color:red">inversa operationen</span></b> till <math> \, \cdot \; 2 </math>
 
</div>
 
</div>
  
  
−
<b>Steg 2:</b>
+
</div>
−
<div class="exempel">
+
  
−
&nbsp; Utför <b><span style="color:red">samma operation</span></b> på ekvationens båda led med må-
 
  
−
&nbsp; let att isolera <math> \, x </math>: Se raderna 3 och 5 i exemplet.
+
<div class="border-divblue">
 +
<big>
 +
<b><span style="color:#931136">Den allmänna metodens filosofi:</span></b>
  
−
&nbsp; <b><span style="color:red">OBS!</span></b> &nbsp;Förenkla under resans gång de nyuppkomna ut-
+
Betrakta ekvationen som en <b><span style="color:red">våg i balans</span></b>.
  
−
::&nbsp;trycken i ekvationens båda led så långt som möjligt.
+
HL och VL är vågens skålar. Likhetsteck-
−
</div>
+
  
 +
net betyder att vågens skålar är i balans.
  
−
<b>Regel: &nbsp;&nbsp; <span style="color:red">Vilken operation?</span> &nbsp;&nbsp; Den som isolerar <math> \, x \, </math>. </b>
+
Bibehåll balansen genom att utföra<span style="color:black">:</span>
−
<div class="exempel">
+
  
−
&nbsp; Rad 3 i exemplet ovan<span style="color:black">:</span>
+
<math> \;\;\; </math> <b><span style="color:red">Samma operation på båda leden !</span></b>
  
−
::::<math> 2\,x \, + \, 14 \; = \; 18 \qquad\quad | \;\; {\color{Red} {- \, 14}} </math>
+
Välj alltid den <b><span style="color:red">inversa</span></b> operationen till den
  
−
&nbsp;<math> \, {\color{Red} {- \, 14}} \, </math> är den <b><span style="color:red">inversa (motsatta) operationen</span></b> till <math> \, + \, 14 \, </math>.
+
operation som binder <math> \, x \, </math> till dess omgivning.
 +
</big></div>
  
−
&nbsp; Rad 5 i exemplet ovan<span style="color:black">:</span>
 
  
−
:::::<math> \;\; 2 \cdot x \; = \; 4 </math>
+
== <b><span style="color:#931136">När saknar en ekvation lösning?</span></b> ==
  
−
&nbsp; Eller<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\quad\; x \cdot 2 \; = \; 4 \qquad\quad\;\;\, | \;\; {\color{Red} {/ \; 2}} </math>
+
<br>
  
−
&nbsp; <math> \, {\color{Red} {/ \; 2}} \, </math> är den <b><span style="color:red">inversa operationen</span></b> till <math> \, \cdot \; 2 \, </math>.</div>
+
<div class="ovnC">
 +
<big><b><span style="color:#931136">Exempel:</span></b></big>
  
 +
<div class="exempel">
 +
<math>\begin{array}{rcl} 2\,x \, - \, 2\, (3 \, + \, x ) & = & 8                                        \\
 +
                            2\,x \, - \, 6 \, - \, 2\,x & = & 8                                        \\
 +
                                                  - \, 6 & = & 8 \quad {\color{Red} {\rm{Motsägelse!}}} \\
 +
                                                        & \Downarrow &
 +
      \end{array}</math>
 +
 +
<math> \qquad\quad </math> Ekvationen saknar lösning.
  
