Skillnad mellan versioner av "3.3 Ekvationer 2 kolumner"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m (Taifun flyttade sidan 3.3 Ekvationer till 3.3 Ekvationer 2 kolumner utan att lämna en omdirigering)
 
(48 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 2: Rad 2:
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 +
{{Not selected tab|[[3.2 Förenkling av uttryck| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
 
{{Selected tab|[[3.3 Ekvationer|Genomgång]]}}
 
{{Selected tab|[[3.3 Ekvationer|Genomgång]]}}
 
{{Not selected tab|[[3.3 Quiz till Ekvationer|Quiz]]}}
 
{{Not selected tab|[[3.3 Quiz till Ekvationer|Quiz]]}}
−
{{Not selected tab|[[3.3 Övningar till Ekvationer|Övningar Webb]]}}
+
{{Not selected tab|[[3.3 Övningar till Ekvationer|Övningar]]}}
−
{{Not selected tab|[[3.3 Lathund till Ekvationer|Lathund]]}}
+
<!-- {{Not selected tab|[[3.3 Ekvationer+|Genomgång+]]}} -->
 
{{Not selected tab|[[3.4 Ekvationer med x på båda sidor|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 
{{Not selected tab|[[3.4 Ekvationer med x på båda sidor|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
−
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
−
|}
 
−
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
−
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
 
−
{{Not selected tab|[[3.2 Förenkling av uttryck| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
 
−
{{Not selected tab|    }}
 
−
{{Not selected tab|[[3.3 Övningar till Ekvationer (Appversionen)|Övningar App]]}}
 
−
{{Not selected tab|    }}
 
−
{{Not selected tab|    }}
 
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
−
 
−
== <b><span style="color:#931136">Vad är en ekvation? <math> \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\; </math> Varför ekvationer? </span></b> ==
 
  
 
<table>
 
<table>
 
<tr>
 
<tr>
−
   <td><math> \qquad </math>[[Image: Ekvation Obekant VL HL_350.jpg]]
+
   <td><div class="border-divblue"><big><big><b><span style="color:#931136">Varför ekvationer?</span></b></big></big></div>
 
<br>
 
<br>
−
<div class="border-divblue">
+
<div class="ovnE">
−
<big>
+
<b>Exempel på en textuppgift:</b>
−
En <b><span style="color:#931136">ekvation</span></b> är en likhet mellan två uttryck,
+
<br>
 +
<div class="exempel">
 +
:Kalle köper en flaska dryck som kostar <math> \, 18 \, </math> kr <i>med</i> pant.
  
−
har alltid formen VL = HL och innehåller
+
:Drycken (innehållet) kostar <math> \, 14 \, </math> kr mer än panten (flaskan).
  
−
i regel EN variabel, kallad <b>obekant</b>, t.ex. <math> \, x \, </math>.
+
:Hur mycket kostar flaskan?
 +
</div>
  
−
<b><span style="color:black">Ekvationen:</span></b> <math> \quad 2\,x \; + \; 14 \; = \; 18 </math>
+
<b>Utan ekvation</b> svarar de flesta 4 kr, vilket är fel.
  
−
<b><span style="color:red">Lösningen:</span></b> <math> \qquad\; </math> <div class="smallBoxVariantt"> <math> x \; = \; {\color{Red} 2} </math></div>
+
<b>Lösning med ekvation:</b> <math> \quad\;\;\; x \; = \; {\rm flaskans\;pris} </math>
−
</big></div>
+
  
 +
::::<math> \qquad\qquad\;\; x \, + \, 14 \; = \; {\rm dryckens\;pris} </math>
 +
<div class="exempel">
 +
::::::<math>\begin{array}{rcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18            \\
 +
                                x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18            \\
 +
                                        2\,x \, + \, 14 & = & 18            \\
 +
                                        2\,x \,        & = & 4            \\
 +
                                          x \,        & = & {\color{Red} 2} 
 +
          \end{array}</math>
 +
</div>
  
−
:<big><big>Varför?</big></big>
 
  
 +
<b>Svar:</b> &nbsp;&nbsp;&nbsp; Flaskan kostar <math> \, {\color{Red} {2 \; {\rm kr\,}}}</math>.
  
