Skillnad mellan versioner av "5.7 Lösning till Cirkel-kvadrat problemet"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (14 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 15: | Rad 15: | ||
<div class="ovnA"><big> | <div class="ovnA"><big> | ||
| − | 1 | + | <b>Steg 1</b> Ta exemplet <math> \, r = 4 \, </math>. Beräkna <math> \, a = f(4) \, </math>. Beräkna båda figurernas areor. Vilken är större? |
<math> \quad\; \color{Red}{r = 4} \; </math> insatt i <math> \quad </math> <div class="smallBoxVariant"><math> \displaystyle a = f(r) \, = \, \frac{\pi}{2} \cdot \, r </math></div> <math> \quad </math> ger <math> \quad \displaystyle a = f(4) = \frac{\pi}{2} \cdot \, 4 = \frac{\pi\cdot 4}{2} = 2\,\pi \, \approx \, 6,28 \quad </math> | <math> \quad\; \color{Red}{r = 4} \; </math> insatt i <math> \quad </math> <div class="smallBoxVariant"><math> \displaystyle a = f(r) \, = \, \frac{\pi}{2} \cdot \, r </math></div> <math> \quad </math> ger <math> \quad \displaystyle a = f(4) = \frac{\pi}{2} \cdot \, 4 = \frac{\pi\cdot 4}{2} = 2\,\pi \, \approx \, 6,28 \quad </math> | ||
| Rad 27: | Rad 27: | ||
:Slutsats<span style="color:black">:</span> <math> \quad </math> <span style="color:red">Cirkelns area är större än kvadratens</span>. | :Slutsats<span style="color:black">:</span> <math> \quad </math> <span style="color:red">Cirkelns area är större än kvadratens</span>. | ||
| − | 2 | + | <b>Steg 2</b> Ta flera exempel, t.ex. <math> r = 2 </math>, <math> \; r = 6 \; </math> och <math> \; r = 8 </math>. Gör samma sak som i steg 1. |
<math> \quad\; \color{Red}{r = 2} \; </math> insatt i inramad formel i steg 1 ovan ger <math> \quad \displaystyle a = f(2) = \frac{\pi}{2} \cdot \, 2 = \frac{\pi\cdot 2}{2} = \pi \, \approx \, 3,14 \quad </math> | <math> \quad\; \color{Red}{r = 2} \; </math> insatt i inramad formel i steg 1 ovan ger <math> \quad \displaystyle a = f(2) = \frac{\pi}{2} \cdot \, 2 = \frac{\pi\cdot 2}{2} = \pi \, \approx \, 3,14 \quad </math> | ||
| Rad 39: | Rad 39: | ||
:Slutsats<span style="color:black">:</span> <math> \quad </math> <span style="color:red">Cirkelns area är större än kvadratens</span>. | :Slutsats<span style="color:black">:</span> <math> \quad </math> <span style="color:red">Cirkelns area är större än kvadratens</span>. | ||
| − | :Med exemplen <math> \; \color{Red}{r = 6} \; </math> och <math> \; \color{Red}{r = 8} \; </math> gör man på exakt samma sätt. | + | :Med exemplen <math> \; \color{Red}{r = 6} \; </math> och <math> \; \color{Red}{r = 8} \; </math> gör man på exakt samma sätt som med <math> \, \color{Red}{r = 4} \, </math> och <math> \, \color{Red}{r = 2} \; </math>ovan. |
| − | : | + | :Slutsatsen blir alltid<span style="color:black">:</span> <math> \quad </math> <span style="color:red">Cirkelns area är större än kvadratens</span>. <math> \quad </math> Frågan: Är det <i>alltid</i> så? <math> \; </math> Se <b>steg 3</b>. |
| + | </big></div> | ||
| − | |||
| − | Bilda förhållandet (kvoten) mellan | + | = <b><span style="color:#931136">Generell lösning</span></b> = |
| + | <div class="ovnA"><big> | ||
| + | <b>Steg 3</b> Lös uppgiften generellt med <math> \, r \, </math> och <math> \, a \, </math> som variabler. Ställ upp uttryck för areorna. | ||
| + | |||
| + | Bilda förhållandet (kvoten) mellan figurernas areor dvs <math> \, \displaystyle \frac{A_{cirkel}}{A_{kvadrat}} \, </math>. | ||
Räkna <i>exakt</i> dvs bibehålla <math> \, \pi \, </math> som bokstav och använd hela tiden bråk istället för decimaltal. | Räkna <i>exakt</i> dvs bibehålla <math> \, \pi \, </math> som bokstav och använd hela tiden bråk istället för decimaltal. | ||
| Rad 54: | Rad 58: | ||
Ange hur många procent den ena figuren är större än den andra. | Ange hur många procent den ena figuren är större än den andra. | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: Losning 40a.jpg]] </div> | <div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: Losning 40a.jpg]] </div> | ||
| − | </div> | + | </big></div> |
Nuvarande version från 27 mars 2020 kl. 16.31
| <<< Förra avsnitt | Genomgång | Övningar | Lösning |
Lösning i tre streg till dagens inlämningsuppgift
Steg 1 Ta exemplet \( \, r = 4 \, \). Beräkna \( \, a = f(4) \, \). Beräkna båda figurernas areor. Vilken är större?
