Skillnad mellan versioner av "1.5 Tal i bråkform"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 38: | Rad 38: | ||
Men <math>\sqrt{2} = 1,414213\ldots</math> kan inte anges i bråkform, eftersom<span>:</span> | Men <math>\sqrt{2} = 1,414213\ldots</math> kan inte anges i bråkform, eftersom<span>:</span> | ||
| − | <math>\sqrt{2}</math> har en <b><span style="color:red">oändlig</span></b> [[1.3_Tal_i_decimalform | + | <math>\sqrt{2}</math> har en <b><span style="color:red">oändlig</span></b> [[1.3_Tal_i_decimalform#Icke-periodisk_decimalutveckling|<b><span style="color:blue">icke-periodisk decimalutveckling</span></b>]]. |
<math>\sqrt{2}\;</math> är ett exempel på ett <b><span style="color:red">irrationellt tal</span></b>, se [[1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal|<b><span style="color:blue">Olika typer av tal</span></b>]]. | <math>\sqrt{2}\;</math> är ett exempel på ett <b><span style="color:red">irrationellt tal</span></b>, se [[1.1_Om_tal#Olika_typer_av_tal|<b><span style="color:blue">Olika typer av tal</span></b>]]. | ||
Nuvarande version från 11 januari 2023 kl. 19.53
| << Förra avsnitt | Genomgång | Övningar | Svårare övningar | Nästa avsnitt >> |
Bråkstrecket betyder division:
\( \quad\; \displaystyle \frac{{\color{Limegreen} 3}}{{\color{Red} 4}} \; = \; {\color{Limegreen} 3} \, / \, {\color{Red} 4} \; = \; 0,75 \)
Generellt
Alla tal i bråkform kan skrivas i decimalform,
men inte tvärtom.
Ex.:
\(\frac{1}{3}\) är ett tal i bråkform som kan skrivas i decimalform: \(0,333\ldots\)
Men \(\sqrt{2} = 1,414213\ldots\) kan inte anges i bråkform, eftersom:
\(\sqrt{2}\) har en oändlig icke-periodisk decimalutveckling.
\(\sqrt{2}\;\) är ett exempel på ett irrationellt tal, se Olika typer av tal.
Tal i bråkform är synonym till rationella tal.
Heltal som bråk
\( \qquad \displaystyle 9 \; = \; \frac{9}{1} \qquad \)
Generellt
Alla heltal kan skrivas i bråkform med nämnaren \( {\color{Red} 1} \, \).
Slutsats: Alla heltal är även rationella tal, dvs
Mängden av alla heltal är delmängd i mängden
av alla rationella tal, se Lökmodellen.
Blandad form
Bråk vars täljare > nämnare kan skrivas i blandad form.
Omvandling av bråk till blandad form
Skriv \( \; \frac{7}{2} \; \) i blandad form:
\( \quad \displaystyle \frac{7}{\color {Red} 2} \; = \; 7 \, / \, \color {Red} 2 \; = \; \color {Limegreen} 3 \,, {\rm rest} \; 1 \; = \; \boxed{\color {Limegreen} 3 \,\frac{1}{\color {Red} 2}} \quad \)
\( \quad \) Eller använd miniräknare:
\( \quad \displaystyle \frac{7}{\color {Red} 2} \; = \; 7 \, / \, \color {Red} 2 \; = \quad\; 3,5 \quad\; = \; \color {Limegreen} 3 \,\frac{1}{\color {Red} 2} \quad \)
Omvandling av blandad form till bråk
Skriv den blandade formen till bråk:
\( \quad \displaystyle \boxed{\color {Limegreen} 3\,\frac{1}{\color {Red} 2}} \;\; = \;\; \frac{\color {Limegreen} 3 \, \cdot \color {Red} 2 \quad + \quad 1}{\color {Red} 2} \;\; = \;\; \frac{7}{\color {Red} 2} \)
\( \quad \) Därför att:
\( \quad \displaystyle \color {Limegreen} 3\,\frac{1}{\color {Red} 2} \; = \; \color {Limegreen} 3 \; + \; \frac{1}{\color {Red} 2} = \frac{\color {Limegreen} 3}{1} + \frac{1}{\color {Red} 2} \; = \)
\( \qquad\;\;\, \displaystyle \; = \; \frac{\color {Limegreen} 3 \cdot \color {Red} 2}{1 \cdot \color {Red} 2} \; + \; \frac{1}{\color {Red} 2} \; = \; \frac{6}{\color{Red} 2} \; + \; \frac{1}{\color{Red} 2} \; = \; \frac{7}{\color{Red} 2} \)
Regeln
\( \quad \displaystyle \color {Limegreen} a\;\frac{b}{\color {Red} c} \quad = \quad \frac{\color {Limegreen} a \, \cdot \color {Red} c \quad + \quad b}{\color {Red} c} \quad \)
Förklaring för \( \; + \; \) i de två rutorna ovan
I blandade former står mellan heltalet och
bråket ett osynligt + \( \quad \displaystyle \color {Limegreen} 3 \,\frac{1}{\color {Red} 2} \; = \; \color {Limegreen} 3 \) + \( \displaystyle \frac{1}{\color {Red} 2} \quad \)
Läs därför: "Tre och en halv"
Förkortning av bråk
Förkorta bråken så långt som möjligt:
1) \( \quad \displaystyle \frac{2}{4} \; = \; \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} \; = \; \frac{1 \cdot \cancel{\color{Red} 2}}{2 \cdot \cancel{\color{Red} 2}} \; = \; \frac{1}{2} \)
2) \( \quad \displaystyle \frac{6}{9} \; = \; \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} \; = \; \frac{2 \cdot \cancel{\color{Red} 3}}{3 \cdot \cancel{\color{Red} 3}} \; = \; \frac{2}{3} \)
3) \( \quad \displaystyle \frac{10}{15} \; = \; \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} \; = \; \; \frac{2 \cdot \cancel{\color{Red} 5}}{3 \cdot \cancel{\color{Red} 5}} \; = \; \frac{2}{3} \)
4) \( \quad \displaystyle \frac{8}{24} \; = \; \frac{\cancel{\color{Red} 2} \cdot 4}{\cancel{\color{Red} 2} \cdot 12} \, = \, \frac{\cancel{\color{Red} 2} \cdot 2}{\cancel{\color{Red} 2} \cdot 6} \, = \, \frac{\cancel{\color{Red} 2} \cdot 1}{\cancel{\color{Red} 2} \cdot 3} \, = \, \frac{1}{3} \)
Metoden:
Hitta en gemensam faktor hos täljaren och nämna-
ren. Dividera både täljaren och nämnaren med
samma gemensamma faktor.
Rekommendation
Förkorta alltid ett bråk när det är möjligt för att få
mindre tal och därmed minska risken för felräknning.
Förlängning av bråk
Förläng bråken:
1) \( \quad \displaystyle \frac{3}{4} \; = \; \frac{3 \cdot {\color{Red} 3}}{4 \cdot {\color{Red} 3}} \; = \; \frac{9}{12} \)
2) \( \quad \displaystyle \frac{2}{3} \; = \; \frac{2 \cdot {\color{Red} 4}}{3 \cdot {\color{Red} 4}} \; = \; \frac{8}{12} \)
3) \( \quad \displaystyle \frac{3}{4} \; = \; \frac{3 \cdot {\color{Red} 5}}{4 \cdot {\color{Red} 5}} \; = \; \frac{15}{20} \; = \; \frac{15 \cdot {\color{Red} 5}}{20 \cdot {\color{Red} 5}} \; = \; \frac{75}{100} \)
4) \( \quad \displaystyle {1 \over 8} \; = \; {1 \cdot {\color{Red} 5} \over 8 \cdot {\color{Red} 5}} \; = \; {5 \over 40} \; = \; {5 \cdot {\color{Red} 5} \over 40 \cdot {\color{Red} 5}} \; = \; {25 \over 200} \; = \)
\( \qquad\quad\; \displaystyle = \; {25 \cdot {\color{Red} 5} \over 200 \cdot {\color{Red} 5}} \; = \; {125 \over 1\,000} \)
Metoden:
Multiplicera täljaren och nämnaren med samma tal.
