Skillnad mellan versioner av "3.3 Ekvationer 2 kolumner"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
Rad 135: Rad 135:
 
                                       2\,x \, + \, 14 & = & 18                                        & \qquad | & {\color{Red} {- \, 14}} \\
 
                                       2\,x \, + \, 14 & = & 18                                        & \qquad | & {\color{Red} {- \, 14}} \\
 
           2\,x \, + \, 14 \, {\color{Red} {- \, 14}} & = & 18 \, {\color{Red} {- \, 14}}            &          &                        \\
 
           2\,x \, + \, 14 \, {\color{Red} {- \, 14}} & = & 18 \, {\color{Red} {- \, 14}}            &          &                        \\
−
                                      2\,x \,       & = & 4                                        & \qquad | & {\color{Red} {/ \; 2}}  \\
+
                                2 \cdot x \,         & = & 4                                        & \qquad | & {\color{Red} {/ \; 2}}  \\
 
     \displaystyle \frac{2 \cdot x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} & &  \\
 
     \displaystyle \frac{2 \cdot x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} & &  \\
 
                                         x \,        & = & 2                                        &          &
 
                                         x \,        & = & 2                                        &          &

Versionen från 10 december 2016 kl. 13.36

       Genomgång          Potensekvationer          Quiz          Övningar          Lathund      


Vad är en ekvation? \( \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\; \) Varför ekvationer?

\( \qquad \)Ekvation Obekant VL HL 350.jpg


En ekvation är en likhet mellan två uttryck

som innehåller endast EN variabel, kallad

obekant, se exemplet ovan.

En ekvation har alltid formen VL = HL .

Ekvationens lösning: \( \quad\; \)
\( x \; = \; {\color{Red} 2} \)

Kontroll:     Sätt in lösningen i ekvationen.

  VL \( \, = \, 2 \, \cdot \, {\color{Red} 2} \, + \, 14 \, = \, 4 \, + \, 14 \, = \, 18 \)

  HL \( \, = \, 18 \)

  VL \( \; = \; \) HL \( \qquad \Longrightarrow \qquad \) OK

  Dvs lösningen \( \, x = {\color{Red} 2} \, \) är korrekt.

Kontroll kallas ibland även för prövning.

\( \qquad\qquad \)

Uppgift:

Kalle köper en flaska dryck som kostar \( \, 18 \, \) kr med pant.
Drycken (innehållet) kostar \( \, 14 \, \) kr mer än panten (flaskan).
Hur mycket kostar flaskan?
Försök först att lösa uppgiften utan ekvation, sedan med ekvation.


Lösning med ekvation: \( \quad\;\; x \; = \; {\rm flaskans\;pris} \)

\[\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18 & & \\ x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18 & & \\ 2\,x \, + \, 14 & = & 18 & \qquad & \\ 2\,x \, & = & 4 & \qquad & \\ x \, & = & {\color{Red} 2} & & \end{array}\]


Svar:     Flaskan kostar \( \, {\color{Red} {2 \; {\rm kr\,}}}\). \( \;\; \) Utan ekvation svarar de flesta fel (4 kr).


Läs hur man ställer upp ekvationen. \( \;\; \) För en mer utförlig lösning, se:


\( \qquad\; \)övertäckningsmetoden \( \quad \) och \( \quad \) den allmänna metoden.



Obekanta är variabler som förekommer i ekvationer. Ofta används bokstaven \( \, x \, \) för obekanta. Men det är inget måste.

Variabler är platshållare för tal som betecknas med bokstäver. Jämförbart med lådor som förses med etiketter. Innehållet är tal: Variabelns värde.

Uttryck är en kombination av variabler, tal, räkneoperationer och parenteser som till slut, när uttrycket beräknas, ger ett värde: Uttryckets värde, se 3.1 Uttryck.

Formel är en likhet mellan två uttryck med minst två variabler, behandlas i 3.5 Formler.