−
<div class="border-divblue">
 
−
<big>
 
−
<b><span style="color:#931136">Kontroll:</span></b> &nbsp;&nbsp;&nbsp; Sätt in lösningen i ekvationen.
 
  
−
VL <math> \, = \, 2 \, \cdot \, {\color{Red} 2} \, + \, 14 \, = \, 4 \, + \, 14 \, = \, 18 </math>
+
För mer info om hur man ställer upp en ekvation och om lösningsmetoder se:
  
−
HL <math> \, = \, 18 </math>
 
  
−
VL <math> = </math> HL <math> \, \Rightarrow \, x = {\color{Red} 2} </math> är en korrekt lösning.
+
[[3.6_Användning_av_ekvationer#Metoden_att_st.C3.A4lla_upp_en_ekvation_utifr.C3.A5n_en_textuppgift|<b><span style="color:blue">Metoden att ställa upp en ekvation utifrån en textuppgift</span></b>]],
−
</big>
+
  
−
<b><span style="color:#931136">Kontroll</span></b> kallas ibland även för <b><span style="color:#931136">prövning.</span></b>
+
[[3.3_Ekvationer#1._.C2.A0_.C3.96vert.C3.A4ckningsmetoden|<b><span style="color:blue">Övertäckningsmetoden</span></b>]] <math> \quad </math> och <math> \quad </math> [[3.3_Ekvationer#2._.C2.A0_Allm.C3.A4n_metod|<b><span style="color:blue">Allmän metod</span></b>]].
 
</div>
 
</div>
 
</td>
 
</td>
−
   <td><math> \qquad\qquad </math></td>
+
   <td><math> \;\; </math></td>
−
   <td><div class="ovnE">
+
   <td> <div class="border-divblue"><big><big><b><span style="color:#931136">Vad är en ekvation?</span></b></big></big></div>
 +
<br>
 +
<math> \qquad\quad </math>[[Image: Ekvation Obekant VL HL_350.jpg]]
 +
<br>
 +
<div class="border-divblue">
 +
<big>
 +
En <b><span style="color:#931136">ekvation</span></b> är en likhet mellan två uttryck,
  
−
<b>Exempel på en textuppgift:</b>
+
har alltid formen VL = HL och innehåller
−
<br><br>
+
−
<div class="exempel">
+
−
:Kalle köper en flaska dryck som kostar <math> \, 18 \, </math> kr <i>med</i> pant.
+
  
−
:Drycken (innehållet) kostar <math> \, 14 \, </math> kr mer än panten (flaskan).
+
minst en variabel, kallad <b>obekant</b>.
  
−
:Hur mycket kostar flaskan?
+
Ex.<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\quad 2\,x \; + \; 14 \; = \; 18 </math>
−
</div>
+
  
−
Försök att lösa uppgiften <b>utan ekvation</b>.
+
Ekvationens <b><span style="color:red">lösning:</span></b> <math> \quad\; </math> <div class="smallBoxVariantt"> <math> x \; = \; {\color{Red} 2} </math></div>
 +
</big></div>
  
−
<b>Lösning med ekvation:</b> <math> \quad\;\;\; x \; = \; {\rm flaskans\;pris} </math>
 
  
−
::::::<math> \quad\;\; x \, + \, 14 \; = \; {\rm dryckens\;pris} </math>
+
:<big><big><big><b><span style="color:#931136">Varför lösning?</span></b></big></big></big>
−
<div class="exempel">
+
−
::::::<math>\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18              &        &  \\
+
−
                                  x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18              &        &  \\
+
−
                                          2\,x \, + \, 14 & = & 18              & \qquad &  \\
+
−
                                          2\,x \,        & = & 4              & \qquad &  \\
+
−
                                            x \,        & = & {\color{Red} 2} &        &
+
−
            \end{array}</math>
+
−
</div>
+
  
 +
<div class="border-divblue">
 +
<big>
 +
<b><span style="color:#931136">Kontroll:</span></b> Sätt in lösningen i ekvationen.
  
