|
|
| Rad 47: |
Rad 47: |
| | <b><span style="color:#931136">Potens av en kvot:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\qquad \left(\displaystyle {a \over b}\right)^x \; = \; \displaystyle {a\,^x \over b\,^x} \qquad\qquad </math></big> | | <b><span style="color:#931136">Potens av en kvot:</span></b> <big><math> \qquad\qquad\qquad \left(\displaystyle {a \over b}\right)^x \; = \; \displaystyle {a\,^x \over b\,^x} \qquad\qquad </math></big> |
| | </div> <!-- border-divblue --> | | </div> <!-- border-divblue --> |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="tolv"> <!-- tolv3a -->
| |
| − | För enkelhets skull definierades potensbegreppet inledningsvis endast för positiva heltalsexponenter <math> \, x \, </math> och <math> \, y </math>. Men potenslagarna gäller även för exponenter som är negativa eller bråktal. I formuleringen "negativ exponent" antas <math> \, x > 0 </math>.
| |
| − | </div> <!-- tolv3a -->
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="exempel"> <!-- exempel3 -->
| |
| − | == <b><span style="color:#931136">Exempel 3</span></b> ==
| |
| − | <big>
| |
| − |
| |
| − | ::::<big><math> \displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; {a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \; \over \; a \cdot a \cdot a} \; = \; {a \cdot a \cdot \cancel{a \cdot a \cdot a} \; \over \; \cancel{a \cdot a \cdot a}} \; = \; a \cdot a \; = \; a\,^2 </math></big>
| |
| − |
| |
| − | Snabbare med andra potenslagen:
| |
| − |
| |
| − | ::::<big><math> \displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; a\,^{{\color{Red} {5\,-\,3}}} \; = \; a\,^2 </math></big>
| |
| − | </big>
| |
| − | </div> <!-- exempel3 -->
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="tolv"> <!-- tolv2 -->
| |
| − | '''Påstående (Lagen om nollte potens)''':
| |
| − |
| |
| − | ::::<big><math> a^0 \; = \; 1 </math></big>
| |
| − |
| |
| − | '''Bevis''':
| |
| − |
| |
| − | Påståendet kan bevisas genom att använda andra potenslagen:
| |
| − |
| |
| − | ::::<big><math> \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; a^{x-x} \; = \; a^0 </math></big>
| |
| − |
| |
| − | Å andra sidan vet vi att ett bråk med samma täljare som nämnare har värdet <math> \, 1 </math>:
| |
| − |
| |
| − | ::::<big><math> \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; 1 </math></big>
| |
| − |
| |
| − | Av raderna ovan följer påståendet:
| |
| − |
| |
| − | ::::<big><math> a^0 \; = \; 1 </math></big>
| |
| − | </div> <!-- tolv4 -->
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="exempel"> <!-- exempel4 -->
| |
| − | == <b><span style="color:#931136">Exempel på potenser med negativa exponenter</span></b> ==
| |
| − | <big>
| |
| − |
| |
| − | ::::<math> \displaystyle{10\,^{-1} \, = \, {1 \over 10\,^1} \, = \, {1 \over 10} \, = \, 0,1} </math>
| |
| − |
| |
| − | ::::<math> \displaystyle{10\,^{-2} \, = \, {1 \over 10\,^2} \, = \, {1 \over 10 \cdot 10} \, = \, {1 \over 100} \, = \, 0,01} </math>
| |
| − |
| |
| − | ::::<math> \displaystyle{10\,^{-3} \, = \, {1 \over 10\,^3} \, = \, {1 \over 10 \cdot 10 \cdot 10} \, = \, {1 \over 1000} \, = \, 0,001} </math>
| |
| − | </big>
| |
| − | </div> <!-- exempel4 -->
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="tolv"> <!-- tolv4a -->
| |
| − |
| |
| − | '''Påstående (Lagen om negativ exponent, <math> \, x > 0 </math>)''':
| |
| − |
| |
| − | ::::<big><math> a^{-x} = \displaystyle{1 \over a^x} </math></big>
| |
| − |
| |
| − | '''Bevis''':
| |
| − |
| |
| − | Påståendet kan bevisas genom att använda lagen om nollte potensen (baklänges) samt andra potenslagen:
| |
| − |
| |
| − | ::::<big><math> \displaystyle{1 \over a^x} \; = \; \displaystyle{a^0 \over a^x} \; = \; a^{0-x} \; = \; a^{-x} </math></big>
| |
| − |
| |
| − | Vi får påståendet, fast baklänges.
