Skillnad mellan versioner av "3.3 Ekvationer 2 kolumner"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m (Taifun flyttade sidan 3.3 Ekvationer till 3.3 Ekvationer 2 kolumner utan att lämna en omdirigering)
 
(30 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 2: Rad 2:
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 +
{{Not selected tab|[[3.2 Förenkling av uttryck| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
 
{{Selected tab|[[3.3 Ekvationer|Genomgång]]}}
 
{{Selected tab|[[3.3 Ekvationer|Genomgång]]}}
 
{{Not selected tab|[[3.3 Quiz till Ekvationer|Quiz]]}}
 
{{Not selected tab|[[3.3 Quiz till Ekvationer|Quiz]]}}
−
{{Not selected tab|[[3.3 Övningar till Ekvationer|Övningar Webb]]}}
+
{{Not selected tab|[[3.3 Övningar till Ekvationer|Övningar]]}}
−
{{Not selected tab|[[3.3 Lathund till Ekvationer|Lathund]]}}
+
<!-- {{Not selected tab|[[3.3 Ekvationer+|Genomgång+]]}} -->
 
{{Not selected tab|[[3.4 Ekvationer med x på båda sidor|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 
{{Not selected tab|[[3.4 Ekvationer med x på båda sidor|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
−
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
−
|}
 
−
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
−
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
 
−
{{Not selected tab|[[3.2 Förenkling av uttryck| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
 
−
{{Not selected tab|    }}
 
−
{{Not selected tab|[[3.3 Övningar till Ekvationer (Appversionen)|Övningar App]]}}
 
−
{{Not selected tab|    }}
 
−
{{Not selected tab|    }}
 
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
  
−
== <b><span style="color:#931136">Vad är en ekvation?</span></b> ==
+
<table>
 +
<tr>
 +
  <td><div class="border-divblue"><big><big><b><span style="color:#931136">Varför ekvationer?</span></b></big></big></div>
 +
<br>
 +
<div class="ovnE">
 +
<b>Exempel på en textuppgift:</b>
 +
<br>
 +
<div class="exempel">
 +
:Kalle köper en flaska dryck som kostar <math> \, 18 \, </math> kr <i>med</i> pant.
  
−
<math> \qquad </math>[[Image: Ekvation Obekant VL HL_350.jpg]]
+
:Drycken (innehållet) kostar <math> \, 14 \, </math> kr mer än panten (flaskan).
−
<br><br>
+
 
 +
:Hur mycket kostar flaskan?
 +
</div>
 +
 
 +
<b>Utan ekvation</b> svarar de flesta 4 kr, vilket är fel.
 +
 
 +
<b>Lösning med ekvation:</b> <math> \quad\;\;\; x \; = \; {\rm flaskans\;pris} </math>
 +
 
 +
::::<math> \qquad\qquad\;\; x \, + \, 14 \; = \; {\rm dryckens\;pris} </math>
 +
<div class="exempel">
 +
::::::<math>\begin{array}{rcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18            \\
 +
                                x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18            \\
 +
                                        2\,x \, + \, 14 & = & 18            \\
 +
                                        2\,x \,        & = & 4            \\
 +
                                          x \,        & = & {\color{Red} 2} 
 +
          \end{array}</math>
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
<b>Svar:</b> &nbsp;&nbsp;&nbsp; Flaskan kostar <math> \, {\color{Red} {2 \; {\rm kr\,}}}</math>.
 +
 
 +
 
 +
För mer info om hur man ställer upp en ekvation och om lösningsmetoder se:
 +
 
 +
 
 +
[[3.6_Användning_av_ekvationer#Metoden_att_st.C3.A4lla_upp_en_ekvation_utifr.C3.A5n_en_textuppgift|<b><span style="color:blue">Metoden att ställa upp en ekvation utifrån en textuppgift</span></b>]],
 +
 
