Skillnad mellan versioner av "3.3 Ekvationer 2 kolumner"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
Rad 20: Rad 20:
  
  
−
== <b><span style="color:#931136">Vad är en ekvation? <math> \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\; </math> Varför ekvationer? </span></b> ==
+
== <b><span style="color:#931136">Vad är en ekvation?</span></b> ==
  
−
<table>
+
<math> \qquad </math>[[Image: Ekvation Obekant VL HL_350.jpg]]
−
<tr>
+
<br><br>
−
  <td><math> \qquad </math>[[Image: Ekvation Obekant VL HL_350.jpg]]
+
−
<br>
+
 
<div class="border-divblue">
 
<div class="border-divblue">
 
<big>
 
<big>
 
En <b><span style="color:#931136">ekvation</span></b> är en likhet mellan två uttryck,
 
En <b><span style="color:#931136">ekvation</span></b> är en likhet mellan två uttryck,
  
−
har alltid formen VL = HL och innehåller i
+
har alltid formen VL = HL och innehåller
  
−
regel en variabel, kallad <b>obekant</b>, t.ex. <math> \, x \; </math>:
+
endast EN variabel, kallad <b>obekant</b>.
  
−
<b><span style="color:black">Ekvationen:</span></b> <math> \quad\;\; 2\,x \; + \; 14 \; = \; 18 </math>
+
Ex.<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\quad 2\,x \; + \; 14 \; = \; 18 </math>
  
−
<b><span style="color:red">Lösningen:</span></b> <math> \qquad\qquad\;\; </math> <div class="smallBoxVariantt"> <math> x \; = \; {\color{Red} 2} </math></div>
+
Ekvationens <b><span style="color:red">lösning:</span></b> <math> \quad\; </math> <div class="smallBoxVariantt"> <math> x \; = \; {\color{Red} 2} </math></div>
 
</big></div>
 
</big></div>
  
  
−
:<big><big>Varför <b><span style="color:red">lösning</span></b> &nbsp;?</big></big>
+
:<big><big>Varför?</big></big>
  
  
Rad 56: Rad 54:
 
<b><span style="color:#931136">Kontroll</span></b> kallas ibland även för <b><span style="color:#931136">prövning.</span></b>
 
<b><span style="color:#931136">Kontroll</span></b> kallas ibland även för <b><span style="color:#931136">prövning.</span></b>
 
</div>
 
</div>
−
</td>
 
−
  <td><math> \qquad\qquad </math></td>
 
−
  <td><div class="ovnE">
 
−
 
−
<b>Exempel på en textuppgift:</b>
 
−
<br><br>
 
−
<div class="exempel">
 
−
:Kalle köper en flaska dryck som kostar <math> \, 18 \, </math> kr <i>med</i> pant.
 
−
 
−
:Drycken (innehållet) kostar <math> \, 14 \, </math> kr mer än panten (flaskan).
 
−
 
−
:Hur mycket kostar flaskan?
 
−
</div>
 
−
 
−
Försök att lösa uppgiften <b>utan ekvation</b>.
 
−
 
−
<b>Lösning med ekvation:</b> <math> \quad\;\;\; x \; = \; {\rm flaskans\;pris} </math>
 
−
 
−
::::::<math> \quad\;\; x \, + \, 14 \; = \; {\rm dryckens\;pris} </math>
 
−
<div class="exempel">
 
−
::::::<math>\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18              &        &  \\
 
−
                                  x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18              &        &  \\
 
−
                                          2\,x \, + \, 14 & = & 18              & \qquad &  \\
 
−
                                          2\,x \,        & = & 4              & \qquad &  \\
 
−
                                            x \,        & = & {\color{Red} 2} &        &
 
−
            \end{array}</math>
 
−
</div>
 
−
 
−
 
−
<b>Svar:</b> &nbsp;&nbsp;&nbsp; Flaskan kostar <math> \, {\color{Red} {2 \; {\rm kr\,}}}</math>. <math> \;\; </math> Utan ekvation svarar de flesta fel (4 kr).
 