Ekvationslösning: Övertäckningsmetoden


Exemplet ovan:

  \( 2 \, x \;\; + \; 14 \; = \; 18 \quad {\color{Red} {\rm Täck\;över\;}} 2 \, x \)

\(\quad\)
\( \, + \;\, 14 \; = \; 18 \)

  \( \;\, {\color{Red} 4} \;\;\; + \; 14 \; = \; 18 \)

  \( \;\, \Downarrow \)

  \( \, 2 \, \cdot \; x \;\; = \;\, {\color{Red} 4} \qquad\quad {\color{Red} {\rm Täck\;över\;}} x \)

  \( \, 2 \, \cdot \; \)
\( \quad \)
\( \; = \;\, 4 \)

  \( \, 2 \, \cdot \; {\color{Red} 2} \;\; = \;\; 4 \)

  \( \quad\;\;\; \Downarrow \)

 
\( \; x \; = \; {\color{Red} 2} \)


Ekvationslösning: Allmän metod


Exemplet ovan:

\[\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18 & & \\ x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18 & & \\ 2\,x \, + \, 14 & = & 18 & \qquad | & {\color{Red} {- \, 14}} \\ 2\,x \, + \, 14 \, {\color{Red} {- \, 14}} & = & 18 \, {\color{Red} {- \, 14}} & & \\ 2 \cdot x \, & = & 4 & \qquad | & {\color{Red} {/ \; 2}} \\ \displaystyle \frac{2 \cdot x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} & & \\ x \, & = & 2 & & \end{array}\]

Skrivsättet \( \quad | \quad {\color{Red} {- \, 14}} \quad\!\) är en kortform för:

Subtrahera \( \, 14 \, \) från ekvationens båda led.

Skrivsättet \( \quad | \quad {\color{Red} {/ \; 2}} \quad\;\; \) är en kortform för:

Dividera ekvationens båda led med \( \, 2 \).


Allmänna metodens förklaring:


Målet: \( \qquad\quad \) Att isolera \( \, {\color{Red} x} \, \) på ett led.


Allmänna metoden:


Steg 1:

  Förenkla uttrycken i ekvationens båda led så långt som

  möjligt: Se de två första raderna i exemplet ovan.


Steg 2:

  Utför samma operation på ekvationens båda led med må-

  let att isolera \( \, x \): Se raderna 3 och 5 i exemplet.

  OBS!  Förenkla under resans gång de nyuppkomna ut-

 trycken i ekvationens båda led så långt som möjligt.


Regel:    Vilken operation?    Den som isolerar \( \, x \, \).

  Rad 3 i exemplet ovan:

\[ 2\,x \, + \, 14 \; = \; 18 \qquad\quad | \;\; {\color{Red} {- \, 14}} \]

 \( \, {\color{Red} {- \, 14}} \, \) är den inversa (motsatta) operationen till \( \, + \, 14 \, \).

  Rad 5 i exemplet ovan:

\[ \;\; 2 \cdot x \; = \; 4 \]

  Eller: \( \qquad\quad\; x \cdot 2 \; = \; 4 \qquad\quad\;\;\, | \;\; {\color{Red} {/ \; 2}} \)

  \( \, {\color{Red} {/ \; 2}} \, \) är den inversa operationen till \( \, \cdot \; 2 \, \).



God redovisningsstil:
  •    Skriv likhetstecknen exakt under varandra (samma kolumn).
  •    Kommentera, där det behövs, det du gör antingen genom att
   använda skrivsättet i exemplet ovan eller på ditt eget sätt, så
   att det blir förståeligt vad du gör.
  •    Skriv kommentarerna skilda från ekvationens lösningsgång.


Ekvationer med obekanten \( \, x \, \) i båda leden




Potensekvationer






Copyright © 2010-2016 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte1b.mathonline.se/index.php?title=3.3_Ekvationer_2_kolumner&oldid=30983"