Skillnad mellan versioner av "3.3 Ekvationer+"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (8 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 10: | Rad 10: | ||
|} | |} | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
<table> | <table> | ||
<tr> | <tr> | ||
| − | <td>< | + | <td><div class="border-divblue"><big><big><b><span style="color:#931136">Varför ekvationer?</span></b></big></big></div> |
<br> | <br> | ||
| − | <div class=" | + | <div class="ovnE"> |
| − | < | + | <b>Exempel på en textuppgift:</b> |
| − | + | <br> | |
| + | <div class="exempel"> | ||
| + | :Kalle köper en flaska dryck som kostar <math> \, 18 \, </math> kr <i>med</i> pant. | ||
| − | + | :Drycken (innehållet) kostar <math> \, 14 \, </math> kr mer än panten (flaskan). | |
| − | + | :Hur mycket kostar flaskan? | |
| + | </div> | ||
| − | <b> | + | <b>Utan ekvation</b> svarar de flesta 4 kr, vilket är fel. |
| − | <b> | + | <b>Lösning med ekvation:</b> <math> \quad\;\;\; x \; = \; {\rm flaskans\;pris} </math> |
| − | + | ||
| + | ::::<math> \qquad\qquad\;\; x \, + \, 14 \; = \; {\rm dryckens\;pris} </math> | ||
| + | <div class="exempel"> | ||
| + | ::::::<math>\begin{array}{rcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18 \\ | ||
| + | x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18 \\ | ||
| + | 2\,x \, + \, 14 & = & 18 \\ | ||
| + | 2\,x \, & = & 4 \\ | ||
| + | x \, & = & {\color{Red} 2} | ||
| + | \end{array}</math> | ||
| + | </div> | ||
| − | |||
| + | <b>Svar:</b> Flaskan kostar <math> \, {\color{Red} {2 \; {\rm kr\,}}}</math>. | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | För mer info om hur man ställer upp en ekvation och om lösningsmetoder se: | |
| − | |||
| − | + | [[3.6_Användning_av_ekvationer#Metoden_att_st.C3.A4lla_upp_en_ekvation_utifr.C3.A5n_en_textuppgift|<b><span style="color:blue">Metoden att ställa upp en ekvation utifrån en textuppgift</span></b>]], | |
| − | </ | + | |
| − | <b><span style="color: | + | [[3.3_Ekvationer#1._.C2.A0_.C3.96vert.C3.A4ckningsmetoden|<b><span style="color:blue">Övertäckningsmetoden</span></b>]] <math> \quad </math> och <math> \quad </math> [[3.3_Ekvationer#2._.C2.A0_Allm.C3.A4n_metod|<b><span style="color:blue">Allmän metod</span></b>]]. |
</div> | </div> | ||
</td> | </td> | ||
| − | <td><math> \ | + | <td><math> \;\; </math></td> |
| − | <td><div class=" | + | <td> <div class="border-divblue"><big><big><b><span style="color:#931136">Vad är en ekvation?</span></b></big></big></div> |
| + | <br> | ||
| + | <math> \qquad\quad </math>[[Image: Ekvation Obekant VL HL_350.jpg]] | ||
| + | <br> | ||
| + | <div class="border-divblue"> | ||
| + | <big> | ||
| + | En <b><span style="color:#931136">ekvation</span></b> är en likhet mellan två uttryck, | ||
| − | + | har alltid formen VL = HL och innehåller | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | minst en variabel, kallad <b>obekant</b>. | |
| − | : | + | Ex.<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\quad 2\,x \; + \; 14 \; = \; 18 </math> |