−
 
−
 
−
För mer info om lösningsmetoder och om [[3.7_Användning_av_ekvationer#Att_st.C3.A4lla_upp_en_ekvation|<b><span style="color:blue">hur man ställer upp ekvationen</span></b>]], se<span style="color:black">:</span>
 
−
 
−
 
−
<math> \qquad\; </math>[[3.4_Ekvationer#Ekvationsl.C3.B6sning:_.C3.96vert.C3.A4ckningsmetoden|<b><span style="color:blue">Övertäckningsmetoden</span></b>]] <math> \quad </math> och <math> \quad </math> [[3.4_Ekvationer#Ekvationsl.C3.B6sning:_Allm.C3.A4n_metod|<b><span style="color:blue">Allmän metod</span></b>]].
 
−
 
−
 
−
</div>
 
−
</td>
 
−
</tr>
 
−
</table>
 
−
 
−
 
−
<big><big>Man säger: Lösningen <b><span style="color:red">satisfierar</span></b> (uppfyller) ekvationen.</big></big>
 
  
 +
<br>
  
 
<big><big>Två lösningsmetoder:</big></big>
 
<big><big>Två lösningsmetoder:</big></big>
Rad 142: Rad 96:
  
 
<div class="ovnE">
 
<div class="ovnE">
−
<big><b><span style="color:#931136">Exempel:</span></b></big>
+
<b>Steg 1</b>  
 +
<div class="exempel">
  
−
<div class="exempel">
+
&nbsp; Förenkla uttrycken i ekvationens båda led
−
::<math>\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18                                       &         &                         \\
+
 
−
                               x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18                                       &         &                         \\
+
&nbsp; så långt som möjligt. I exemplet ovan<span style="color:black">:</span>
−
                                       2\,x \, + \, 14 & = & 18                                       & \qquad | & {\color{Red} {- \, 14}} \\
+
 
−
          2\,x \, + \, 14 \, {\color{Red} {- \, 14}} & = & 18 \, {\color{Red} {- \, 14}}            &          &                        \\
+
::<math>\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18 & & \\
−
                                2 \cdot x \,        & = & 4                                        & \qquad | & {\color{Red} {/ \; 2}} \\
+
                               x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18 & & \\
−
    \displaystyle \frac{2 \cdot x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} & &  \\
+
                                       2\,x \, + \, 14 & = & 18 &  &   
−
                                        x \,        & = & 2                                        &          &
+
 
         \end{array}</math>
 
         \end{array}</math>
 
</div>
 
</div>
  
−
Skrivsättet <math> \quad\;\;\, | \quad {\color{Red} {- \, 14}} \quad\;\;\, </math> är en kommentar och betyder<span style="color:black">:</span>
+
<b>Steg 2</b>  
 +
<div class="exempel">
  
−
::Subtrahera <math> \, 14 \, </math> från ekvationens båda led.
+
&nbsp; Utför <b><span style="color:red">samma operation</span></b> på båda leden<span style="color:black">:</span>
  
−
Kommentaren <math> \;\; | \quad {\color{Red} {/ \; 2}} \;\; </math> betyder<span style="color:black">:</span>
+
::<math>\begin{array}{rcl}          2\,x \, + \, 14 & = & 18                            \\
 +
        2\,x \, + \, 14 \, {\color{Red} {- \, 14}} & = & 18 \, {\color{Red} {- \, 14}} \\
 +
                                            2\,x \, & = & 4
 +
        \end{array}</math>
  
−
::Dividera ekvationens båda led med <math> \, 2 </math>.
+
<b><span style="color:red">Vilken operation?</span></b>
 +
 
 +
<b>Den inversa operation som isolerar <math> x</math>-termen. </b>
 +
 
 +
<math> \;\;\; {\color{Red} {- \, 14}} \, </math> är den <b><span style="color:red">inversa operationen</span></b> till <math> \, + \, 14 </math>
 
</div>
 
</div>
  
 +
<b>Steg 3</b>
 +
<div class="exempel">
  
−
:::::<big><big><b>Ekvation som en våg i balans</b></big></big>
+
&nbsp; Utför <b><span style="color:red">samma operation</span></b> på båda leden<span style="color:black">:</span>  
  
 +
::::<math>\begin{array}{rclcl} \quad\;  2 \cdot x \, & = & 4                                        &  & \\
 +
    \displaystyle \frac{2 \cdot x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} &  & \\
 +
                                                    x & = & 2                                        &  &
 +
          \end{array}</math>
  