 
</div>
 
</div>
  
  
−
== <b><span style="color:#931136">Ekvationer med obekanten <math> \, x \, </math> i båda leden</span></b> ==
+
</div>
 +
 
 +
 
 +
== <b><span style="color:#931136">När är alla tal lösningar till en ekvation?</span></b> ==
  
 
<br>
 
<br>
  
 +
<div class="ovnA">
 +
<big><b><span style="color:#931136">Exempel:</span></b></big>
  
 +
<div class="exempel">
 +
<math>\begin{array}{rcl} \;\; x \, - \, (4 \, + \, x ) & = & -4                                          \\
 +
                                x \, - \, 4 \, - \, x & = & -4                                          \\
 +
                                                - \, 4 & = & -4 \quad {\color{Red} {\rm{Alltid\;sant!}}} \\
 +
                                                      & \Downarrow &
 +
      \end{array}</math>
  
 +
<math> \;\; </math> Alla tal är lösningar till ekvationen. Eller<span style="color:black">:</span>
  
−
== <b><span style="color:#931136">Potensekvationer</span></b> ==
+
<math> \;\; </math> Ekvationen har oändligt många lösningar.
  
−
<br>
+
</div>
 +
 
 +
 
 +
</div>
  
  
Rad 229: Rad 278:
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2010-2016 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2021 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 15 december 2021 kl. 13.28

        <<  Förra avsnitt          Genomgång          Quiz          Övningar          Nästa avsnitt  >>      


Varför ekvationer?


Exempel på en textuppgift:

Kalle köper en flaska dryck som kostar \( \, 18 \, \) kr med pant.
Drycken (innehållet) kostar \( \, 14 \, \) kr mer än panten (flaskan).
Hur mycket kostar flaskan?

Utan ekvation svarar de flesta 4 kr, vilket är fel.

Lösning med ekvation: \( \quad\;\;\; x \; = \; {\rm flaskans\;pris} \)

\[ \qquad\qquad\;\; x \, + \, 14 \; = \; {\rm dryckens\;pris} \]
\[\begin{array}{rcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18 \\ x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18 \\ 2\,x \, + \, 14 & = & 18 \\ 2\,x \, & = & 4 \\ x \, & = & {\color{Red} 2} \end{array}\]


Svar:     Flaskan kostar \( \, {\color{Red} {2 \; {\rm kr\,}}}\).


För mer info om hur man ställer upp en ekvation och om lösningsmetoder se:


Metoden att ställa upp en ekvation utifrån en textuppgift,

Övertäckningsmetoden \( \quad \) och \( \quad \) Allmän metod.

\( \;\; \)
Vad är en ekvation?


\( \qquad\quad \)Ekvation Obekant VL HL 350.jpg

En ekvation är en likhet mellan två uttryck,

har alltid formen VL = HL och innehåller

minst en variabel, kallad obekant.

Ex.: \( \qquad\quad 2\,x \; + \; 14 \; = \; 18 \)

Ekvationens lösning: \( \quad\; \)
\( x \; = \; {\color{Red} 2} \)


Varför lösning?

Kontroll: Sätt in lösningen i ekvationen.

VL \( \, = \, 2 \, \cdot \, {\color{Red} 2} \, + \, 14 \, = \, 4 \, + \, 14 \, = \, 18 \)

HL \( \, = \, 18 \)

VL \( = \) HL \( \, \implies \, x = {\color{Red} 2} \) är en lösning.

Kontroll kallas ibland även för prövning.


Om kontrollen ovan säger man: Lösningen satisfierar (uppfyller) ekvationen.


Men hur får man lösningen? Det finns två lösningsmetoder:


1.   Övertäckningsmetoden

Exemplet ovan:

  \( 2 \, x \;\; + \; 14 \; = \; 18 \quad {\color{Red} {\rm Täck\;över\;}} 2 \, x \)

\(\quad\)
\( \, + \;\, 14 \; = \; 18 \)

  \( \;\, {\color{Red} ?} \;\;\; + \; 14 \; = \; 18 \)

  \( \;\, {\color{Red} 4} \;\;\; + \; 14 \; = \; 18 \)

  \( \;\, \Downarrow \)

  \( \, 2 \, \cdot \; x \;\; = \;\, {\color{Red} 4} \qquad\quad {\color{Red} {\rm Täck\;över\;}} x \)

  \( \, 2 \, \cdot \; \)
\( \quad \)
\( \; = \;\, 4 \)

  \( \, 2 \, \cdot \; {\color{Red} ?} \;\; = \;\; 4 \)

