Skillnad mellan versioner av "3.3 Ekvationer 2 kolumner"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 36: | Rad 36: | ||
x \, & = & 2 & & | x \, & = & 2 & & | ||
\end{array}</math> | \end{array}</math> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
</div> | </div> | ||
Versionen från 2 maj 2016 kl. 23.38
| Genomgång | Quiz | Övningar | Lathund |
Varför ekvationer?
Ex.:
- Kalle köper en flaska dryck som kostar \( \, 18 \, \) kr med pant.
- Drycken (innehållet) kostar \( \, 14 \, \) kr mer än panten (flaskan).
- Hur mycket kommer Kalle att få för panten när han lämnar tillbaka flaskan?
Lösning med ekvation: \( \quad\;\; x \; = \; {\rm flaskans\;pris} \)
- \[ \;\; x \, + \, 14 \; = \; {\rm dryckens\;pris} \]
- \[\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18 & & \\ x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18 & & \\ 2\,x \, + \, 14 & = & 18 & \qquad | & {\color{Red} {- \, 14}} \\ 2\,x \, + \, 14 \, {\color{Red} {- \, 14}} & = & 18 \, {\color{Red} {- \, 14}} & & \\ 2\,x \, & = & 4 & \qquad | & {\color{Red} {/ \; 2}} \\ \displaystyle \frac{2\,x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} & & \\ x \, & = & 2 & & \end{array}\]
Skrivsättet \( \quad | \quad {\color{Red} {- \, 14}} \quad\!\) betyder att \( \, 14 \, \) ska subtraheras från ekvationens båda led.
Skrivsättet \( \quad | \quad {\color{Red} {/ \; 2}} \quad\;\; \) betyder att ekvationens båda led ska divideras med \( \, 2 \, \).
Svar: Kalle kommer att få \( \, 2 \; {\rm kr} \, \) för panten när han lämnar tillbaka flaskan.
Felet beror på att man blandar ihop två olika räkneoperationer: multiplikationen med upphöjt till.
Hjärnan associerar \( \, 2 \, \) och \( \, 3 \, \) blind till multiplikationstabellen och ger \( \, 6 \) vilket är fel.
I själva verket betyder \( \, 2\,^{\color{Red} 3} \, \) inte \( \, 2 \cdot 3 \, \) utan \( \, \underbrace{2 \cdot 2 \cdot 2}_{{\color{Red} 3}\;\times} \, \) som sedan förkortas till \( \, 2\,^{\color{Red} 3} \).
Exempel på potens:
Potens = upprepad multiplikation av \( \, 2 \, \) med sig själv, \( \, {\color{Red} 3} \, \) gånger. |
 |
\( \, 2\,^3 \, \) läses \( \, {\color{Red} 2} \) upphöjt till\( \, {\color{Red} 3} \, \) och kallas för potens. \( \, 2\, \) heter basen och \( \, 3 \, \) exponenten.
Exponenten \( \, {\color{Red} 3} \, \) är inget tal i vanlig bemärkelse utan endast en information om att \( \, 2 \, \) ska multipliceras \( \, {\color{Red} 3} \, \) gånger med sig själv (jfr. upprepad addition).
Exempel 1
Förenkla: \( \qquad \displaystyle{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \)
Lösning: \( \qquad \displaystyle{{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \, = \, {2 \cdot 2 \cdot 2 \quad \cdot \quad 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \over 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \, = \, {2 \cdot 2 \cdot 2 \quad \cdot \quad 2 \cdot \cancel{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \over \cancel{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}} \, = \, 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \, = \, 4 \cdot 4 \, = \, 16} \)
- OBS! Förenkla alltid först, räkna sedan!
Snabbare: \( \qquad\!\! \displaystyle{{2\,^3 \cdot \; 2\,^5 \over 2\,^4} \, = \, 2\,^{3\,+\,5\,-\,4} \, = \, 2\,^4 \, = \, 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \, = \, 4 \cdot 4 \, = \, 16} \)
För att förstå den snabbare lösningen se potenslagarna.
Potens med positiva heltalsexponenter
Potensen \( \, a\,^{\color{Red} x} \, \) kan, om exponenten \( \, {\color{Red} x} \, \) är ett positivt heltal och basen \( \, a \, \) ett tal \( \neq 0 \), definieras som
- Upprepad multiplikation av \( \, a \, \) med sig själv, \( \, {\color{Red} x} \, \) gånger:
- \( a\,^{\color{Red} x} = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{{\color{Red} x}\;{\rm gånger}} \)
Exempel 2
Förenkla: \( \quad\;\; a\,^2 \, \cdot \, a\,^3 \)
Lösning:
- \( a\,^2 \cdot a\,^3 \; = \; \underbrace{a \cdot a}_{2\;\times} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot a}_{3\;\times} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}_{{\color{Red} 5}\;\times} \; = \; a\,^{\color{Red} 5}\)
Snabbare:
- \( a\,^2 \cdot a\,^3 \; = \; a\,^{2\,+\,3} = \; a\,^{\color{Red} 5} \)
Den snabbare lösningen är ett exempel på den första potenslagen:
Potenslagarna
Följande lagar gäller för potenser där basen \( a\, \) är ett tal \( \neq 0 \), exponenterna \( \, x \, \) och \( \, y \, \) godtyckliga tal och \( m,\,n \) heltal (\( n\neq 0 \)):
Första potenslagen: \( \qquad\qquad\quad\;\, a^x \cdot a^y \; = \; a\,^{x \, + \, y} \qquad\qquad \)
Andra potenslagen: \( \qquad\qquad\qquad\;\;\; \displaystyle {a^x \over a^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} \qquad\qquad \)
Tredje potenslagen: \( \qquad\qquad\qquad \displaystyle {(a^x)^y} \; = \; a\,^{x \, \cdot \, y} \qquad\qquad \)
Lagen om nollte potens: \( \qquad\qquad\quad\;\;\, a\,^0 \; = \; 1 \qquad\qquad \)
Lagen om negativ exponent: \( \qquad\quad\;\;\; a\,^{-x} \; = \; \displaystyle {1 \over a\,^x} \qquad\qquad \)
Potens av en produkt: \( \qquad\qquad\;\, (a \cdot b)\,^x \; = \; a\,^x \cdot b\,^x \qquad\qquad \)
Potens av en kvot: \( \qquad\qquad\qquad\, \left(\displaystyle {a \over b}\right)^x \; = \; \displaystyle {a\,^x \over b\,^x} \qquad\qquad \)
För enkelhets skull definierades potensbegreppet inledningsvis endast för positiva heltalsexponenter \( \, x \, \) och \( \, y \). Men potenslagarna gäller även för exponenter som är negativa eller bråktal. I formuleringen "negativ exponent" antas \( \, x > 0 \).
