|
|
| Rad 1: |
Rad 1: |
| − | == Varför är division med 0 inte definierad? ==
| |
| − |
| |
| − | Både i rationella tal och rationella uttryck får nämnaren inte bli <math> 0\, </math> eftersom division med <math> 0\, </math> inte är definierad.
| |
| − |
| |
| − | <strong><span style="color:red">Division med 0</span></strong> är den viktigaste "förbjudna" operationen i matematiken. Men vad beror det på att det är "förbjudet"? När vi besvarar denna fråga kommer vi också att inse att det snarare är en omöjlighet än ett förbud.
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | === Praktisk förklaring ===
| |
| − |
| |
| − | Ta fram din miniräknare och mata in:
| |
| − |
| |
| − | :::::<math> 1 \over 0 </math>
| |
| − |
| |
| − | Du kommer att få <strong><span style="color:red">ERROR</span></strong>. Räknaren kan inte genomföra denna operation. Varför?
| |
| − |
| |
| − | Fortsätt dina experiment med räknaren genom att dela <math> 1\, </math> inte direkt med <math> 0\, </math> utan med små tal. Och låt dessa små tal bli mindre och mindre:
| |
| − |
| |
| − | ::::::::{| class="wikitable"
| |
| − | |-
| |
| − | ! <math> x\, </math> || <big><big><math> {1 \over x} </math></big></big>
| |
| − | |-
| |
| − | | align=left| <math> 0,1\, </math> ||align=left| <math> 10\, </math>
| |
| − | |-
| |
| − | | align=left| <math> 0,01\, </math> ||align=left| <math> 100\, </math>
| |
| − | |-
| |
| − | | align=left| <math> 0,001\, </math> ||align=left| <math> 1000\, </math>
| |
| − | |-
| |
| − | | align=left| <math> 0,000\,1 </math> ||align=left| <math> 10\,000 </math>
| |
| − | |-
| |
| − | | align=left| <math> 0,000\,01 </math> ||align=left| <math> 100\,000 </math>
| |
| − | |-
| |
| − | | align=left| <math> 0,000\,001 </math> ||align=left| <math> 1\,000\,000 </math>
| |
| − | |-
| |
| − | | align=left| <math> 0,000\,000\,1 </math> ||align=left| <math> 10\,000\,000 </math>
| |
| − | |-
| |
| − | | align=left| <math> 0,000\,000\,01 </math> ||align=left| <math> 100\,000\,000 </math>
| |
| − | |-
| |
| − | | align=center| <math> \cdots </math> ||align=center| <math> \cdots </math>
| |
| − | |-
| |
| − | | align=center| <math> \rightarrow 0 </math> ||align=center| <math> \rightarrow \infty </math>
| |
| − | |}
| |
| − |
| |
| − | Experimentet visar: Ju mindre <math> x\, </math> blir desto större blir <big><big><math> {1 \over x} </math></big></big>. I gränsfallet <math> x = 0\, </math> blir <big><big><math> {1 \over x} </math></big></big> oändligt stort.
| |
| − |
| |
| − | <math> \infty </math> är symbolen för oändligheten. Men det är <strong><span style="color:red">fel</span></strong> att skriva:
| |
| − |
| |
| − | :<math> {\rm {\color{Red} {OBS!\;Fel:}}} \quad\; {1 \over 0} = \infty </math>
| |
| − |
| |
| − | Detta är ingen korrekt matematisk notation. Ett tal kan inte vara lika med <math> \infty </math> därför att <math> \infty </math> inte är något tal utan endast en symbol. Korrekt ser det ut så här:
| |
| − |
| |
| − | :<math> {\rm {\color{Red} {Rätt:}}} \qquad\quad\, {1 \over x} \to \infty \quad {\rm när} \quad x \to 0 </math>
| |
| − |
| |
| − | Och läses så här <big><big><math> {1 \over x} </math></big></big> går mot <math> \infty </math> när <math> x\, </math> går mot <math> 0\, </math>.
| |
| − |
| |
| − | <b>Slutsats:</b> <big><big><math> {\color{White} x} {1 \over 0} </math></big></big> är inget tal och därför inte definierat.
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | === Teoretisk förklaring ===
| |
| − |
| |
| | Vad betyder <math> 12 / 4 </math> ? | | Vad betyder <math> 12 / 4 </math> ? |
| | | | |
Uppenbarligen är detta tal \( {\color{White} x} {\color{Red} {x = 3} {\color{White} x} } \) därför att \( {\color{Red} 3} \cdot 4 = 12 \).
Men det finns inget sådant tal \( {\color{Red} x} \) därför att \( {\color{White} x} {\color{Red} x} \cdot 0 = 0 {\color{White} x} \neq 12 \).