−
<div class="ovnE">
+
<b><span style="color:red">Vilken operation?</span></b>
−
<big><b><span style="color:#931136">Målet:</span></b> <math> \qquad\quad </math> Att <b><span style="color:red">isolera</span></b> <math> \, {\color{Red} x} \, </math> på ett led.</big>
+
  
 +
<b>Den inversa operation som isolerar <math> \, x \, </math>. </b>
  
−
<b>Steg 1:</b>  
+
<math> \quad\;\; {\color{Red} {/ \; 2}} \, </math> är den <b><span style="color:red">inversa operationen</span></b> till <math> \, \cdot \; 2 </math>
−
<div class="exempel">
+
</div>
  
−
&nbsp; Förenkla uttrycken i ekvationens båda led så långt som
 
  
−
&nbsp; möjligt. I exemplet ovan<span style="color:black">:</span>
 
−
 
−
::::<math>\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18  &  &  \\
 
−
                                x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18  &  &  \\
 
−
                                        2\,x \, + \, 14 & = & 18  &  & 
 
−
        \end{array}</math>
 
 
</div>
 
</div>
  
  
−
<b>Steg 2:</b>  
+
<div class="border-divblue">
−
<div class="exempel">
+
<big>
 +
<b><span style="color:#931136">Ekvationslösningens filosofi:</span></b>
  
−
&nbsp; Utför <b><span style="color:red">samma operation</span></b> på ekvationens båda led<span style="color:black">:</span>
+
Betrakta ekvationen som en <b><span style="color:red">våg i balans</span></b>.
  
−
::<math>\begin{array}{rcl}          2\,x \, + \, 14 & = & 18 \qquad\quad | \;\; {\color{Red} {- \, 14}}  \\
+
Likhetstecknet <math> \; = \; </math> Vågens balans
−
          2\,x \, + \, 14 \, {\color{Red} {- \, 14}} & = & 18 \, {\color{Red} {- \, 14}}                  \\
+
−
        \end{array}</math>
+
  
−
&nbsp; Förenkla de nyuppkomna uttrycken.
+
HL och VL<math> \; = \; </math> Vågens skålar
  
−
::::<math>\begin{array}{rclcl} \quad\;  2 \cdot x \, & = & 4                                        & \qquad | & {\color{Red} {/ \; 2}}  \\
+
Bibehåll balansen genom att göra samma
−
    \displaystyle \frac{2 \cdot x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} &          & 
+
−
          \end{array}</math>
+
  
−
&nbsp; Förenkla de nyuppkomna uttrycken<span style="color:black">:</span>
+
sak på båda vågskålarna, dvs<span style="color:black">:</span>
  
−
::::<math>\begin{array}{rclcl} \quad\;   x \,        & = & 2                                        &          &
+
<math> \;\;\; </math> <b><span style="color:red">Samma operation på båda leden !</span></b>
−
          \end{array}</math>
+
</big></div>
−
</div>
+
  
−
<math> \qquad\quad </math> <b><span style="color:red">Vilken operation?</span></b>
 
  
−
<b>Regel: &nbsp; Den inversa operationen med målet att isolera <math> \, x \, </math>. </b>
+
== <b><span style="color:#931136">När saknar en ekvation lösning?</span></b> ==
−
<div class="exempel">
+
  
−
::::<math> 2\,x \, + \, 14 \; = \; 18 \qquad\quad | \;\; {\color{Red} {- \, 14}} </math>
+
<br>
  
−
&nbsp; Eftersom<span style="color:black">:</span>
+
<div class="ovnC">
 +
<big><b><span style="color:#931136">Exempel:</span></b></big>
  
−
&nbsp;<math> \, {\color{Red} {- \, 14}} \, </math> är den <b><span style="color:red">inversa (motsatta) operationen</span></b> till <math> \, + \, 14 \, </math>.
+
<div class="exempel">
 +
<math>\begin{array}{rcl} 2\,x \, - \, 2\, (3 \, + \, x ) & = & 8                                        \\
 +
                            2\,x \, - \, 6 \, - \, 2\,x & = & 8                                        \\
 +
                                                  - \, 6 & = & 8 \quad {\color{Red} {\rm{Motsägelse!}}} \\
 +
                                                        & \Downarrow &
 +
      \end{array}</math>
  
−
:::::<math> \;\; 2 \cdot x \; = \; 4 \qquad\quad\;\;\, | \;\; {\color{Red} {/ \; 2}} </math>
+
<math> \qquad\quad </math> Ekvationen saknar lösning.
  
