Skillnad mellan versioner av "1.7 Potenser"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 249: | Rad 249: | ||
Potenser med negativa exponenter är en naturlig fortsättning på potenser med positiva exponenter. | Potenser med negativa exponenter är en naturlig fortsättning på potenser med positiva exponenter. | ||
| − | <b><span style="color:red">Nollte potensen</span></b> bildar övergången mellan positiva och negativa exponenter: | + | <b><span style="color:red">Nollte potensen</span></b> bildar övergången mellan positiva och negativa exponenter, precis som <math> \, 0 \, </math> är övergången mellan positiva och negativa tal: |
</big> | </big> | ||
| Rad 315: | Rad 315: | ||
Som man ser är även multiplikation med negativa tal en naturlig fortsättning på multiplikation med positiva tal. | Som man ser är även multiplikation med negativa tal en naturlig fortsättning på multiplikation med positiva tal. | ||
| − | Multiplikation med <math> {\color{Red} 0} </math>, kallad <b><span style="color:red">nollprodukten</span></b>, bildar övergången mellan dem< | + | Multiplikation med <math> {\color{Red} 0} </math>, kallad <b><span style="color:red">nollprodukten</span></b>, bildar övergången mellan dem, precis som <math> \, 0 \, </math> är övergången mellan positiva och negativa tal. |
| + | |||
| + | Att <math> \, {\color{Red} 0} \, </math> tar över rollen av <math> \, {\color{Red} 1} </math> beror på att <math> \, {\color{Red} 0} \, </math> är additionens enhet medan <math> \, {\color{Red} 1} </math> är multiplikationens enhet. | ||
</big> | </big> | ||
Versionen från 15 maj 2017 kl. 10.35
| Genomgång | Grundpotensform | Quiz | Övningar | Lathund |
| << Förra avsnitt | Nästa avsnitt >> |
Hur räknar du?
\[ {\rm {\color{Red} {OBS!\quad Vanligt\,fel:}}} \quad\; 2\,^3 \; = \; 6 \]
\[ \qquad\quad\;\, {\rm Rätt:} \qquad\qquad\! 2\,^3 \; = \; 2 \cdot 2 \cdot 2 \; = \; 4 \cdot 2 \; = \; 8 \]
Vad är en potens?
 |
Potens med positiv exponent: \( \quad\;\;\; 2\,^{\color{Red} 3} \; = \;\; \underbrace{2 \, \cdot \, 2 \, \cdot \, 2}_{{\color{Red} 3}\;\times} \; = \; 8\) Potens = upprepad multiplikation av \( \, 2 \, \) med sig själv, \( \, {\color{Red} 3} \, \) gånger. |
\( \, 2\,^3 \, \) läses \( \, {\color{Red} 2} \) upphöjt till\( \, {\color{Red} 3} \, \) och kallas för potens. Ingredienserna är \( \, 2\, \) som heter basen och \( \, 3 \, \) som heter exponenten.
Exponenten \( \, {\color{Red} 3} \, \) är inget tal som ingår i beräkningen, utan endast en information om att:
\( \, 2 \, \) ska multipliceras \( \, {\color{Red} 3} \, \) gånger med sig själv, en förkortning för upprepad multiplikation (jfr. upprepad addition).
Exempel
Förenkla: \( \qquad \displaystyle{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \)
Lösning: \( \qquad \displaystyle{{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \, = \, {2 \cdot 2 \cdot 2 \quad \cdot \quad 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \over 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \, = \, {2 \cdot 2 \cdot 2 \quad \cdot \quad 2 \cdot \cancel{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \over \cancel{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}} \, = \, 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \, = \, 4 \cdot 4 \, = \, 16} \)
- OBS! Förenkla alltid först, räkna sedan!
Snabbare: \( \qquad\!\! \displaystyle{{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \, = \, 2\,^{3\,+\,5\,-\,4} \, = \, 2\,^4 \, = \, 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \, = \, 4 \cdot 4 \, = \, 16} \)
För att förstå den snabbare lösningen se Potenslagarna.