−
<b>Svar:</b> &nbsp;&nbsp;&nbsp; Flaskan kostar <math> \, {\color{Red} {2 \; {\rm kr\,}}}</math>. <math> \;\; </math> Utan ekvation svarar de flesta fel (4 kr).
+
VL <math> \, = \, 2 \, \cdot \, {\color{Red} 2} \, + \, 14 \, = \, 4 \, + \, 14 \, = \, 18 </math>
  
 +
HL <math> \, = \, 18 </math>
  
−
För mer info om lösningsmetoder och om [[3.7_Användning_av_ekvationer#Att_st.C3.A4lla_upp_en_ekvation|<b><span style="color:blue">hur man ställer upp ekvationen</span></b>]], se<span style="color:black">:</span>
+
<b>VL <math> = </math> HL</b> <math> \, \implies \, x = {\color{Red} 2} </math> är en <b><span style="color:red">lösning</span></b>.
−
 
+
−
 
+
−
<math> \qquad\; </math>[[3.4_Ekvationer#Ekvationsl.C3.B6sning:_.C3.96vert.C3.A4ckningsmetoden|<b><span style="color:blue">Övertäckningsmetoden</span></b>]] <math> \quad </math> och <math> \quad </math> [[3.4_Ekvationer#Ekvationsl.C3.B6sning:_Allm.C3.A4n_metod|<b><span style="color:blue">Allmän metod</span></b>]].
+
−
 
+
  
 +
<b><span style="color:#931136">Kontroll</span></b> kallas ibland även för <b><span style="color:#931136">prövning.</span></b>
 +
</big>
 
</div>
 
</div>
 
</td>
 
</td>
Rad 100: Rad 92:
  
  
−
<big><big>Två lösningsmetoder:</big></big>
+
<big><big>Om kontrollen ovan säger man: Lösningen <b><span style="color:red">satisfierar</span></b> (uppfyller) ekvationen.</big></big>
  
  
−
== <b><span style="color:#931136">1. &nbsp; Övertäckningsmetoden</span></b> ==
+
<big><big>Men hur <b><span style="color:red">får</span></b> man lösningen? Det finns två lösningsmetoder:</big></big>
  
−
<br>
+
 
 +
= <b><span style="color:#931136">1. &nbsp; Övertäckningsmetoden</span></b> =
  
 
<div class="ovnC">
 
<div class="ovnC">
Rad 134: Rad 127:
  
  
−
== <b><span style="color:#931136">2. &nbsp; Allmän metod</span></b> ==
+
= <b><span style="color:#931136">2. &nbsp; Allmän metod</span></b> =
−
 
+
−
<br>
+
−
 
+
 
<div class="ovnE">
 
<div class="ovnE">
 
<big><b><span style="color:#931136">Exempel:</span></b></big>
 
<big><b><span style="color:#931136">Exempel:</span></b></big>
Rad 162: Rad 152:
  
  
−
:::::<big><big><b>Ekvation som en våg i balans</b></big></big>
+
== <b><span style="color:#931136">Den allmänna metoden steg för steg</span></b> ==
−
 
+
  
 
<div class="ovnE">
 
<div class="ovnE">
−
<big><b><span style="color:#931136">Målet:</span></b> <math> \qquad\quad </math> Att <b><span style="color:red">isolera</span></b> <math> \, {\color{Red} x} \, </math> på ett led.</big>
+
<b>Steg 1</b>  
−
 
+
−
 
+
−
<b>Steg 1:</b>  
+
 
<div class="exempel">
 
<div class="exempel">
  
−
&nbsp; Förenkla uttrycken i ekvationens båda led så långt som
+
&nbsp; Förenkla uttrycken i ekvationens båda led
  
−
&nbsp; möjligt. I exemplet ovan<span style="color:black">:</span>
+
&nbsp; så långt som möjligt. I exemplet ovan<span style="color:black">:</span>
  
−
::::<math>\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18  &  &  \\
+
::<math>\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18  &  &  \\
−
                                x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18  &  &  \\
+
                              x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18  &  &  \\
−
                                        2\,x \, + \, 14 & = & 18  &  &   
+
                                      2\,x \, + \, 14 & = & 18  &  &   
 