−
&nbsp; Eftersom<span style="color:black">:</span>
+
</div>
−
 
+
−
&nbsp; <math> \, {\color{Red} {/ \; 2}} \, </math> är den <b><span style="color:red">inversa operationen</span></b> till <math> \, \cdot \; 2 \, </math>.</div>
+
  
  
 
</div>
 
</div>
  
−
<big>
 
  
 +
== <b><span style="color:#931136">När är alla tal lösningar till en ekvation?</span></b> ==
  
−
<div class="border-divblue">
 
−
<table>
 
−
<tr>
 
−
  <td>
 
−
==== <b><span style="color:#931136">Begreppsförklaringar</span></b> ====
 
 
<br>
 
<br>
−
<b><span style="color:red">Variabler</span></b> är platshållare för tal och betecknas med
 
  
−
bokstäver, jämförbart med lådor som har etiketter.
+
<div class="ovnA">
 +
<big><b><span style="color:#931136">Exempel:</span></b></big>
  
−
Innehållet är <b><span style="color:red">variabelns värde</span></b> (tal) och kan bytas ut.
+
<div class="exempel">
−
----
+
<math>\begin{array}{rcl} \;\; x \, - \, (4 \, + \, x ) & = & -4                                          \\
−
<b><span style="color:red">Obekant</span></b> är en variabel som förekommer i en ekvation.
+
                                x \, - \, 4 \, - \, x & = & -4                                          \\
−
----
+
                                                - \, 4 & = & -4 \quad {\color{Red} {\rm{Alltid\;sant!}}} \\
−
<b><span style="color:red">Uttryck</span></b> är en kombination av variabler, tal, räkneopera-
+
                                                      & \Downarrow &
−
</td>
+
      \end{array}</math>
−
<td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
+
−
<td><div class="smallBoxVariantt"><b><span style="color:red">God redovisningsstil</span></b> vid ekvationslösning:
+
  
−
* &nbsp; Definiera vad din obekant står för.
+
<math> \;\; </math> Alla tal är lösningar till ekvationen. Eller<span style="color:black">:</span>
  
−
* &nbsp; Skriv likhetstecknen exakt under varandra (samma kolumn).
+
<math> \;\; </math> Ekvationen har oändligt många lösningar.
  
−
* &nbsp; Kommentera, när det behövs, det du gör antingen genom att &nbsp;&nbsp;
+
</div>
  
−
:använda skrivsättet i [[3.3_Ekvationer#2._.C2.A0_Allm.C3.A4n_metod|<b><span style="color:blue">exemplet ovan</span></b>]] eller på ditt eget sätt,
 
  
−
:bara det blir förståeligt vad du gör.
 
−
 
−
*Skriv kommentarerna skilda från ekvationens lösningsgång.</div>
 
−
</td>
 
−
</tr>
 
−
</table>
 
−
tioner och parenteser som till slut, när uttrycket beräknas, ger ett värde: <b><span style="color:red">uttryckets värde</span></b>, se [[3.1 Algebraiska uttryck|<b><span style="color:blue">3.1 Algebraiska uttryck</span></b>]].
 
−
----
 
−
<b><span style="color:red">Ekvation</span></b> är en likhet mellan två uttryck med endast EN obekant (än så länge i Matte 1).
 
−
----
 
−
<b><span style="color:red">Formel</span></b> är en likhet mellan två uttryck med minst två variabler, behandlas i [[3.7 Formler|<b><span style="color:blue">3.7 Formler</span></b>]].
 
 
</div>
 
</div>
  
−
</big>
 
  
  

Versionen från 13 februari 2020 kl. 21.21

       Genomgång          Quiz          Övningar Webb          Lathund          Nästa avsnitt  >>      
        <<  Förra avsnitt                    Övningar App                          


Vad är en ekvation?

\( \qquad \)Ekvation Obekant VL HL 350.jpg

En ekvation är en likhet mellan två uttryck,

har alltid formen VL = HL och innehåller

endast EN variabel, kallad obekant.

Ex.: \( \qquad\quad 2\,x \; + \; 14 \; = \; 18 \)

Ekvationens lösning: \( \quad\; \)
\( x \; = \; {\color{Red} 2} \)


Varför?