Generellt:
Potenser med positiva exponenter
Potensen \( \, a\,^{\color{Red} x} \, \) med positiv exponent (\( x \, \) heltal \( > 0 \, \) och \( \, a \, \neq 0 \)) kan definieras som:
- Upprepad multiplikation av \( \, a \, \) med sig själv, \( \, {\color{Red} x} \, \) gånger:
- \( \quad a\,^{\color{Red} x} = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{{\color{Red} x}\;{\rm gånger}} \)
Potenslagarna
Första potenslagen: \( \qquad\qquad\quad\;\, a^x \cdot a^y \; = \; a\,^{x \, + \, y} \qquad\qquad \)
Andra potenslagen: \( \qquad\qquad\qquad\;\;\; \displaystyle {a^x \over a^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} \qquad\qquad \)
Tredje potenslagen: \( \qquad\qquad\qquad \displaystyle {(a^x)^y} \; = \; a\,^{x \, \cdot \, y} \qquad\qquad \)
Lagen om nollte potens: \( \qquad\qquad\quad\;\;\, a\,^0 \; = \; 1 \qquad\qquad \)
Lagen om negativ exponent: \( \qquad\quad\;\;\; a\,^{-x} \; = \; \displaystyle {1 \over a\,^x} \qquad\qquad \)
Potens av en produkt: \( \qquad\qquad\;\, (a \cdot b)\,^x \; = \; a\,^x \cdot b\,^x \qquad\qquad \)
Potens av en kvot: \( \qquad\qquad\qquad\, \left(\displaystyle {a \over b}\right)^x \; = \; \displaystyle {a\,^x \over b\,^x} \qquad\qquad \)
Dessa lagar gäller för potenser där baserna \( \, a,\,b \, \) är tal \( \, \neq 0 \, \) och exponenterna \( \, x,\,y \, \) är godtyckliga tal.
Exempel på första potenslagen
Förenkla: \( \quad\;\; a\,^2 \, \cdot \, a\,^3 \)
Lösning:
- \( a\,^2 \cdot a\,^3 \; = \; \underbrace{a \cdot a}_{2\;\times} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot a}_{3\;\times} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}_{{\color{Red} 5}\;\times} \; = \; a\,^{\color{Red} 5}\)
Snabbare:
- \( a\,^2 \cdot a\,^3 \; = \; a\,^{2\,+\,3} = \; a\,^{\color{Red} 5} \)
Den snabbare lösningen ovan är ett exempel på den första potenslagen. Nedan följer ett exempel på den andra potenslagen.
Exempel på andra potenslagen
- \( \displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; {a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \; \over \; a \cdot a \cdot a} \; = \; {a \cdot a \cdot \cancel{a \cdot a \cdot a} \; \over \; \cancel{a \cdot a \cdot a}} \; = \; a \cdot a \; = \; a\,^2 \)
Snabbare:
- \( \displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; a\,^{{\color{Red} {5\,-\,3}}} \; = \; a\,^2 \)
Potensbegreppet definierades inledningsvis endast för positiva exponenter. Men den definitionen duger varken för negativa exponenter eller för exponenten \( \, 0 \, \):
Antalet multiplikationer av basen med sig själv kan inte vara negativt eller \( \, 0 \, \). Det behövs nya definitioner resp. slutsatser.
Potenser med negativa exponenter
Potens med negativ exponent: \( \qquad \displaystyle 2\,^{\color{Red} {-3}} \; = \;\; \frac{1}{2\,^{\color{Red} {3}}} \; = \; \frac{1}{8} \quad \) Invertera potensen med positiv exponent. Att "invertera" t.ex. \( \, 10 \, \) ger \( \, \displaystyle {1 \over 10} \; \).
|
Andra exempel:
|
Generellt:
Påstående:
Lagen om negativ exponent \( \quad a\,^{-x} \; = \; \displaystyle {1 \over a\,^x} \)
Bevis:
- \( \displaystyle{1 \over a^x} \; = \; \displaystyle{a^0 \over a^x} \; = \; a^{0-x} \; = \; a^{-x} \)
In den första likheten har vi använt lagen om nollte potens baklänges: \( \; 1 = a^0 \; \).
In den andra likheten har vi använt andra potenslagen: \( \; \displaystyle {a^x \over a^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} \; \).