  \( \, 2 \, \cdot \; {\color{Red} 2} \;\; = \;\; 4 \)

  \( \quad\;\;\; \Downarrow \)

 
\( \; x \; = \; {\color{Red} 2} \)


2.   Allmän metod

Exempel:

\[\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18 & & \\ x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18 & & \\ 2\,x \, + \, 14 & = & 18 & \qquad | & {\color{Red} {- \, 14}} \\ 2\,x \, + \, 14 \, {\color{Red} {- \, 14}} & = & 18 \, {\color{Red} {- \, 14}} & & \\ 2 \cdot x \, & = & 4 & \qquad | & {\color{Red} {/ \; 2}} \\ \displaystyle \frac{2 \cdot x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} & & \\ x \, & = & 2 & & \end{array}\]

Skrivsättet \( \quad\;\;\, | \quad {\color{Red} {- \, 14}} \quad\;\;\, \) är en kommentar och betyder:

Subtrahera \( \, 14 \, \) från ekvationens båda led.

Kommentaren \( \;\; | \quad {\color{Red} {/ \; 2}} \;\; \) betyder:

Dividera ekvationens båda led med \( \, 2 \).


Den allmänna metoden steg för steg

Steg 1

  Förenkla uttrycken i ekvationens båda led

  så långt som möjligt. I exemplet ovan:

\[\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18 & & \\ x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18 & & \\ 2\,x \, + \, 14 & = & 18 & & \end{array}\]

Steg 2

  Utför samma operation på båda leden:

\[\begin{array}{rcl} 2\,x \, + \, 14 & = & 18 \\ 2\,x \, + \, 14 \, {\color{Red} {- \, 14}} & = & 18 \, {\color{Red} {- \, 14}} \\ 2\,x \, & = & 4 \end{array}\]

Vilken operation?

Den inversa operation som isolerar \( x\)-termen.

\( \;\;\; {\color{Red} {- \, 14}} \, \) är den inversa operationen till \( \, + \, 14 \)

Steg 3

  Utför samma operation på båda leden:

\[\begin{array}{rclcl} \quad\; 2 \cdot x \, & = & 4 & & \\ \displaystyle \frac{2 \cdot x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} & & \\ x & = & 2 & & \end{array}\]

Vilken operation?

Den inversa operation som isolerar \( \, x \, \).

\( \quad\;\; {\color{Red} {/ \; 2}} \, \) är den inversa operationen till \( \, \cdot \; 2 \)



Den allmänna metodens filosofi:

Betrakta ekvationen som en våg i balans.

HL och VL är vågens skålar. Likhetsteck-

net betyder att vågens skålar är i balans.

Bibehåll balansen genom att utföra:

\( \;\;\; \) Samma operation på båda leden !

Välj alltid den inversa operationen till den

operation som binder \( \, x \, \) till dess omgivning.


När saknar en ekvation lösning?


Exempel:

\(\begin{array}{rcl} 2\,x \, - \, 2\, (3 \, + \, x ) & = & 8 \\ 2\,x \, - \, 6 \, - \, 2\,x & = & 8 \\ - \, 6 & = & 8 \quad {\color{Red} {\rm{Motsägelse!}}} \\ & \Downarrow & \end{array}\)

\( \qquad\quad \) Ekvationen saknar lösning.



När är alla tal lösningar till en ekvation?


Exempel:

\(\begin{array}{rcl} \;\; x \, - \, (4 \, + \, x ) & = & -4 \\ x \, - \, 4 \, - \, x & = & -4 \\ - \, 4 & = & -4 \quad {\color{Red} {\rm{Alltid\;sant!}}} \\ & \Downarrow & \end{array}\)

\( \;\; \) Alla tal är lösningar till ekvationen. Eller:

\( \;\; \) Ekvationen har oändligt många lösningar.






Copyright © 2021 TechPages AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte1b.mathonline.se/index.php?title=3.3_Ekvationer_2_kolumner&oldid=37413"