         \end{array}</math>
 
         \end{array}</math>
 
</div>
 
</div>
  
−
 
+
<b>Steg 2</b>  
−
<b>Steg 2:</b>  
+
 
<div class="exempel">
 
<div class="exempel">
  
−
&nbsp; Utför <b><span style="color:red">samma operation</span></b> på ekvationens båda led<span style="color:black">:</span>  
+
&nbsp; Utför <b><span style="color:red">samma operation</span></b> på båda leden<span style="color:black">:</span>  
  
−
::<math>\begin{array}{rcl}          2\,x \, + \, 14 & = & 18 \qquad\quad | \;\; {\color{Red} {- \, 14}}  \\
+
::<math>\begin{array}{rcl}          2\,x \, + \, 14 & = & 18                           \\
−
          2\,x \, + \, 14 \, {\color{Red} {- \, 14}} & = & 18 \, {\color{Red} {- \, 14}}                 \\
+
        2\,x \, + \, 14 \, {\color{Red} {- \, 14}} & = & 18 \, {\color{Red} {- \, 14}} \\
 +
                                            2\,x \, & = & 4
 
         \end{array}</math>
 
         \end{array}</math>
  
−
&nbsp; Förenkla de nyuppkomna uttrycken.
+
<b><span style="color:red">Vilken operation?</span></b>
  
−
::::<math>\begin{array}{rclcl} \quad\;  2 \cdot x \, & = & 4                                        & \qquad | & {\color{Red} {/ \; 2}}  \\
+
<b>Den inversa operation som isolerar <math> x</math>-termen. </b>
−
    \displaystyle \frac{2 \cdot x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} &          & 
+
−
          \end{array}</math>
+
  
−
&nbsp; Förenkla de nyuppkomna uttrycken<span style="color:black">:</span>
+
<math> \;\;\; {\color{Red} {- \, 14}} \, </math> är den <b><span style="color:red">inversa operationen</span></b> till <math> \, + \, 14 </math>
 +
</div>
  
−
::::<math>\begin{array}{rclcl} \quad\;  x \,         & = & 2                                        &         &
+
<b>Steg 3</b>
 +
<div class="exempel">
 +
 
 +
&nbsp; Utför <b><span style="color:red">samma operation</span></b> på båda leden<span style="color:black">:</span>
 +
 
 +
::::<math>\begin{array}{rclcl} \quad\;  2 \cdot x \, & = & 4                                        &  & \\
 +
    \displaystyle \frac{2 \cdot x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} &  & \\
 +
                                                    x & = & 2                                        & &
 
           \end{array}</math>
 
           \end{array}</math>
 +
 +
<b><span style="color:red">Vilken operation?</span></b>
 +
 +
<b>Den inversa operation som isolerar <math> \, x \, </math>. </b>
 +
 +
<math> \quad\;\; {\color{Red} {/ \; 2}} \, </math> är den <b><span style="color:red">inversa operationen</span></b> till <math> \, \cdot \; 2 </math>
 
</div>
 
</div>
  
−
<math> \qquad\quad </math> <b><span style="color:red">Vilken operation?</span></b>
 
  
−
<b>Regel: &nbsp; Den inversa operationen med målet att isolera <math> \, x \, </math>. </b>
+
</div>
−
<div class="exempel">
+
  
−
::::<math> 2\,x \, + \, 14 \; = \; 18 \qquad\quad | \;\; {\color{Red} {- \, 14}} </math>
 
  
−
&nbsp; Eftersom<span style="color:black">:</span>
+
<div class="border-divblue">
 +
<big>
 +
<b><span style="color:#931136">Den allmänna metodens filosofi:</span></b>
  
−
&nbsp;<math> \, {\color{Red} {- \, 14}} \, </math> är den <b><span style="color:red">inversa (motsatta) operationen</span></b> till <math> \, + \, 14 \, </math>.
+
Betrakta ekvationen som en <b><span style="color:red">våg i balans</span></b>.
  
