Skillnad mellan versioner av "1.5 Lösning 8b"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (13 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| − | + | <math> 3\%\,</math> årsränta innebär en förändringsfaktor på <math> 1,03\, </math> per år. | |
| − | <math> | + | Efter <math> \, 1 \,</math> år finns det <math> \, 5\,000 \cdot 1,03 \, </math> på kontot. |
| − | + | Efter <math> \, 2 \,</math> år finns det <math> \, (5\,000 \cdot 1,03) \cdot 1,03 \, = \, 5\,000 \cdot 1,03\,^2 \, </math> på kontot. | |
| + | ::::::::::<math> \cdots </math> | ||
| + | Efter <math> \, x \,</math> år finns det <math> \, 5\,000 \,\cdot\, \underbrace{1,03 \,\cdot\, 1,03 \;\cdots\; 1,03}_{{\color{Red} x}\;{\rm gånger}} \, = \, 5\,000 \cdot 1,03\,^{\color{Red} x} </math> på kontot, om <math> \, x \,</math> är antalet år efter insättningen. | ||
| − | <math> | + | Att startkapitalet fördubblas innebär att det efter <math> \, x \, </math> år finns <math> \, 10\,000 \, </math> kr på kontot, vilket ger följande ekvation: |
| − | + | ::<math>\begin{align} 5\,000 \cdot 1,03\,^x & = 10\,000 \\ | |
| + | 1,03\,^x & = 2 \\ | ||
| + | \end{align}</math> | ||
| − | Vi kan pröva oss fram med räknaren för att få fram en | + | Vi kan pröva oss fram med räknaren för att få fram en ungefärlig lösning, t.ex. så här: |
| − | <math> | + | ::<math> 1,03\,^5 = 1,16 \, </math> |
| − | <math> | + | ::<math> 1,03\,^{10} = 1,34 \, </math> |
| − | <math> | + | ::<math> 1,03\,^{20} = 1,81 \, </math> |
| + | |||
| + | ::<math> 1,03\,^{25} = 2,10 \, </math> | ||
| + | |||
| + | ::<math> 1,03\,^{24} = 2,03 \, </math> | ||
| + | |||
| + | ::<math> 1,03\,^{23} = 1,97 \, </math> | ||
| + | |||
| + | ::<math> 1,03\,^{23,5} = 2,00 \, </math> | ||
Vi kan nöja oss med det sista resultatet och svara: | Vi kan nöja oss med det sista resultatet och svara: | ||
| − | + | Startkapitalet kommer att fördubblas efter <math> \, 23 \,</math> år och <math> \, 6 \,</math> månader. | |
Nuvarande version från 16 februari 2016 kl. 17.38
\( 3\%\,\) årsränta innebär en förändringsfaktor på \( 1,03\, \) per år.
Efter \( \, 1 \,\) år finns det \( \, 5\,000 \cdot 1,03 \, \) på kontot.
Efter \( \, 2 \,\) år finns det \( \, (5\,000 \cdot 1,03) \cdot 1,03 \, = \, 5\,000 \cdot 1,03\,^2 \, \) på kontot.
- \[ \cdots \]
Efter \( \, x \,\) år finns det \( \, 5\,000 \,\cdot\, \underbrace{1,03 \,\cdot\, 1,03 \;\cdots\; 1,03}_{{\color{Red} x}\;{\rm gånger}} \, = \, 5\,000 \cdot 1,03\,^{\color{Red} x} \) på kontot, om \( \, x \,\) är antalet år efter insättningen.
Att startkapitalet fördubblas innebär att det efter \( \, x \, \) år finns \( \, 10\,000 \, \) kr på kontot, vilket ger följande ekvation:
- \[\begin{align} 5\,000 \cdot 1,03\,^x & = 10\,000 \\ 1,03\,^x & = 2 \\ \end{align}\]
Vi kan pröva oss fram med räknaren för att få fram en ungefärlig lösning, t.ex. så här:
- \[ 1,03\,^5 = 1,16 \, \]
- \[ 1,03\,^{10} = 1,34 \, \]
- \[ 1,03\,^{20} = 1,81 \, \]
- \[ 1,03\,^{25} = 2,10 \, \]
- \[ 1,03\,^{24} = 2,03 \, \]
- \[ 1,03\,^{23} = 1,97 \, \]
- \[ 1,03\,^{23,5} = 2,00 \, \]
Vi kan nöja oss med det sista resultatet och svara:
Startkapitalet kommer att fördubblas efter \( \, 23 \,\) år och \( \, 6 \,\) månader.