| − | </ | + | |
| − | + | Ekvationens <b><span style="color:red">lösning:</span></b> <math> \quad\; </math> <div class="smallBoxVariantt"> <math> x \; = \; {\color{Red} 2} </math></div> | |
| + | </big></div> | ||
| − | |||
| − | + | :<big><big><big><b><span style="color:#931136">Varför lösning?</span></b></big></big></big> | |
| − | < | + | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | </ | + | |
| + | <div class="border-divblue"> | ||
| + | <big> | ||
| + | <b><span style="color:#931136">Kontroll:</span></b> Sätt in lösningen i ekvationen. | ||
| − | + | VL <math> \, = \, 2 \, \cdot \, {\color{Red} 2} \, + \, 14 \, = \, 4 \, + \, 14 \, = \, 18 </math> | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| + | HL <math> \, = \, 18 </math> | ||
| − | + | <b>VL <math> = </math> HL</b> <math> \, \implies \, x = {\color{Red} 2} </math> är en <b><span style="color:red">lösning</span></b>. | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | <math> \ | + | |
| − | + | ||
| + | <b><span style="color:#931136">Kontroll</span></b> kallas ibland även för <b><span style="color:#931136">prövning.</span></b> | ||
| + | </big> | ||
</div> | </div> | ||
</td> | </td> | ||
| Rad 96: | Rad 91: | ||
| − | <big><big> | + | <big><big>Om kontrollen ovan säger man: Lösningen <b><span style="color:red">satisfierar</span></b> (uppfyller) ekvationen.</big></big> |
| + | |||
| + | |||
| + | <big><big>Men hur <b><span style="color:red">får</span></b> man lösningen? Det finns två lösningsmetoder:</big></big> | ||
| Rad 102: | Rad 100: | ||
| − | + | = <b><span style="color:#931136">1. Övertäckningsmetoden</span></b> = | |
<br> | <br> | ||
| Rad 133: | Rad 131: | ||
| − | + | = <b><span style="color:#931136">2. Allmän metod</span></b> = | |
<br> | <br> | ||
| Rad 274: | Rad 272: | ||
| − | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © | + | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2021 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved. |
Nuvarande version från 15 december 2021 kl. 13.25
| Genomgång | Quiz | Övningar | Genomgång+ | Nästa avsnitt >> |
Varför ekvationer?
Exempel på en textuppgift:
Utan ekvation svarar de flesta 4 kr, vilket är fel. Lösning med ekvation: \( \quad\;\;\; x \; = \; {\rm flaskans\;pris} \)
Övertäckningsmetoden \( \quad \) och \( \quad \) Allmän metod. |
\( \;\; \) | Vad är en ekvation?
En ekvation är en likhet mellan två uttryck, har alltid formen VL = HL och innehåller minst en variabel, kallad obekant. Ex.: \( \qquad\quad 2\,x \; + \; 14 \; = \; 18 \) Ekvationens lösning: \( \quad\; \) \( x \; = \; {\color{Red} 2} \)
Kontroll: Sätt in lösningen i ekvationen. VL \( \, = \, 2 \, \cdot \, {\color{Red} 2} \, + \, 14 \, = \, 4 \, + \, 14 \, = \, 18 \) HL \( \, = \, 18 \) VL \( = \) HL \( \, \implies \, x = {\color{Red} 2} \) är en lösning. Kontroll kallas ibland även för prövning. |
Om kontrollen ovan säger man: Lösningen satisfierar (uppfyller) ekvationen.