 +
[[3.3_Ekvationer#1._.C2.A0_.C3.96vert.C3.A4ckningsmetoden|<b><span style="color:blue">Övertäckningsmetoden</span></b>]] <math> \quad </math> och <math> \quad </math> [[3.3_Ekvationer#2._.C2.A0_Allm.C3.A4n_metod|<b><span style="color:blue">Allmän metod</span></b>]].
 +
</div>
 +
</td>
 +
  <td><math> \;\; </math></td>
 +
  <td> <div class="border-divblue"><big><big><b><span style="color:#931136">Vad är en ekvation?</span></b></big></big></div>
 +
<br>
 +
<math> \qquad\quad </math>[[Image: Ekvation Obekant VL HL_350.jpg]]
 +
<br>
 
<div class="border-divblue">
 
<div class="border-divblue">
 
<big>
 
<big>
Rad 30: Rad 64:
 
har alltid formen VL = HL och innehåller
 
har alltid formen VL = HL och innehåller
  
−
endast EN variabel, kallad <b>obekant</b>.
+
minst en variabel, kallad <b>obekant</b>.
  
 
Ex.<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\quad 2\,x \; + \; 14 \; = \; 18 </math>
 
Ex.<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\quad 2\,x \; + \; 14 \; = \; 18 </math>
Rad 38: Rad 72:
  
  
−
:<big><big><b><span style="color:#931136">Kontroll:</span></b></big></big>
+
:<big><big><big><b><span style="color:#931136">Varför lösning?</span></b></big></big></big>
  
 
<div class="border-divblue">
 
<div class="border-divblue">
 
<big>
 
<big>
−
Sätt in lösningen i ekvationen.
+
<b><span style="color:#931136">Kontroll:</span></b> Sätt in lösningen i ekvationen.
  
 
VL <math> \, = \, 2 \, \cdot \, {\color{Red} 2} \, + \, 14 \, = \, 4 \, + \, 14 \, = \, 18 </math>
 
VL <math> \, = \, 2 \, \cdot \, {\color{Red} 2} \, + \, 14 \, = \, 4 \, + \, 14 \, = \, 18 </math>
Rad 48: Rad 82:
 
HL <math> \, = \, 18 </math>
 
HL <math> \, = \, 18 </math>
  
−
VL <math> = </math> HL <math> \, \Rightarrow \, x = {\color{Red} 2} </math> är en korrekt lösning.
+
<b>VL <math> = </math> HL</b> <math> \, \implies \, x = {\color{Red} 2} </math> är en <b><span style="color:red">lösning</span></b>.
−
</big>
+
  
 
<b><span style="color:#931136">Kontroll</span></b> kallas ibland även för <b><span style="color:#931136">prövning.</span></b>
 
<b><span style="color:#931136">Kontroll</span></b> kallas ibland även för <b><span style="color:#931136">prövning.</span></b>
 +
</big>
 
</div>
 
</div>
 +
</td>
 +
</tr>
 +
</table>
  
−
<br>
 
  
−
<big><big>Två lösningsmetoder:</big></big>
+
<big><big>Om kontrollen ovan säger man: Lösningen <b><span style="color:red">satisfierar</span></b> (uppfyller) ekvationen.</big></big>
  
  
−
== <b><span style="color:#931136">1. &nbsp; Övertäckningsmetoden</span></b> ==
+
<big><big>Men hur <b><span style="color:red">får</span></b> man lösningen? Det finns två lösningsmetoder:</big></big>
 +
 
 +
 
 +
= <b><span style="color:#931136">1. &nbsp; Övertäckningsmetoden</span></b> =
  
 
<div class="ovnC">
 
<div class="ovnC">
Rad 88: Rad 127:
  
  
−
== <b><span style="color:#931136">2. &nbsp; Allmän metod</span></b> ==
+
= <b><span style="color:#931136">2. &nbsp; Allmän metod</span></b> =
−
 
+
 
<div class="ovnE">
 
<div class="ovnE">
 
<big><b><span style="color:#931136">Exempel:</span></b></big>
 
<big><b><span style="color:#931136">Exempel:</span></b></big>
Rad 114: Rad 152:
  
  
−
== <b><span style="color:#931136">Allmänna metoden steg för steg</span></b> ==
+
== <b><span style="color:#931136">Den allmänna metoden steg för steg</span></b> ==
  
 
<div class="ovnE">
 
<div class="ovnE">
Rad 170: Rad 208:
 
<div class="border-divblue">
 
<div class="border-divblue">
 
<big>
 
<big>
−
<b><span style="color:#931136">Ekvationslösningens filosofi:</span></b>
+
<b><span style="color:#931136">Den allmänna metodens filosofi:</span></b>
  
 
Betrakta ekvationen som en <b><span style="color:red">våg i balans</span></b>.
 
