Skillnad mellan versioner av "3.3 Ekvationer+"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
Rad 14: Rad 14:
  
  
−
= <b><span style="color:#931136">Vad är en ekvation?</span></b> =
+
<table>
 +
<tr>
 +
  <td><div class="border-divblue"><big><big><b><span style="color:#931136">Varför ekvationer?</span></b></big></big></div>
 +
<br>
 +
<div class="ovnE">
 +
<b>Exempel på en textuppgift:</b>
 +
<br>
 +
<div class="exempel">
 +
:Kalle köper en flaska dryck som kostar <math> \, 18 \, </math> kr <i>med</i> pant.
  
−
::[[Image: Ekvation Obekant VL HL_350.jpg]]
+
:Drycken (innehållet) kostar <math> \, 14 \, </math> kr mer än panten (flaskan).
 +
 
 +
:Hur mycket kostar flaskan?
 +
</div>
 +
 
 +
<b>Utan ekvation</b> svarar de flesta 4 kr, vilket är fel.
 +
 
 +
<b>Lösning med ekvation:</b> <math> \quad\;\;\; x \; = \; {\rm flaskans\;pris} </math>
 +
 
 +
::::<math> \qquad\qquad\;\; x \, + \, 14 \; = \; {\rm dryckens\;pris} </math>
 +
<div class="exempel">
 +
::::::<math>\begin{array}{rcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18            \\
 +
                                x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18            \\
 +
                                        2\,x \, + \, 14 & = & 18            \\
 +
                                        2\,x \,        & = & 4            \\
 +
                                          x \,        & = & {\color{Red} 2} 
 +
          \end{array}</math>
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
<b>Svar:</b> &nbsp;&nbsp;&nbsp; Flaskan kostar <math> \, {\color{Red} {2 \; {\rm kr\,}}}</math>.
 +
 
 +
 
 +
För mer info om hur man ställer upp en ekvation och om lösningsmetoder se:
 +
 
 +
 
 +
[[3.6_Användning_av_ekvationer#Metoden_att_st.C3.A4lla_upp_en_ekvation_utifr.C3.A5n_en_textuppgift|<b><span style="color:blue">Metoden att ställa upp en ekvation utifrån en textuppgift</span></b>]],
 +
 
 +
[[3.3_Ekvationer#1._.C2.A0_.C3.96vert.C3.A4ckningsmetoden|<b><span style="color:blue">Övertäckningsmetoden</span></b>]] <math> \quad </math> och <math> \quad </math> [[3.3_Ekvationer#2._.C2.A0_Allm.C3.A4n_metod|<b><span style="color:blue">Allmän metod</span></b>]].
 +
</div>
 +
</td>
 +
  <td><math> \;\; </math></td>
 +
  <td> <div class="border-divblue"><big><big><b><span style="color:#931136">Vad är en ekvation?</span></b></big></big></div>
 +
<br>
 +
<math> \qquad\quad </math>[[Image: Ekvation Obekant VL HL_350.jpg]]
 
<br>
 
<br>
 
<div class="border-divblue">
 
<div class="border-divblue">
Rad 22: Rad 64:
 
En <b><span style="color:#931136">ekvation</span></b> är en likhet mellan två uttryck,
 
En <b><span style="color:#931136">ekvation</span></b> är en likhet mellan två uttryck,
  
−
har alltid formen VL = HL och innehåller i
+
har alltid formen VL = HL och innehåller
  
−
regel en variabel, kallad <b>obekant</b>, t.ex. <math> \, x \; </math>:
+
minst en variabel, kallad <b>obekant</b>.
  
−
<b><span style="color:black">Ekvationen:</span></b> <math> \quad\;\; 2\,x \; + \; 14 \; = \; 18 </math>
+
Ex.<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\quad 2\,x \; + \; 14 \; = \; 18 </math>
  
−
<b><span style="color:red">Lösningen:</span></b> <math> \qquad\qquad\;\; </math> <div class="smallBoxVariantt"> <math> x \; = \; {\color{Red} 2} </math></div>
+
Ekvationens <b><span style="color:red">lösning:</span></b> <math> \quad\; </math> <div class="smallBoxVariantt"> <math> x \; = \; {\color{Red} 2} </math></div>
 
</big></div>
 
</big></div>
  
  
−
:<big><big>Varför <b><span style="color:red">lösning</span></b> &nbsp;?</big></big>
+
:<big><big><big><b><span style="color:#931136">Varför lösning?</span></b></big></big></big>
−
 
+
  
 
<div class="border-divblue">
 
<div class="border-divblue">
 
<big>
 
<big>
−
<b><span style="color:#931136">Kontroll:</span></b> &nbsp;&nbsp;&nbsp; Sätt in lösningen i ekvationen.
+
<b><span style="color:#931136">Kontroll:</span></b> Sätt in lösningen i ekvationen.
  
