|
|
| Rad 11: |
Rad 11: |
| | | | |
| | | | |
| − | <!-- [[Media: Lektion_3_Polynom_Ruta_a.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 3 Polynom</span></strong>]]
| |
| − |
| |
| − | [[Media: Lektion 4 Polynom Ruta.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 4 Polynom: Fördjupning</span></strong>]]
| |
| − | -->
| |
| | == <b><span style="color:#931136">Exempel på polynom</span></b> == | | == <b><span style="color:#931136">Exempel på polynom</span></b> == |
| | | | |
| Rad 25: |
Rad 21: |
| | | | |
| | ::<math> 3\,x^4 - 8\,x^3 + 12\,x^2 - 54\,x + 9\quad</math> | | ::<math> 3\,x^4 - 8\,x^3 + 12\,x^2 - 54\,x + 9\quad</math> |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − | <big>
| |
| − | Uttrycken ovan kallas för <strong><span style="color:red">polynom</span></strong>, eftersom de består av många (<strong><span style="color:red">poly</span></strong> på latin) termer (<b><span style="color:red">nom</span></b> på latin). Varje polynom är en summa av ett antal termer.
| |
| − |
| |
| − | En term består av ett tal gånger en <math> \, x</math>-potens, t.ex. <math> 3\,x^4 </math>.
| |
| − |
| |
| − | Man brukar inleda polynom med den term som har den högsta <math> \,x</math>-potensen. Sedan fortsätter man med termer i avtagande ordning på <math> x</math>-potenserna.
| |
| − | </big>
| |
| − |
| |
| − | <div class="exempel">
| |
| − | === <span style="color:#931136">Exempel på icke-polynom</span> ===
| |
| − | <big>
| |
| − | Följande uttryck är inga polynom, eftersom de inte kan skrivas som summor av termer där varje term har formen "tal gånger en <math> \, x</math>-potens" som i exemplen ovan:
| |
| − |
| |
| − | ::::<math> \displaystyle{1 \over x} \qquad\qquad\qquad \displaystyle{\sqrt x} \qquad\qquad\qquad \displaystyle{a^x} \; , \quad {\rm där} \quad a = {\rm const.} </math>
| |
| − |
| |
| − | I polynom måste <math> x</math>-potensernas exponenter vara positiva heltal eller <math> \, 0 </math>, dvs de får inte vara negativa eller bråk. Därför är <big><big><math> 1 \over x </math></big></big> <math> = x^{-1}\, </math> och <big><math> \sqrt x = x^{1\over2} </math></big> inga polynom.
| |
| − |
| |
| − | I polynom får inte heller variabeln <math> x </math> förekomma i exponenten. Därför är <math> \, a^x </math> inget polynom. Se även [[1.1_Polynom#Allm.C3.A4n_definition|<strong><span style="color:blue">Allmän definition</span></strong>]] längre fram och repetitionsfliken om [[Potenser|<strong><span style="color:blue">... Potenser</span></strong>]].
| |
| − | </big></div>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="tolv">
| |
| − | Att <strong><span style="color:red">utveckla</span></strong> ett algebraiskt uttryck till ett polynom betyder att förenkla uttrycket genom att:
| |
| − |
| |
| − | # lösa upp alla parenteser,
| |
| − | # sammanfoga alla termer som går att sammanfoga och
| |
| − | # skriva resultatet som en summa av termer, helst ordnad efter <math> x</math>-potenser i avtagande ordning.
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="border-divblue">
| |
| − | <strong><span style="color:red">Utveckla</span></strong> följande uttryck till ett polynom:
| |
| − |
| |
| − | :<math> 6\,x^3 - 4\,x^2\,(3\,x + 8) + 2\,x\,(5 + 9\,x) </math>
| |
| − |
| |
| − | Vi löser upp parenteserna, sammanfogar de termer som går att sammanfoga och ordnar <math> x</math>-potenserna i fallande ordning:
| |
| − |
| |
| − | :<math> 6\,x^3 - 4\,x^2\,(3\,x + 8) + 2\,x\,(5 + 9\,x) = \,6\,x^3 -\,12\,x^3\,-\,32\,x^2 +\,10\,x\,+\,18\,x^2 = \underline{-6\,x^3 - 14\,x^2 +\,10\,x} \, </math>
| |
| − | </div> <!-- border-divblue -->
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | == <b><span style="color:#931136">Grad</span></b> ==
| |
| − | <div class="tolv">
| |
| − | Den högsta förekommande exponenten till <math> x</math>-potenserna bland polynomets alla termer kallas polynomets <strong><span style="color:red">grad</span></strong>.