| |
| − | </div> <!-- tolv4a -->
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="tolv"> <!-- tolv5 -->
| |
| − | Att potenser med negativa exponenter är en naturlig fortsättning på potenser med positiva exponenter med nollte potensen däremellan illustrerar följande exempel:
| |
| − | </div> <!-- tolv5 -->
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="exempel"> <!-- exempel4 -->
| |
| − | == <b><span style="color:#931136">Varför är <math> \; 5\,^0 \, = \, 1 \; </math>?</span></b> ==
| |
| − | <big>
| |
| − |
| |
| − | ::::<math> \;\; 5^4 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 </math>
| |
| − |
| |
| − | ::::<math> \;\; 5^3 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 </math>
| |
| − |
| |
| − | ::::<math> \;\; 5^2 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 </math>
| |
| − |
| |
| − | ::::<math> \;\; 5^1 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 </math>
| |
| − |
| |
| − | ::::<math> \;\; {\color{Red} {5^0 \; = \; 1}} </math>
| |
| − |
| |
| − | ::::<math> \;\; 5^{-1} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5} </math>
| |
| − |
| |
| − | ::::<math> \;\; 5^{-2} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5} </math>
| |
| − |
| |
| − | ::::<math> \;\; 5^{-3} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5} </math>
| |
| − |
| |
| − | ::::<math> \;\; 5^{-4} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 } </math>
| |
| − |
| |
| − | Att <math> \; {\color{Red} 1} </math>-orna följer med hela tiden beror på att multiplikationens ''enhet'' är <math> \, {\color{Red} 1} </math>, dvs <math> \, a \cdot {\color{Red} 1} \, = \, a </math>. Därför blir endast <math> \, {\color{Red} 1} \, </math> kvar, när vi kommer till <math> \, {\color{Red} {5^0}} \, </math> då alla <math> \, 5</math>-or har försvunnit.
| |
| − | </big>
| |
| − | </div> <!-- exempel4 -->
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="tolv"> <!-- tolv5 -->
| |
| − | Jämför med:
| |
| − | </div> <!-- tolv5 -->
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="exempel"> <!-- exempel5 -->
| |
| − | == <b><span style="color:#931136">Varför är <math> \; 5 \cdot 0 \, = \, 0 \; </math>?</span></b> ==
| |
| − | <big>
| |
| − |
| |
| − | ::::<math> \;\; 5 \cdot 4 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 + 5 + 5 </math>
| |
| − |
| |
| − | ::::<math> \;\; 5 \cdot 3 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 + 5 </math>
| |
| − |
| |
| − | ::::<math> \;\; 5 \cdot 2 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 </math>
| |
| − |
| |
| − | ::::<math> \;\; 5 \cdot 1 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 </math>
| |
| − |
| |
| − | ::::<math> \;\; {\color{Red} {5 \cdot 0 \; = \; 0}} </math>
| |
| − |
| |
| − | ::::<math> \;\; 5 \cdot (-1) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 </math>
| |
| − |
| |
| − | ::::<math> \;\; 5 \cdot (-2) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 </math>
| |
| − |
| |
| − | ::::<math> \;\; 5 \cdot (-3) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 - 5 </math>
| |
| − |
| |
| − | ::::<math> \;\; 5 \cdot (-4) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 - 5 - 5 </math>
| |
| − |
| |
| − | Att <math> \; {\color{Red} 0} </math>-orna följer med hela tiden beror på att additionens ''enhet'' är <math> \, {\color{Red} 0} </math>, dvs <math> \, a + {\color{Red} 0} \, = \, a </math>. Därför blir endast <math> \, {\color{Red} 0} \, </math> kvar, när vi kommer till <math> \, {\color{Red} {5 \cdot 0}} \, </math> då alla <math> \, 5</math>-or har försvunnit.
| |
| − | </big>
| |
| − | </div> <!-- exempel5 -->
| |
| | | | |
| | | | |
Första potenslagen: \( \qquad\qquad\quad\;\, a^x \cdot a^y \; = \; a\,^{x \, + \, y} \qquad\qquad \)
Andra potenslagen: \( \qquad\qquad\qquad\quad \displaystyle {a^x \over a^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} \qquad\qquad \)
Tredje potenslagen: \( \qquad\qquad\qquad \displaystyle {(a^x)^y} \; = \; a\,^{x \, \cdot \, y} \qquad\qquad \)
Lagen om nollte potens: \( \qquad\qquad\qquad\! a\,^0 \; = \; 1 \qquad\qquad \)
Lagen om negativ exponent: \( \qquad\qquad a\,^{-x} \; = \; \displaystyle {1 \over a\,^x} \qquad\qquad \)
Potens av en produkt: \( \qquad\qquad\;\;\, (a \cdot b)\,^x \; = \; a\,^x \cdot b\,^x \qquad\qquad \)
Potens av en kvot: \( \qquad\qquad\qquad \left(\displaystyle {a \over b}\right)^x \; = \; \displaystyle {a\,^x \over b\,^x} \qquad\qquad \)