Kontroll:     Sätt in lösningen i ekvationen.

VL \( \, = \, 2 \, \cdot \, {\color{Red} 2} \, + \, 14 \, = \, 4 \, + \, 14 \, = \, 18 \)

HL \( \, = \, 18 \)

VL \( = \) HL \( \, \Rightarrow \, x = {\color{Red} 2} \) är en korrekt lösning.

Kontroll kallas ibland även för prövning.


Två lösningsmetoder:


1.   Övertäckningsmetoden


Exemplet ovan:

  \( 2 \, x \;\; + \; 14 \; = \; 18 \quad {\color{Red} {\rm Täck\;över\;}} 2 \, x \)

\(\quad\)
\( \, + \;\, 14 \; = \; 18 \)

  \( \;\, {\color{Red} ?} \;\;\; + \; 14 \; = \; 18 \)

  \( \;\, {\color{Red} 4} \;\;\; + \; 14 \; = \; 18 \)

  \( \;\, \Downarrow \)

  \( \, 2 \, \cdot \; x \;\; = \;\, {\color{Red} 4} \qquad\quad {\color{Red} {\rm Täck\;över\;}} x \)

  \( \, 2 \, \cdot \; \)
\( \quad \)
\( \; = \;\, 4 \)

  \( \, 2 \, \cdot \; {\color{Red} ?} \;\; = \;\; 4 \)

  \( \, 2 \, \cdot \; {\color{Red} 2} \;\; = \;\; 4 \)

  \( \quad\;\;\; \Downarrow \)

 
\( \; x \; = \; {\color{Red} 2} \)


2.   Allmän metod


Steg 1

  Förenkla uttrycken i ekvationens båda led

  så långt som möjligt. I exemplet ovan:

\[\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18 & & \\ x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18 & & \\ 2\,x \, + \, 14 & = & 18 & & \end{array}\]

Steg 2

  Utför samma operation på båda leden:

\[\begin{array}{rcl} 2\,x \, + \, 14 & = & 18 \\ 2\,x \, + \, 14 \, {\color{Red} {- \, 14}} & = & 18 \, {\color{Red} {- \, 14}} \\ 2\,x \, & = & 4 \end{array}\]

Vilken operation?

Den inversa operation som isolerar \( x\)-termen.

\( \;\;\; {\color{Red} {- \, 14}} \, \) är den inversa operationen till \( \, + \, 14 \)

Steg 3

  Utför samma operation på båda leden:

\[\begin{array}{rclcl} \quad\; 2 \cdot x \, & = & 4 & & \\ \displaystyle \frac{2 \cdot x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} & & \\ x & = & 2 & & \end{array}\]

Vilken operation?

Den inversa operation som isolerar \( \, x \, \).

\( \quad\;\; {\color{Red} {/ \; 2}} \, \) är den inversa operationen till \( \, \cdot \; 2 \)



Ekvationslösningens filosofi:

Betrakta ekvationen som en våg i balans.

Likhetstecknet \( \; = \; \) Vågens balans

HL och VL\( \; = \; \) Vågens skålar

Bibehåll balansen genom att göra samma

sak på båda vågskålarna, dvs:

\( \;\;\; \) Samma operation på båda leden !


När saknar en ekvation lösning?


Exempel:

\(\begin{array}{rcl} 2\,x \, - \, 2\, (3 \, + \, x ) & = & 8 \\ 2\,x \, - \, 6 \, - \, 2\,x & = & 8 \\ - \, 6 & = & 8 \quad {\color{Red} {\rm{Motsägelse!}}} \\ & \Downarrow & \end{array}\)

\( \qquad\quad \) Ekvationen saknar lösning.



När är alla tal lösningar till en ekvation?


Exempel:

\(\begin{array}{rcl} \;\; x \, - \, (4 \, + \, x ) & = & -4 \\ x \, - \, 4 \, - \, x & = & -4 \\ - \, 4 & = & -4 \quad {\color{Red} {\rm{Alltid\;sant!}}} \\ & \Downarrow & \end{array}\)

\( \;\; \) Alla tal är lösningar till ekvationen. Eller:

\( \;\; \) Ekvationen har oändligt många lösningar.






Copyright © 2019 TechPages AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte1b.mathonline.se/index.php?title=3.3_Ekvationer_2_kolumner&oldid=35595"