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − | <div class="exempel12">
| |
| − | Följande polynom har graden <math> \, 4\,</math>:
| |
| − |
| |
| − | :::<math> x^4 - 29\;x^2 + 100 </math>
| |
| − |
| |
| − | eftersom den största exponenten till <math> \, x</math>-potenserna är <math> \, 4 </math>.
| |
| − |
| |
| − | I de inledande exemplen [[1.1_Polynom#Exempel_p.C3.A5_polynom|<strong><span style="color:blue">Exempel på polynom</span></strong>]] har polynomen där graderna <math> \, 1, \, 2, \, 3, \, </math> och <math> \, 4 \, </math> i den ordning de är angivna där.
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | == <b><span style="color:#931136">Koefficienter</span></b> ==
| |
| − | <div class="tolv">
| |
| − | Talen framför <math> x</math>-potenserna kallas för polynomets <strong><span style="color:red">koefficienter</span></strong>.
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="exempel12">
| |
| − |
| |
| − | * 1:a gradspolynomet <math> \qquad 4\,x + 12 \qquad\qquad\quad </math> har koefficienterna <math> \quad 4 \,</math> och <math> \, 12 </math>.
| |
| − |
| |
| − | * 2:a gradspolynomet <math> \qquad 3\,x^2 + 5\,x - 16 \qquad </math> har koefficienterna <math> \quad 3 \, </math> och <math> \, 5 \, </math> och <math> \, -16</math>.
| |
| − |
| |
| − | Konstanterna <math> 12\, </math> och <math> -16\, </math> i exemplen ovan är också koefficienter, fast de inte (synligt) står framför någon <math> x</math>-potens, därför att <math> 12\, </math> kan skrivas som:
| |
| − |
| |
| − | ::::<math> 12 \cdot x^0 </math>
| |
| − |
| |
| − | Detta pga <math> x^0 = 1\, </math>. Samma sak gäller för koefficienten <math> -16 \, = \, -16\,x^0 </math>, se repetitionsfliken om [[Potenser|<strong><span style="color:blue">... Potenser</span></strong>]].
| |
| − |
| |
| − | * 4:e gradspolynomet <math> \qquad x^4 - 29\,x^2 + 100 \qquad </math> har koefficienterna <math> \quad 1, \quad 0, \quad -29, \quad 0, \quad 100</math>
| |
| − |
| |
| − | Anledningen till att två koefficienter är <math> \, 0 \,</math> är att <math>x^3</math>- och <math>x^1</math>-termerna saknas i polynomet. Det betyder att deras koefficienter är <math> \, 0 \, </math>. Man skulle kunna skriva polynomet även så här:
| |
| − |
| |
| − | ::::<math> x^4 + 0\cdot x^3 - 29\;x^2 + 0\cdot x^1 + 100\cdot x^0 </math>
| |
| − |
| |
| − | Att man inte gör det beror på att termerna med koefficienten <math> \, 0 \, </math> bidrar inget till polynomets värde. Man föredrar skrivsättet <math> \, x^4 - 29\,x^2 + 100 \, </math> för det är enklare att skriva så.
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="tolv">
| |
| − | För enkelhetens skull brukar man utelämna de termer som räknemässigt inte bidrar till polynomets värde. Men formellt är de där och bör tas hänsyn till när man räknar upp koefficienterna. På så sätt kan man alltid använda den fullständiga koefficientlistan som en definition på polynomet.
| |
| | </div> | | </div> |
| | | | |
| Rad 134: |
Rad 41: |
| | | | |
| | Det givna polynomets värde för <math> x = 0,5\, </math> är <math> -1\,</math>. För andra värden på <math>x\,</math> kommer polynomet att ha andra värden. | | Det givna polynomets värde för <math> x = 0,5\, </math> är <math> -1\,</math>. För andra värden på <math>x\,</math> kommer polynomet att ha andra värden. |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | == <b><span style="color:#931136">Att räkna med polynom</span></b> ==
| |
| − | <div class="tolv">
| |
| − | Man räknar med polynom precis på samma sätt som man gör det med uttryck därför att polynom är en speciell form av uttryck. Man kan addera, subtrahera och multiplicera polynom med varandra. Resultatet blir ett nytt polynom. Följande gäller:
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="border-divblue">
| |
| − | <big>Summan, differensen och produkten av polynom är alltid ett polynom.</big>
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="exempel">
| |
| − | === <span style="color:#931136">Exempel på räkning med polynom</span> ===
| |
| − | <big>
| |
| − | Två polynom är givna:
| |
| − |
| |
| − | ::<math> 6\,x^2 + 2\,x - 3 </math>
| |
| − | ::<math> -6\,x^2 - 3\,x + 4 </math>
| |
| − |
| |
| − | Bilda deras summa, differens och produkt.