Slutsats
Både förkortning och förlängning bibehåller
bråkets värde.
När ska man förlänga bråk?
1) Jämförelse av bråk:
Ex.: Vilket av bråken är större: \( \quad \displaystyle \frac{3}{4} \quad \) eller \( \quad \displaystyle \frac{2}{3} \quad \) ?
Det kan man bara avgöra genom att förlänga dem till sam-
ma nämnare, se Förlängnng av bråk, ex. 1 och 2:
\( \qquad\;\; \displaystyle \frac{9}{12} \, > \, \frac{8}{12} \qquad \implies \qquad\displaystyle \frac{3}{4} \, > \, \frac{2}{3} \)
2) Addition av bråk med olika nämnare:
Se nedan: Fall 2 Bråk med olika nämnare.
Addition och subtraktion av bråk
Fall 1 Bråk med samma nämnare
\( \quad \displaystyle \frac{1}{\color{Red} 5} \; + \; \frac{3}{\color{Red} 5} \; = \; \frac{4}{\color{Red} 5} \)
\( \quad \displaystyle \frac{11}{\color{Red} {12}} \; - \; \frac{5}{\color{Red} {12}} \; = \; \frac{6}{\color{Red} {12}} \; = \; \frac{1 \cdot \cancel{6}}{2 \cdot \cancel{6}} \; = \; \frac{1}{2} \)
\( \quad \displaystyle \frac{5}{\color{Red} {11}} + \frac{13}{\color{Red} {11}} - \frac{9}{\color{Red} {11}} = \frac{5+13-9}{\color{Red} {11}} = \frac{9}{\color{Red} {11}} \quad \)
Regeln för add./subtr. av bråk med samma nämnare
Bibehåll och ta över den gemensamma
nämnaren. Addera/subtrahera täljarna.
Fall 2 Bråk med olika nämnare
\( \quad \displaystyle \frac{1}{2} \; + \; \frac{1}{3} \; = \; \frac{1 \cdot {\color{Limegreen} 3}}{2 \cdot {\color{Limegreen} 3}} \; + \; \frac{1 \cdot {\color{Limegreen} 2}}{3 \cdot {\color{Limegreen} 2}} \; = \; \)
\( \qquad\qquad\;\; \displaystyle \; = \; \frac{3}{\color{Red} 6} \; + \; \frac{2}{\color{Red} 6} \; = \; \frac{5}{\color{Red} 6} \)
\( \quad \displaystyle \frac{2}{3} \; + \; \frac{1}{5} \; = \; \frac{2 \cdot {\color{Limegreen} 5}}{3 \cdot {\color{Limegreen} 5}} \; + \; \frac{1 \cdot {\color{Limegreen} 3}}{5 \cdot {\color{Limegreen} 3}} \; = \; \)
\( \qquad\qquad\;\; \displaystyle \; = \; \frac{10}{\color{Red} {15}} \; + \; \frac{3}{\color{Red} {15}} \; = \; \frac{13}{\color{Red} {15}} \)
\( \quad \displaystyle \frac{7}{4} \; - \; \frac{5}{3} \; = \; \frac{7 \cdot {\color{Limegreen} 3}}{4 \cdot {\color{Limegreen} 3}} \; - \; \frac{5 \cdot {\color{Limegreen} 4}}{3 \cdot {\color{Limegreen} 4}} \; = \; \)
\( \qquad\qquad\;\; \displaystyle \; = \; \frac{21}{\color{Red} {12}} \; - \; \frac{20}{\color{Red} {12}} \; = \; \frac{1}{\color{Red} {12}} \quad \)
Produktmetoden för add./subtr. av bråk med olika nämnare
1) Förläng bråken så att de får en gemen-
sam nämnare ( = nämnarnas produkt).
2) Ta över den gemensamma nämnaren.
Addera/subtrahera täljarna.