−
:::::<math> \;\; 2 \cdot x \; = \; 4 \qquad\quad\;\;\, | \;\; {\color{Red} {/ \; 2}} </math>
+
HL och VL är vågens skålar. Likhetsteck-
  
−
&nbsp; Eftersom<span style="color:black">:</span>
+
net betyder att vågens skålar är i balans.
  
−
&nbsp; <math> \, {\color{Red} {/ \; 2}} \, </math> är den <b><span style="color:red">inversa operationen</span></b> till <math> \, \cdot \; 2 \, </math>.</div>
+
Bibehåll balansen genom att utföra<span style="color:black">:</span>
  
 +
<math> \;\;\; </math> <b><span style="color:red">Samma operation på båda leden !</span></b>
  
−
</div>
+
Välj alltid den <b><span style="color:red">inversa</span></b> operationen till den
  
−
<big>
+
operation som binder <math> \, x \, </math> till dess omgivning.
 +
</big></div>
  
  
−
<div class="border-divblue">
+
== <b><span style="color:#931136">När saknar en ekvation lösning?</span></b> ==
−
<table>
+
 
−
<tr>
+
−
  <td>
+
−
==== <b><span style="color:#931136">Begreppsförklaringar</span></b> ====
+
 
<br>
 
<br>
−
<b><span style="color:red">Variabler</span></b> är platshållare för tal och betecknas med
 
  
−
bokstäver, jämförbart med lådor som har etiketter.
+
<div class="ovnC">
 +
<big><b><span style="color:#931136">Exempel:</span></b></big>
  
−
Innehållet är <b><span style="color:red">variabelns värde</span></b> (tal) och kan bytas ut.
+
<div class="exempel">
−
----
+
<math>\begin{array}{rcl} 2\,x \, - \, 2\, (3 \, + \, x ) & = & 8                                        \\
−
<b><span style="color:red">Obekant</span></b> är en variabel som förekommer i en ekvation.
+
                            2\,x \, - \, 6 \, - \, 2\,x & = & 8                                        \\
−
----
+
                                                  - \, 6 & = & 8 \quad {\color{Red} {\rm{Motsägelse!}}} \\
−
<b><span style="color:red">Uttryck</span></b> är en kombination av variabler, tal, räkneopera-
+
                                                        & \Downarrow &
−
</td>
+
      \end{array}</math>
−
<td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
+
−
<td><div class="smallBoxVariantt"><b><span style="color:red">God redovisningsstil</span></b> vid ekvationslösning:
+
  
−
* &nbsp; Definiera vad din obekant står för.
+
<math> \qquad\quad </math> Ekvationen saknar lösning.
  
−
* &nbsp; Skriv likhetstecknen exakt under varandra (samma kolumn).
+
</div>
  
−
* &nbsp; Kommentera, när det behövs, det du gör antingen genom att &nbsp;&nbsp;
 
  
−
:använda skrivsättet i [[3.3_Ekvationer#Ekvationsl.C3.B6sning:_Allm.C3.A4n_metod|<b><span style="color:blue">exemplet ovan</span></b>]] eller på ditt eget sätt,
+
</div>
 +
 
 +
 
 +
== <b><span style="color:#931136">När är alla tal lösningar till en ekvation?</span></b> ==
 +
 
 +
<br>
 +
 
 +
<div class="ovnA">
 +
<big><b><span style="color:#931136">Exempel:</span></b></big>
 +
 
 +
<div class="exempel">
 +
<math>\begin{array}{rcl} \;\; x \, - \, (4 \, + \, x ) & = & -4                                          \\
 +
                                x \, - \, 4 \, - \, x & = & -4                                          \\
 +
                                                - \, 4 & = & -4 \quad {\color{Red} {\rm{Alltid\;sant!}}} \\
 +
                                                      & \Downarrow &
 +
      \end{array}</math>
 +
 
 +
<math> \;\; </math> Alla tal är lösningar till ekvationen. Eller<span style="color:black">:</span>
 +
 
 +
<math> \;\; </math> Ekvationen har oändligt många lösningar.
 +
 
 +
</div>
  
−
:bara det blir förståeligt vad du gör.
 