 
VL <math> \, = \, 2 \, \cdot \, {\color{Red} 2} \, + \, 14 \, = \, 4 \, + \, 14 \, = \, 18 </math>
 
VL <math> \, = \, 2 \, \cdot \, {\color{Red} 2} \, + \, 14 \, = \, 4 \, + \, 14 \, = \, 18 </math>
Rad 43: Rad 84:
 
HL <math> \, = \, 18 </math>
 
HL <math> \, = \, 18 </math>
  
−
VL <math> = </math> HL <math> \, \Rightarrow \, x = {\color{Red} 2} </math> är en korrekt lösning.
+
<b>VL <math> = </math> HL</b> <math> \, \implies \, x = {\color{Red} 2} </math> är en <b><span style="color:red">lösning</span></b>.
−
</big>
+
  
 
<b><span style="color:#931136">Kontroll</span></b> kallas ibland även för <b><span style="color:#931136">prövning.</span></b>
 
<b><span style="color:#931136">Kontroll</span></b> kallas ibland även för <b><span style="color:#931136">prövning.</span></b>
 +
</big>
 
</div>
 
</div>
 +
</td>
 +
</tr>
 +
</table>
  
  

Versionen från 17 januari 2021 kl. 18.22

       Genomgång          Quiz          Övningar          Genomgång+          Nästa avsnitt  >>      


En mer utförlig version av genomgången.


Varför ekvationer?


Exempel på en textuppgift:

Kalle köper en flaska dryck som kostar \( \, 18 \, \) kr med pant.
Drycken (innehållet) kostar \( \, 14 \, \) kr mer än panten (flaskan).
Hur mycket kostar flaskan?

Utan ekvation svarar de flesta 4 kr, vilket är fel.

Lösning med ekvation: \( \quad\;\;\; x \; = \; {\rm flaskans\;pris} \)

\[ \qquad\qquad\;\; x \, + \, 14 \; = \; {\rm dryckens\;pris} \]
\[\begin{array}{rcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18 \\ x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18 \\ 2\,x \, + \, 14 & = & 18 \\ 2\,x \, & = & 4 \\ x \, & = & {\color{Red} 2} \end{array}\]


Svar:     Flaskan kostar \( \, {\color{Red} {2 \; {\rm kr\,}}}\).


För mer info om hur man ställer upp en ekvation och om lösningsmetoder se:


Metoden att ställa upp en ekvation utifrån en textuppgift,

Övertäckningsmetoden \( \quad \) och \( \quad \) Allmän metod.

\( \;\; \)
Vad är en ekvation?


\( \qquad\quad \)Ekvation Obekant VL HL 350.jpg

En ekvation är en likhet mellan två uttryck,

har alltid formen VL = HL och innehåller

minst en variabel, kallad obekant.

Ex.: \( \qquad\quad 2\,x \; + \; 14 \; = \; 18 \)

Ekvationens lösning: \( \quad\; \)
\( x \; = \; {\color{Red} 2} \)


Varför lösning?

Kontroll: Sätt in lösningen i ekvationen.

VL \( \, = \, 2 \, \cdot \, {\color{Red} 2} \, + \, 14 \, = \, 4 \, + \, 14 \, = \, 18 \)

HL \( \, = \, 18 \)

VL \( = \) HL \( \, \implies \, x = {\color{Red} 2} \) är en lösning.

Kontroll kallas ibland även för prövning.


Om kontrollen ovan säger man: Lösningen satisfierar (uppfyller) ekvationen.


Men hur får man lösningen? Det finns två lösningsmetoder:


Två lösningsmetoder:


1.   Övertäckningsmetoden


Exemplet ovan:

  \( 2 \, x \;\; + \; 14 \; = \; 18 \quad {\color{Red} {\rm Täck\;över\;}} 2 \, x \)

\(\quad\)
\( \, + \;\, 14 \; = \; 18 \)

  \( \;\, {\color{Red} ?} \;\;\; + \; 14 \; = \; 18 \)

  \( \;\, {\color{Red} 4} \;\;\; + \; 14 \; = \; 18 \)

  \( \;\, \Downarrow \)

  \( \, 2 \, \cdot \; x \;\; = \;\, {\color{Red} 4} \qquad\quad {\color{Red} {\rm Täck\;över\;}} x \)