Men hur får man lösningen? Det finns två lösningsmetoder:
Två lösningsmetoder:
1. Övertäckningsmetoden
Exemplet ovan:
\( 2 \, x \;\; + \; 14 \; = \; 18 \quad {\color{Red} {\rm Täck\;över\;}} 2 \, x \)
\( \;\, {\color{Red} ?} \;\;\; + \; 14 \; = \; 18 \)
\( \;\, {\color{Red} 4} \;\;\; + \; 14 \; = \; 18 \)
\( \;\, \Downarrow \)
\( \, 2 \, \cdot \; x \;\; = \;\, {\color{Red} 4} \qquad\quad {\color{Red} {\rm Täck\;över\;}} x \)
\( \, 2 \, \cdot \; \)\( \, 2 \, \cdot \; {\color{Red} ?} \;\; = \;\; 4 \)
\( \, 2 \, \cdot \; {\color{Red} 2} \;\; = \;\; 4 \)
\( \quad\;\;\; \Downarrow \)
2. Allmän metod
Exempel:
- \[\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18 & & \\ x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18 & & \\ 2\,x \, + \, 14 & = & 18 & \qquad | & {\color{Red} {- \, 14}} \\ 2\,x \, + \, 14 \, {\color{Red} {- \, 14}} & = & 18 \, {\color{Red} {- \, 14}} & & \\ 2 \cdot x \, & = & 4 & \qquad | & {\color{Red} {/ \; 2}} \\ \displaystyle \frac{2 \cdot x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} & & \\ x \, & = & 2 & & \end{array}\]
Skrivsättet \( \quad\;\;\, | \quad {\color{Red} {- \, 14}} \quad\;\;\, \) är en kommentar och betyder:
- Subtrahera \( \, 14 \, \) från ekvationens båda led.
Kommentaren \( \;\; | \quad {\color{Red} {/ \; 2}} \;\; \) betyder:
- Dividera ekvationens båda led med \( \, 2 \).
- Ekvation som en våg i balans
Målet: \( \qquad\quad \) Att isolera \( \, {\color{Red} x} \, \) på ett led.
Steg 1:
Förenkla uttrycken i ekvationens båda led så långt som
möjligt. I exemplet ovan:
- \[\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18 & & \\ x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18 & & \\ 2\,x \, + \, 14 & = & 18 & & \end{array}\]
Steg 2:
Utför samma operation på ekvationens båda led:
- \[\begin{array}{rcl} 2\,x \, + \, 14 & = & 18 \qquad\quad | \;\; {\color{Red} {- \, 14}} \\ 2\,x \, + \, 14 \, {\color{Red} {- \, 14}} & = & 18 \, {\color{Red} {- \, 14}} \\ \end{array}\]
Förenkla de nyuppkomna uttrycken.
- \[\begin{array}{rclcl} \quad\; 2 \cdot x \, & = & 4 & \qquad | & {\color{Red} {/ \; 2}} \\ \displaystyle \frac{2 \cdot x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} & & \end{array}\]
Förenkla de nyuppkomna uttrycken:
- \[\begin{array}{rclcl} \quad\; x \, & = & 2 & & \end{array}\]
\( \qquad\quad \) Vilken operation?
Regel: Den inversa operationen med målet att isolera \( \, x \, \).
- \[ 2\,x \, + \, 14 \; = \; 18 \qquad\quad | \;\; {\color{Red} {- \, 14}} \]
Eftersom:
\( \, {\color{Red} {- \, 14}} \, \) är den inversa (motsatta) operationen till \( \, + \, 14 \, \).
- \[ \;\; 2 \cdot x \; = \; 4 \qquad\quad\;\;\, | \;\; {\color{Red} {/ \; 2}} \]
Eftersom:
\( \, {\color{Red} {/ \; 2}} \, \) är den inversa operationen till \( \, \cdot \; 2 \, \).
Begreppsförklaringar
bokstäver, jämförbart med lådor som har etiketter. Innehållet är variabelns värde (tal) och kan bytas ut. Obekant är en variabel som förekommer i en ekvation. Uttryck är en kombination av variabler, tal, räkneopera- |
God redovisningsstil vid ekvationslösning:
|
tioner och parenteser som till slut, när uttrycket beräknas, ger ett värde: uttryckets värde, se 3.1 Algebraiska uttryck.
Ekvation är en likhet mellan två uttryck med endast EN obekant (än så länge i Matte 1).
Formel är en likhet mellan två uttryck med minst två variabler, behandlas i 3.7 Formler.
Copyright © 2021 TechPages AB. All Rights Reserved.