  
−
*Skriv kommentarerna skilda från ekvationens lösningsgång.</div>
 
−
</td>
 
−
</tr>
 
−
</table>
 
−
tioner och parenteser som till slut, när uttrycket beräknas, ger ett värde: <b><span style="color:red">uttryckets värde</span></b>, se [[3.1 Algebraiska uttryck|<b><span style="color:blue">3.1 Algebraiska uttryck</span></b>]].
 
−
----
 
−
<b><span style="color:red">Ekvation</span></b> är en likhet mellan två uttryck med endast EN obekant (än så länge i Matte 1).
 
−
----
 
−
<b><span style="color:red">Formel</span></b> är en likhet mellan två uttryck med minst två variabler, behandlas i [[3.7 Formler|<b><span style="color:blue">3.7 Formler</span></b>]].
 
 
</div>
 
</div>
  
−
</big>
 
  
  
Rad 275: Rad 278:
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2021 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 15 december 2021 kl. 13.28

        <<  Förra avsnitt          Genomgång          Quiz          Övningar          Nästa avsnitt  >>      


Varför ekvationer?


Exempel på en textuppgift:

Kalle köper en flaska dryck som kostar \( \, 18 \, \) kr med pant.
Drycken (innehållet) kostar \( \, 14 \, \) kr mer än panten (flaskan).
Hur mycket kostar flaskan?

Utan ekvation svarar de flesta 4 kr, vilket är fel.

Lösning med ekvation: \( \quad\;\;\; x \; = \; {\rm flaskans\;pris} \)

\[ \qquad\qquad\;\; x \, + \, 14 \; = \; {\rm dryckens\;pris} \]
\[\begin{array}{rcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18 \\ x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18 \\ 2\,x \, + \, 14 & = & 18 \\ 2\,x \, & = & 4 \\ x \, & = & {\color{Red} 2} \end{array}\]


Svar:     Flaskan kostar \( \, {\color{Red} {2 \; {\rm kr\,}}}\).


För mer info om hur man ställer upp en ekvation och om lösningsmetoder se:


Metoden att ställa upp en ekvation utifrån en textuppgift,

Övertäckningsmetoden \( \quad \) och \( \quad \) Allmän metod.

\( \;\; \)
Vad är en ekvation?


\( \qquad\quad \)Ekvation Obekant VL HL 350.jpg

En ekvation är en likhet mellan två uttryck,

har alltid formen VL = HL och innehåller

minst en variabel, kallad obekant.

Ex.: \( \qquad\quad 2\,x \; + \; 14 \; = \; 18 \)

Ekvationens lösning: \( \quad\; \)
\( x \; = \; {\color{Red} 2} \)


Varför lösning?

Kontroll: Sätt in lösningen i ekvationen.

VL \( \, = \, 2 \, \cdot \, {\color{Red} 2} \, + \, 14 \, = \, 4 \, + \, 14 \, = \, 18 \)

HL \( \, = \, 18 \)

VL \( = \) HL \( \, \implies \, x = {\color{Red} 2} \) är en lösning.

Kontroll kallas ibland även för prövning.


Om kontrollen ovan säger man: Lösningen satisfierar (uppfyller) ekvationen.


Men hur får man lösningen? Det finns två lösningsmetoder:


1.   Övertäckningsmetoden

Exemplet ovan:

  \( 2 \, x \;\; + \; 14 \; = \; 18 \quad {\color{Red} {\rm Täck\;över\;}} 2 \, x \)

\(\quad\)
\( \, + \;\, 14 \; = \; 18 \)

  \( \;\, {\color{Red} ?} \;\;\; + \; 14 \; = \; 18 \)

  \( \;\, {\color{Red} 4} \;\;\; + \; 14 \; = \; 18 \)

  \( \;\, \Downarrow \)

  \( \, 2 \, \cdot \; x \;\; = \;\, {\color{Red} 4} \qquad\quad {\color{Red} {\rm Täck\;över\;}} x \)

  \( \, 2 \, \cdot \; \)
\( \quad \)
\( \; = \;\, 4 \)