\( \quad\; \color{Red}{r = 4} \; \) insatt i \( \quad \)- Med \( \, r = 4 \, \) och \( \, a = 6,28 \, \) beräknar vi figurernas areor:
\( \quad\; \displaystyle A_{cirkel} \, = \, \pi \cdot r^2 \, = \, \pi \cdot 4^2 \, = \, \pi \cdot 16 \, \approx \, 3,14 \cdot 16 \, = \, \underline{50,24} \)
\( \quad\; \displaystyle A_{kvadrat} \, = \, a^2 \, = \, 6,28^2 \, = \, \underline{39,44} \).
- Slutsats: \( \quad \) Cirkelns area är större än kvadratens.
Steg 2 Ta flera exempel, t.ex. \( r = 2 \), \( \; r = 6 \; \) och \( \; r = 8 \). Gör samma sak som i steg 1.
\( \quad\; \color{Red}{r = 2} \; \) insatt i inramad formel i steg 1 ovan ger \( \quad \displaystyle a = f(2) = \frac{\pi}{2} \cdot \, 2 = \frac{\pi\cdot 2}{2} = \pi \, \approx \, 3,14 \quad \)
- Med \( \, r = 2 \, \) och \( \, a = 3,14 \, \) beräknar vi figurernas areor:
\( \quad\; \displaystyle A_{cirkel} \, = \, \pi \cdot r^2 \, = \, \pi \cdot 2^2 \, = \, \pi \cdot 4 \, \approx \, 3,14 \cdot 4 \, = \, \underline{12,56} \)
\( \quad\; \displaystyle A_{kvadrat} \, = \, a^2 \, = \, 3,14^2 \, = \, \underline{9,86} \).
- Slutsats: \( \quad \) Cirkelns area är större än kvadratens.
- Med exemplen \( \; \color{Red}{r = 6} \; \) och \( \; \color{Red}{r = 8} \; \) gör man på exakt samma sätt som med \( \, \color{Red}{r = 4} \, \) och \( \, \color{Red}{r = 2} \; \)ovan.
- Slutsatsen blir alltid: \( \quad \) Cirkelns area är större än kvadratens. \( \quad \) Frågan: Är det alltid så? \( \; \) Se steg 3.
Generell lösning
Steg 3 Lös uppgiften generellt med \( \, r \, \) och \( \, a \, \) som variabler. Ställ upp uttryck för areorna.
Bilda förhållandet (kvoten) mellan figurernas areor dvs \( \, \displaystyle \frac{A_{cirkel}}{A_{kvadrat}} \, \).
Räkna exakt dvs bibehålla \( \, \pi \, \) som bokstav och använd hela tiden bråk istället för decimaltal.
Förenkla kvoten så långt som möjligt. Vilken figur har alltid större area?
Är resultatet beroende av figurernas storlek, dvs av \( \, r \, \) och \( \, a \, \)?
Ange hur många procent den ena figuren är större än den andra.
Copyright © 2020 TechPages AB. All Rights Reserved.