| |
| − |
| |
| − | <b>Summa = resultat av addition:</b>
| |
| − |
| |
| − | <math> (6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3)\,+\,(-6\,x^2\,-\,3\,x\,+\,4) \, = \, 6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3\,-\,6\,x^2\,-\,3\,x\,+\,4 \, = \, \underline{-\,x\,+\,1} </math>
| |
| − |
| |
| − | <b>Differens = resultat av subtraktion:</b>
| |
| − |
| |
| − | <math> (6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3)\,-\,(-6\,x^2\,-\,3\,x\,+\,4) \, = \, 6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3\,+\,6\,x^2\,+\,3\,x\,-\,4 \, = \, \underline{12\,x^2\,+\,5\,x\,-\,7}</math>
| |
| − |
| |
| − | <b>Produkt = resultat av multiplikation:</b>
| |
| − |
| |
| − | <math> (6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3)\,\cdot\,(-6\,x^2\,-\,3\,x\,+\,4) \, = \, -36\,x^4\,-\,18\,x^3\,+\,24\,x^2\,-\,12\,x^3\,-\,6\,x^2\,+\,8\,x\,+\,18\,x^2\,+\,9\,x\,-\,12 \, = \, </math>
| |
| − |
| |
| − | <math> \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\, = \, \underline{-36\,x^4\,-\,30\,x^3\,+\,36\,x^2\,+\,17\,x\,-\,12} </math>
| |
| − | </big></div>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="tolv">
| |
| − | Det man gör hela tiden i exemplet ovan är att först lösa upp parenteserna och sedan sammanfoga de termer som går att sammanfoga, det är de termer som har samma exponent.
| |
| − |
| |
| − | Som man ser blir alla resultat polynom. Vid addition och subtraktion blir resultatens grad samma eller mindre än utgångspolynomen. I additionsexemplet blir graden mindre eftersom de kvadratiska termerna tar ut varandra. Multiplikationen däremot förstorar graden. I exemplet är faktorerna 2:a gradspolynom medan deras produkt blir av graden 4. Generellt gäller det att produktpolynomets grad blir <math> \, m + n \, </math> om faktorernas grader är <math> \, m \, </math> och <math> \, n \, </math>, vilket är en konsekvens av första potenslagen.
| |
| − |
| |
| − | Till skillnad från addition, subtraktion och multiplikation av två (eller flera) polynom som alltid ger ett polynom, ger division av två polynom i regel inte ett polynom.
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="border-divblue">
| |
| − | <big>Kvoten av två polynom är i regel inget polynom.</big>
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="tolv">
| |
| − | Det enklaste exemplet nämndes i [[1.1_Polynom#Exempel_p.C3.A5_icke-polynom|<strong><span style="color:blue">Exempel på icke-polynom</span></strong>]] dvs kvoten mellan polynomet <math> 1 \, </math> (av graden 0) och polynomet <math> x \, </math> (av graden 1):
| |
| − |
| |
| − | :::<math> {1 \over x} \qquad {\rm eller} \qquad x^{-1} </math>
| |
| − |
| |
| − | Uttrycken är enligt [[Potenser#Potenslagarna|<strong><span style="color:blue">potenslagarna</span></strong>]] identiska. Man ser att exponenten är negativ. Men i ett polynom får exponenterna till <math> x</math>-potenserna inte vara negativa. Därför är uttrycket ovan inget polynom <math>-</math> ett exempel på att kvoten av två polynom i regel inte är polynom.
| |
| − |
| |
| − | Division av polynom leder oss till en ny klass av uttryck som <big><big><math> 1 \over x </math></big></big> är ett exempel på. Denna nya klass av uttryck kallas <strong><span style="color:red">rationella uttryck</span></strong> och behandlas i [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<strong><span style="color:blue">avsnitt 1.3</span></strong>]].
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | == <b><span style="color:#931136">Ett polynoms nollställen, även kallade rötter</span></b> ==
| |
| − | <div class="tolv">
| |
| − |
| |
| − | När polynomets värde blir <math> 0\,</math> kallar man de <math> x\,</math> för vilka polynomets värde blir <math> 0\,</math>, <strong><span style="color:red">polynomets nollställen</span></strong>. Nollställe är i polynomsammanhang synonym till <strong><span style="color:red">rot</span></strong>. Se även [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<strong><span style="color:blue">rotens olika betydelser</span></strong>]].
| |
| − |
| |
| − | Till skillnad från polynomets värde där vi satt in ett tal för <math> x\,</math> och fick ett värde för polynomet, måste vi nu vända på steken och sätta polynomet till värdet <math> 0\,</math> och beräkna <math> x\,</math>. Det är en mycket svårare uppgift eftersom vi måste lösa en ekvation som i regel är av högre grad. Vi är ju ute efter de <math> x\,</math> för vilka ett polynom av en viss grad blir <math> 0\,</math>. Dessa <math> x\,</math> är polynomets nollställen. Därför kan ett polynom ha flera nollställen medan ett polynoms värde är alltid unikt.