  \( \, 2 \, \cdot \; {\color{Red} ?} \;\; = \;\; 4 \)

  \( \, 2 \, \cdot \; {\color{Red} 2} \;\; = \;\; 4 \)

  \( \quad\;\;\; \Downarrow \)

 
\( \; x \; = \; {\color{Red} 2} \)


2.   Allmän metod

Exempel:

\[\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18 & & \\ x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18 & & \\ 2\,x \, + \, 14 & = & 18 & \qquad | & {\color{Red} {- \, 14}} \\ 2\,x \, + \, 14 \, {\color{Red} {- \, 14}} & = & 18 \, {\color{Red} {- \, 14}} & & \\ 2 \cdot x \, & = & 4 & \qquad | & {\color{Red} {/ \; 2}} \\ \displaystyle \frac{2 \cdot x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} & & \\ x \, & = & 2 & & \end{array}\]

Skrivsättet \( \quad\;\;\, | \quad {\color{Red} {- \, 14}} \quad\;\;\, \) är en kommentar och betyder:

Subtrahera \( \, 14 \, \) från ekvationens båda led.

Kommentaren \( \;\; | \quad {\color{Red} {/ \; 2}} \;\; \) betyder:

Dividera ekvationens båda led med \( \, 2 \).


Den allmänna metoden steg för steg

Steg 1

  Förenkla uttrycken i ekvationens båda led

  så långt som möjligt. I exemplet ovan:

\[\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18 & & \\ x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18 & & \\ 2\,x \, + \, 14 & = & 18 & & \end{array}\]

Steg 2

  Utför samma operation på båda leden:

\[\begin{array}{rcl} 2\,x \, + \, 14 & = & 18 \\ 2\,x \, + \, 14 \, {\color{Red} {- \, 14}} & = & 18 \, {\color{Red} {- \, 14}} \\ 2\,x \, & = & 4 \end{array}\]

Vilken operation?

Den inversa operation som isolerar \( x\)-termen.

\( \;\;\; {\color{Red} {- \, 14}} \, \) är den inversa operationen till \( \, + \, 14 \)

Steg 3

  Utför samma operation på båda leden:

\[\begin{array}{rclcl} \quad\; 2 \cdot x \, & = & 4 & & \\ \displaystyle \frac{2 \cdot x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} & & \\ x & = & 2 & & \end{array}\]

Vilken operation?

Den inversa operation som isolerar \( \, x \, \).

\( \quad\;\; {\color{Red} {/ \; 2}} \, \) är den inversa operationen till \( \, \cdot \; 2 \)



Den allmänna metodens filosofi:

Betrakta ekvationen som en våg i balans.

HL och VL är vågens skålar. Likhetsteck-

net betyder att vågens skålar är i balans.

Bibehåll balansen genom att utföra:

\( \;\;\; \) Samma operation på båda leden !

Välj alltid den inversa operationen till den

operation som binder \( \, x \, \) till dess omgivning.


När saknar en ekvation lösning?


Exempel:

\(\begin{array}{rcl} 2\,x \, - \, 2\, (3 \, + \, x ) & = & 8 \\ 2\,x \, - \, 6 \, - \, 2\,x & = & 8 \\ - \, 6 & = & 8 \quad {\color{Red} {\rm{Motsägelse!}}} \\ & \Downarrow & \end{array}\)

\( \qquad\quad \) Ekvationen saknar lösning.



När är alla tal lösningar till en ekvation?


Exempel:

\(\begin{array}{rcl} \;\; x \, - \, (4 \, + \, x ) & = & -4 \\ x \, - \, 4 \, - \, x & = & -4 \\ - \, 4 & = & -4 \quad {\color{Red} {\rm{Alltid\;sant!}}} \\ & \Downarrow & \end{array}\)

\( \;\; \) Alla tal är lösningar till ekvationen. Eller:

\( \;\; \) Ekvationen har oändligt många lösningar.






Copyright © 2021 TechPages AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte1b.mathonline.se/index.php?title=3.3_Ekvationer_2_kolumner&oldid=37413"