Exempel 3
- \( \displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; {a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \; \over \; a \cdot a \cdot a} \; = \; {a \cdot a \cdot \cancel{a \cdot a \cdot a} \; \over \; \cancel{a \cdot a \cdot a}} \; = \; a \cdot a \; = \; a\,^2 \)
Snabbare med andra potenslagen:
- \( \displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; a\,^{{\color{Red} {5\,-\,3}}} \; = \; a\,^2 \)
Påstående (Lagen om nollte potens):
- \( a^0 \; = \; 1 \)
Bevis:
Påståendet kan bevisas genom att använda andra potenslagen:
- \( \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; a^{x-x} \; = \; a^0 \)
Å andra sidan vet vi att ett bråk med samma täljare som nämnare har värdet \( \, 1 \):
- \( \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; 1 \)
Av raderna ovan följer påståendet:
- \( a^0 \; = \; 1 \)
Exempel på potenser med negativa exponenter
- \[ \displaystyle{10\,^{-1} \, = \, {1 \over 10\,^1} \, = \, {1 \over 10} \, = \, 0,1} \]
- \[ \displaystyle{10\,^{-2} \, = \, {1 \over 10\,^2} \, = \, {1 \over 10 \cdot 10} \, = \, {1 \over 100} \, = \, 0,01} \]
- \[ \displaystyle{10\,^{-3} \, = \, {1 \over 10\,^3} \, = \, {1 \over 10 \cdot 10 \cdot 10} \, = \, {1 \over 1000} \, = \, 0,001} \]
Påstående (Lagen om negativ exponent, \( \, x > 0 \)):
- \( a^{-x} = \displaystyle{1 \over a^x} \)
Bevis:
Påståendet kan bevisas genom att använda lagen om nollte potensen (baklänges) samt andra potenslagen:
- \( \displaystyle{1 \over a^x} \; = \; \displaystyle{a^0 \over a^x} \; = \; a^{0-x} \; = \; a^{-x} \)
Vi får påståendet, fast baklänges.
Att potenser med negativa exponenter är en naturlig fortsättning på potenser med positiva exponenter med nollte potensen däremellan illustrerar följande exempel:
Varför är \( \; 5\,^0 \, = \, 1 \; \)?
- \[ \;\; 5^4 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \]
- \[ \;\; 5^3 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \]
- \[ \;\; 5^2 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \]
- \[ \;\; 5^1 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \]
- \[ \;\; {\color{Red} {5^0 \; = \; 1}} \]
- \[ \;\; 5^{-1} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5} \]
- \[ \;\; 5^{-2} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5} \]
- \[ \;\; 5^{-3} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5} \]
- \[ \;\; 5^{-4} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 } \]
Att \( \; {\color{Red} 1} \)-orna följer med hela tiden beror på att multiplikationens enhet är \( \, {\color{Red} 1} \), dvs \( \, a \cdot {\color{Red} 1} \, = \, a \). Därför blir endast \( \, {\color{Red} 1} \, \) kvar, när vi kommer till \( \, {\color{Red} {5^0}} \, \) då alla \( \, 5\)-or har försvunnit.
Jämför med:
Varför är \( \; 5 \cdot 0 \, = \, 0 \; \)?
- \[ \;\; 5 \cdot 4 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 + 5 + 5 \]
- \[ \;\; 5 \cdot 3 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 + 5 \]
- \[ \;\; 5 \cdot 2 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 \]
- \[ \;\; 5 \cdot 1 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 \]
- \[ \;\; {\color{Red} {5 \cdot 0 \; = \; 0}} \]
- \[ \;\; 5 \cdot (-1) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 \]
- \[ \;\; 5 \cdot (-2) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 \]
- \[ \;\; 5 \cdot (-3) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 - 5 \]
- \[ \;\; 5 \cdot (-4) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 - 5 - 5 \]
Att \( \; {\color{Red} 0} \)-orna följer med hela tiden beror på att additionens enhet är \( \, {\color{Red} 0} \), dvs \( \, a + {\color{Red} 0} \, = \, a \). Därför blir endast \( \, {\color{Red} 0} \, \) kvar, när vi kommer till \( \, {\color{Red} {5 \cdot 0}} \, \) då alla \( \, 5\)-or har försvunnit.
Internetlänkar
https://www.youtube.com/watch?v=BMEOkzq3Xo4
http://www.youtube.com/watch?v=iYgG4LUqXks
http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_4sv.html
http://www.webbmatte.se/gym/arabiska/2/2_8_3sv.html
Copyright © 2010-2016 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