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="exempel">
| |
| − | === <span style="color:#931136">Exempel på nollställen</span> ===
| |
| − | <big>
| |
| − | Bestäm alla nollställen till polynomet <math> 5\,x^2 -\,20\,x </math>.
| |
| − |
| |
| − | Att beräkna polynomets nollställen innebär att sätta polynomet till 0 och lösa följande ekvation:
| |
| − |
| |
| − | ::<math> 5\,x^2 -\,20\,x = 0 </math>
| |
| − |
| |
| − | Eftersom vänsterledet saknar konstant term kan man bryta ut <math> \, x \, </math> som är den gemensamma faktorn i båda termer för att sedan kunna använda [[1.2_Faktorisering_av_polynom#Nollproduktmetoden|<b><span style="color:blue">nollproduktmetoden</span></b>]]:
| |
| − |
| |
| − | ::<math>\begin{align} 5\,x^2 -\,20\,x & = 0 \\
| |
| − | x\,(5\,x -\,20) & = 0 \\
| |
| − | x_1 & = 0 \\
| |
| − | 5\,x_2 -\,20 & = 0 \\
| |
| − | 5\,x_2 & = 20 \\
| |
| − | x_2 & = 4 \\
| |
| − | \end{align}</math>
| |
| − |
| |
| − | Polynomets nollställen eller rötter är alltså <math> \, x_1 = 0 \, </math> och <math> \, x_2 = 4 </math>.
| |
| − | </big></div>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | == <b><span style="color:#931136">Allmän definition</span></b> ==
| |
| − | <div class="tolv">
| |
| − |
| |
| − | Inledningsvis kallades en konstant gånger en <math> x</math>-potens för en term:
| |
| − |
| |
| − | :::<math> 8 \cdot x^3 \qquad\qquad {\rm Generellt:} \qquad\qquad a \cdot x^n </math>
| |
| − |
| |
| − | Som en summa av många sådana termer har ett polynom följande allmän definition:
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="border-divblue">
| |
| − | <big>Ett <span style="color:red">polynom av grad <math>n\,</math></span> har formen:
| |
| − |
| |
| − | :<math> a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + \quad \ldots \quad + a_1 \cdot x + a_0 \; , \quad
| |
| − | {\rm där } \quad {\color{Red} {n\,= {\rm positivt\;heltal}}\;{\rm eller}\;{\color{Red} 0}\,.} </math>
| |
| − |
| |
| − | Koefficienterna <math> \, a_n </math> är godtyckliga kända konstanter, medan <math>x\,</math> är en variabel.</big>
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="tolv">
| |
| − | Istället för att använda beteckningarna <math> \, a, \, b, \, c, \, \dots </math> för koefficienterna inför man s.k. indicerade beteckningar <math> \, a_1, \, a_2, \, a_3, \, \dots </math>. Det nedsänkta <math>\,{\color {Red} {_n}}</math>-et i <math>a_n\,</math> är en del av beteckningen och kallas <strong><span style="color:red">index</span></strong> (subscript, nedsänkt skrivet). Dessa indicerade beteckningar används för att associera koefficienten till <math>\,x</math>-potensens exponent.
| |
| − |
| |
| − | <math> a_n\, </math> kallas för polynomets <strong><span style="color:red">ledande koefficient</span></strong>.
| |
| − |
| |
| − | <math> a_0\, </math> kallas polynomets <strong><span style="color:red">konstanta term</span></strong>.
| |
| − |
| |
| − | Generellt kan ett polynom definieras via sina samtliga koefficienter.
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="exempel">
| |
| − | === <span style="color:#931136">Exempel</span> ===
| |
| − | <big>
| |
| − | :Polynomet <math> \quad x^5 + 3\,x^4 - 8\,x^3 - 54\,x + 9 \quad </math> av grad <math> \, 5 \, </math> har koefficienterna<span style="color:black">:</span>
| |
| − |
| |
| − | ::<math>a_5 = 1 \; , \qquad a_4 = 3 \; , \qquad a_3 = -8 \; , \qquad a_2 = 0 \; , \qquad a_1 = -54 \; , \qquad a_0 = 9</math>
| |
| − |
| |
| − | :Den ledande koefficienten är <math> \, 1 \, </math>.
| |
| − |
| |
| − | :Den konstanta termen är <math> \, 9 \, </math>.
| |
| − |
| |
| − | </big></div>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="tolv">
| |
| − | <b>Konvention:</b> Ur ren beräkningssynpunkt är det irrelevant i vilken ordning man skriver ett polynoms termer. Men, för att höja läsligheten och hålla sig till en bra struktur, brukar man börja med den term som har den högsta <math> x</math>-potensen, skriva termerna i avtagande ordning på <math> x</math>-potensernas exponenter och avsluta med den konstanta termen.
| |
| | </div> | | </div> |
| | | | |