Betrakta ekvationen som en <b><span style="color:red">våg i balans</span></b>.
  
−
Likhetstecknet <math> \; = \; </math> Vågens balans
+
HL och VL är vågens skålar. Likhetsteck-
  
−
HL och VL<math> \; = \; </math> Vågens skålar
+
net betyder att vågens skålar är i balans.
  
−
Bibehåll balansen genom att göra samma
+
Bibehåll balansen genom att utföra<span style="color:black">:</span>
−
 
+
−
sak på båda vågskålarna, dvs<span style="color:black">:</span>
+
  
 
<math> \;\;\; </math> <b><span style="color:red">Samma operation på båda leden !</span></b>
 
<math> \;\;\; </math> <b><span style="color:red">Samma operation på båda leden !</span></b>
 +
 +
Välj alltid den <b><span style="color:red">inversa</span></b> operationen till den
 +
 +
operation som binder <math> \, x \, </math> till dess omgivning.
 
</big></div>
 
</big></div>
  
Rad 238: Rad 278:
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2019 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2021 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 15 december 2021 kl. 13.28

        <<  Förra avsnitt          Genomgång          Quiz          Övningar          Nästa avsnitt  >>      


Varför ekvationer?


Exempel på en textuppgift:

Kalle köper en flaska dryck som kostar \( \, 18 \, \) kr med pant.
Drycken (innehållet) kostar \( \, 14 \, \) kr mer än panten (flaskan).
Hur mycket kostar flaskan?

Utan ekvation svarar de flesta 4 kr, vilket är fel.

Lösning med ekvation: \( \quad\;\;\; x \; = \; {\rm flaskans\;pris} \)

\[ \qquad\qquad\;\; x \, + \, 14 \; = \; {\rm dryckens\;pris} \]
\[\begin{array}{rcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18 \\ x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18 \\ 2\,x \, + \, 14 & = & 18 \\ 2\,x \, & = & 4 \\ x \, & = & {\color{Red} 2} \end{array}\]


Svar:     Flaskan kostar \( \, {\color{Red} {2 \; {\rm kr\,}}}\).


För mer info om hur man ställer upp en ekvation och om lösningsmetoder se:


Metoden att ställa upp en ekvation utifrån en textuppgift,

Övertäckningsmetoden \( \quad \) och \( \quad \) Allmän metod.

\( \;\; \)
Vad är en ekvation?


\( \qquad\quad \)Ekvation Obekant VL HL 350.jpg

En ekvation är en likhet mellan två uttryck,

har alltid formen VL = HL och innehåller

minst en variabel, kallad obekant.

Ex.: \( \qquad\quad 2\,x \; + \; 14 \; = \; 18 \)

Ekvationens lösning: \( \quad\; \)
\( x \; = \; {\color{Red} 2} \)


Varför lösning?

Kontroll: Sätt in lösningen i ekvationen.

VL \( \, = \, 2 \, \cdot \, {\color{Red} 2} \, + \, 14 \, = \, 4 \, + \, 14 \, = \, 18 \)

HL \( \, = \, 18 \)

VL \( = \) HL \( \, \implies \, x = {\color{Red} 2} \) är en lösning.

Kontroll kallas ibland även för prövning.


Om kontrollen ovan säger man: Lösningen satisfierar (uppfyller) ekvationen.


Men hur får man lösningen? Det finns två lösningsmetoder:


1.   Övertäckningsmetoden

Exemplet ovan:

  \( 2 \, x \;\; + \; 14 \; = \; 18 \quad {\color{Red} {\rm Täck\;över\;}} 2 \, x \)

\(\quad\)
\( \, + \;\, 14 \; = \; 18 \)

  \( \;\, {\color{Red} ?} \;\;\; + \; 14 \; = \; 18 \)

  \( \;\, {\color{Red} 4} \;\;\; + \; 14 \; = \; 18 \)

  \( \;\, \Downarrow \)

  \( \, 2 \, \cdot \; x \;\; = \;\, {\color{Red} 4} \qquad\quad {\color{Red} {\rm Täck\;över\;}} x \)