  \( \, 2 \, \cdot \; \)
\( \quad \)
\( \; = \;\, 4 \)

  \( \, 2 \, \cdot \; {\color{Red} ?} \;\; = \;\; 4 \)

  \( \, 2 \, \cdot \; {\color{Red} 2} \;\; = \;\; 4 \)

  \( \quad\;\;\; \Downarrow \)

 
\( \; x \; = \; {\color{Red} 2} \)


2.   Allmän metod


Exempel:

\[\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18 & & \\ x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18 & & \\ 2\,x \, + \, 14 & = & 18 & \qquad | & {\color{Red} {- \, 14}} \\ 2\,x \, + \, 14 \, {\color{Red} {- \, 14}} & = & 18 \, {\color{Red} {- \, 14}} & & \\ 2 \cdot x \, & = & 4 & \qquad | & {\color{Red} {/ \; 2}} \\ \displaystyle \frac{2 \cdot x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} & & \\ x \, & = & 2 & & \end{array}\]

Skrivsättet \( \quad\;\;\, | \quad {\color{Red} {- \, 14}} \quad\;\;\, \) är en kommentar och betyder:

Subtrahera \( \, 14 \, \) från ekvationens båda led.

Kommentaren \( \;\; | \quad {\color{Red} {/ \; 2}} \;\; \) betyder:

Dividera ekvationens båda led med \( \, 2 \).


Ekvation som en våg i balans


Målet: \( \qquad\quad \) Att isolera \( \, {\color{Red} x} \, \) på ett led.


Steg 1:

  Förenkla uttrycken i ekvationens båda led så långt som

  möjligt. I exemplet ovan:

\[\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18 & & \\ x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18 & & \\ 2\,x \, + \, 14 & = & 18 & & \end{array}\]


Steg 2:

  Utför samma operation på ekvationens båda led:

\[\begin{array}{rcl} 2\,x \, + \, 14 & = & 18 \qquad\quad | \;\; {\color{Red} {- \, 14}} \\ 2\,x \, + \, 14 \, {\color{Red} {- \, 14}} & = & 18 \, {\color{Red} {- \, 14}} \\ \end{array}\]

  Förenkla de nyuppkomna uttrycken.

\[\begin{array}{rclcl} \quad\; 2 \cdot x \, & = & 4 & \qquad | & {\color{Red} {/ \; 2}} \\ \displaystyle \frac{2 \cdot x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} & & \end{array}\]

  Förenkla de nyuppkomna uttrycken:

\[\begin{array}{rclcl} \quad\; x \, & = & 2 & & \end{array}\]

\( \qquad\quad \) Vilken operation?

Regel:   Den inversa operationen med målet att isolera \( \, x \, \).

\[ 2\,x \, + \, 14 \; = \; 18 \qquad\quad | \;\; {\color{Red} {- \, 14}} \]

  Eftersom:

 \( \, {\color{Red} {- \, 14}} \, \) är den inversa (motsatta) operationen till \( \, + \, 14 \, \).

\[ \;\; 2 \cdot x \; = \; 4 \qquad\quad\;\;\, | \;\; {\color{Red} {/ \; 2}} \]

  Eftersom:

  \( \, {\color{Red} {/ \; 2}} \, \) är den inversa operationen till \( \, \cdot \; 2 \, \).



Begreppsförklaringar


Variabler är platshållare för tal och betecknas med

bokstäver, jämförbart med lådor som har etiketter.

Innehållet är variabelns värde (tal) och kan bytas ut.

Obekant är en variabel som förekommer i en ekvation.

Uttryck är en kombination av variabler, tal, räkneopera-

    
God redovisningsstil vid ekvationslösning:
  •   Definiera vad din obekant står för.
  •   Skriv likhetstecknen exakt under varandra (samma kolumn).
  •   Kommentera, när det behövs, det du gör antingen genom att   
använda skrivsättet i exemplet ovan eller på ditt eget sätt,
bara det blir förståeligt vad du gör.
  • Skriv kommentarerna skilda från ekvationens lösningsgång.

tioner och parenteser som till slut, när uttrycket beräknas, ger ett värde: uttryckets värde, se 3.1 Algebraiska uttryck.

Ekvation är en likhet mellan två uttryck med endast EN obekant (än så länge i Matte 1).

Formel är en likhet mellan två uttryck med minst två variabler, behandlas i 3.7 Formler.




Copyright © 2021 TechPages AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte1b.mathonline.se/index.php?title=3.3_Ekvationer%2B&oldid=37054"