Efter dessa steg får vi påståendet, fast baklänges.
Potenser med exponenten \( \, 0 \, \)
Exempel:
\( \quad \displaystyle 2\,^{\color{Red} 0} \;\; = \;\; 1 \quad \)
Generellt:
Påstående:
Lagen om nollte potens \( \quad a^0 \; = \; 1 \; \)
Bevis:
Påståendet kan bevisas genom att använda andra potenslagen:
- \( \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; a^{x-x} \; = \; a^0 \)
Å andra sidan vet vi att ett bråk med samma täljare som nämnare har värdet \( \, 1 \):
- \( \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; 1 \)
Av raderna ovan följer påståendet:
- \( a^0 \; = \; 1 \)
I båda föregående påståenden ska alltid gälla: \( \quad x \, \) heltal \( > 0 \, \) och \( \, a \, \neq 0 \quad \).
Exemplet nedan ska illustrera lagen ovan genom att visa följande:
Potenser med negativa exponenter är en naturlig fortsättning på potenser med positiva exponenter.
Nollte potensen bildar övergången mellan positiva och negativa exponenter, precis som \( \, 0 \, \) är övergången mellan positiva och negativa tal:
Varför är \( \; 5\,^0 \, = \, 1 \; \)?
- \[ \;\; 5^4 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \]
- \[ \;\; 5^3 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \]
- \[ \;\; 5^2 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \]
- \[ \;\; 5^1 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \]
- \[ \; \boxed{{\color{Red} {5^0 \; = \; 1}}} \]
- \[ \;\; 5^{-1} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5} \]
- \[ \;\; 5^{-2} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5} \]
- \[ \;\; 5^{-3} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5} \]
- \[ \;\; 5^{-4} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 } \]
Att \( \; {\color{Red} 1} \)-orna följer med hela tiden beror på att multiplikationens enhet är \( \, {\color{Red} 1} \), dvs \( \, a \cdot {\color{Red} 1} \, = \, a \).
Därför blir endast \( \, {\color{Red} 1} \, \) kvar, när vi kommer till \( \, {\color{Red} {5^0}} \, \) då alla \( \, 5\)-or har försvunnit.
Jämför exemplet ovan med följande:
Varför är \( \; 5 \cdot 0 \, = \, 0 \; \)?
- \[ \;\; 5 \cdot 4 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 + 5 + 5 \]
- \[ \;\; 5 \cdot 3 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 + 5 \]
- \[ \;\; 5 \cdot 2 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 \]
- \[ \;\; 5 \cdot 1 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 \]
- \[ \; \boxed{{\color{Red} {5 \cdot 0 \; = \; 0}}} \]
- \[ \;\; 5 \cdot (-1) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 \]
- \[ \;\; 5 \cdot (-2) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 \]
- \[ \;\; 5 \cdot (-3) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 - 5 \]
- \[ \;\; 5 \cdot (-4) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 - 5 - 5 \]
Att \( \; {\color{Red} 0} \)-orna följer med hela tiden beror på att additionens enhet är \( \, {\color{Red} 0} \), dvs \( \, a + {\color{Red} 0} \, = \, a \).
Därför blir endast \( \, {\color{Red} 0} \, \) kvar, när vi kommer till \( \, {\color{Red} {5 \cdot 0}} \, \) då alla \( \, 5\)-or har försvunnit.
Som man ser är även multiplikation med negativa tal en naturlig fortsättning på multiplikation med positiva tal.
Multiplikation med \( {\color{Red} 0} \), kallad nollprodukten, bildar övergången mellan dem, precis som \( \, 0 \, \) är övergången mellan positiva och negativa tal.
Att \( \, {\color{Red} 0} \, \) tar över rollen av \( \, {\color{Red} 1} \) beror på att \( \, {\color{Red} 0} \, \) är additionens enhet medan \( \, {\color{Red} 1} \) är multiplikationens enhet.
Internetlänkar
https://www.youtube.com/watch?v=BMEOkzq3Xo4
http://www.youtube.com/watch?v=iYgG4LUqXks
http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_4sv.html
http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_3sv.html
Copyright © 2010-2017 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