  \( \, 2 \, \cdot \; \)
\( \quad \)
\( \; = \;\, 4 \)

  \( \, 2 \, \cdot \; {\color{Red} ?} \;\; = \;\; 4 \)

  \( \, 2 \, \cdot \; {\color{Red} 2} \;\; = \;\; 4 \)

  \( \quad\;\;\; \Downarrow \)

 
\( \; x \; = \; {\color{Red} 2} \)


2.   Allmän metod

Exempel:

\[\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18 & & \\ x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18 & & \\ 2\,x \, + \, 14 & = & 18 & \qquad | & {\color{Red} {- \, 14}} \\ 2\,x \, + \, 14 \, {\color{Red} {- \, 14}} & = & 18 \, {\color{Red} {- \, 14}} & & \\ 2 \cdot x \, & = & 4 & \qquad | & {\color{Red} {/ \; 2}} \\ \displaystyle \frac{2 \cdot x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} & & \\ x \, & = & 2 & & \end{array}\]

Skrivsättet \( \quad\;\;\, | \quad {\color{Red} {- \, 14}} \quad\;\;\, \) är en kommentar och betyder:

Subtrahera \( \, 14 \, \) från ekvationens båda led.

Kommentaren \( \;\; | \quad {\color{Red} {/ \; 2}} \;\; \) betyder:

Dividera ekvationens båda led med \( \, 2 \).


Den allmänna metoden steg för steg

Steg 1

  Förenkla uttrycken i ekvationens båda led

  så långt som möjligt. I exemplet ovan:

\[\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18 & & \\ x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18 & & \\ 2\,x \, + \, 14 & = & 18 & & \end{array}\]

Steg 2

  Utför samma operation på båda leden:

\[\begin{array}{rcl} 2\,x \, + \, 14 & = & 18 \\ 2\,x \, + \, 14 \, {\color{Red} {- \, 14}} & = & 18 \, {\color{Red} {- \, 14}} \\ 2\,x \, & = & 4 \end{array}\]

Vilken operation?

Den inversa operation som isolerar \( x\)-termen.

\( \;\;\; {\color{Red} {- \, 14}} \, \) är den inversa operationen till \( \, + \, 14 \)

Steg 3

  Utför samma operation på båda leden:

\[\begin{array}{rclcl} \quad\; 2 \cdot x \, & = & 4 & & \\ \displaystyle \frac{2 \cdot x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} & & \\ x & = & 2 & & \end{array}\]

Vilken operation?

Den inversa operation som isolerar \( \, x \, \).

\( \quad\;\; {\color{Red} {/ \; 2}} \, \) är den inversa operationen till \( \, \cdot \; 2 \)



Den allmänna metodens filosofi:

Betrakta ekvationen som en våg i balans.

HL och VL är vågens skålar. Likhetsteck-

net betyder att vågens skålar är i balans.

Bibehåll balansen genom att utföra:

\( \;\;\; \) Samma operation på båda leden !

Välj alltid den inversa operationen till den

operation som binder \( \, x \, \) till dess omgivning.


När saknar en ekvation lösning?


Exempel:

\(\begin{array}{rcl} 2\,x \, - \, 2\, (3 \, + \, x ) & = & 8 \\ 2\,x \, - \, 6 \, - \, 2\,x & = & 8 \\ - \, 6 & = & 8 \quad {\color{Red} {\rm{Motsägelse!}}} \\ & \Downarrow & \end{array}\)

\( \qquad\quad \) Ekvationen saknar lösning.



När är alla tal lösningar till en ekvation?


Exempel:

\(\begin{array}{rcl} \;\; x \, - \, (4 \, + \, x ) & = & -4 \\ x \, - \, 4 \, - \, x & = & -4 \\ - \, 4 & = & -4 \quad {\color{Red} {\rm{Alltid\;sant!}}} \\ & \Downarrow & \end{array}\)

\( \;\; \) Alla tal är lösningar till ekvationen. Eller:

\( \;\; \) Ekvationen har oändligt många lösningar.






Copyright © 2021 TechPages AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte1b.mathonline.se/index.php?title=3.3_Ekvationer_2_kolumner&oldid=37413"