En bättre metod:
Minsta gemensamma nämnare (MGN)
Produktmetoden:
\( \quad \displaystyle \frac{1}{6} \; + \; \frac{2}{9} \; = \; \frac{1 \cdot {\color{Limegreen} 9}}{6 \cdot {\color{Limegreen} 9}} \; + \; \frac{2 \cdot {\color{Limegreen} 6}}{9 \cdot {\color{Limegreen} 6}} \; = \; \)
\( \quad \displaystyle \, = \, \frac{9}{\color{Red} {54}} \, + \, \frac{12}{\color{Red} {54}} \, = \, \frac{21}{\color{Red} {54}} \, = \, \frac{7 \cdot \cancel{\color{Red} 3}}{18 \cdot \cancel{\color{Red} 3}} \, = \, \frac{7}{18} \)
Produktmetoden hittar en gemensam nämnare: 54.
MGN-metoden:
\( \quad \displaystyle \frac{1}{6} \; + \; \frac{2}{9} \; = \; \frac{1}{2 \cdot {\color{Red} 3}} \; + \; \frac{2}{3 \cdot {\color{Red} 3}} \; = \; \)
\( \quad \displaystyle \, = \, \frac{1 \cdot {\color{Limegreen} 3}}{6 \cdot {\color{Limegreen} 3}} \; + \; \frac{2 \cdot {\color{Limegreen} 2}}{9 \cdot {\color{Limegreen} 2}} \, = \, \frac{3}{\color{Red} {18}} \, + \, \frac{4}{18} \, = \, \frac{7}{18} \)
MGN-metoden hittar den minsta gem. nämnaren: 18.
Generellt
MGN = Produkt / Största gemensamma delare.
Ex.: 54 / 3 = 18.
Multiplikation av bråk
\( \quad \displaystyle \frac{1}{2} \; \cdot \; \frac{3}{4} \; = \; \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \; = \; \frac{3}{8}\)
\( \quad \displaystyle \frac{2}{3} \; \cdot \; \frac{4}{7} \; = \; \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 7} \; = \; \frac{8}{21} \)
\( \quad \displaystyle \frac{3}{4} \; \cdot \; \frac{2}{3} \; = \; \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 3} \; = \; \frac{6}{12} \; = \; \frac{1 \cdot \cancel{6}}{2 \cdot \cancel{6}} \; = \; \frac{1}{2} \)
Regeln för multiplikation av bråk
| Multiplicera: | täljarna | med | varandra, |
| nämnarna | med | varandra. |
Allmän regel för redovisning av bråkuppgifter
Förkorta dina svar så långt som möjligt.
Division av bråk
\( \quad \displaystyle \frac{1}{2} \; \Big/ \; \frac{3}{4} \; = \; \frac{1}{2} \; {\color{Red} {\cdot \; \frac{4}{3}}} \; = \; \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 3} \; = \; \frac{4}{6} \; = \; \)
\( \qquad\qquad\; \displaystyle \; = \; \frac{\cancel{2} \cdot 2}{\cancel{2} \cdot 3} \; = \; \frac{2}{3} \)
\( \quad \displaystyle \frac{2}{3} \; \Big/ \; \frac{5}{7} \; = \; \frac{2}{3} \; {\color{Red} {\cdot \; \frac{7}{5}}} \; = \; \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 5} \; = \; \frac{14}{15} \)
\( \quad \displaystyle \frac{4}{7} \; \Big/ \; \frac{3}{5} \; = \; \frac{4}{7} \; {\color{Red} {\cdot \; \frac{5}{3}}} \; = \; \frac{4 \cdot 5}{7 \cdot 3} \; = \; \frac{20}{21} \)
Regeln för division av bråk
Ersätt \( / \) med \( {\color{Red} {\cdot}} \) och invertera det bråk som
man skulle dividera med (dvs det andra).
Använd regeln för multiplikation av bråk.
Att invertera t.ex. \( \, \displaystyle \frac{3}{4} \, \) ger \( \, \displaystyle {\color{Red} {\frac{4}{3}}} \; \).
Dubbelbråk
\( \;\; \displaystyle \frac{\frac{{\color{Red} 2}}{{\color{Limegreen} 5}}}{\frac{{\color{Limegreen} 4}}{{\color{Red} 9}}} \) \( \displaystyle \; = \; \frac{{\color{Red} 2} \cdot {\color{Red} 9}}{{\color{Limegreen} 5} \cdot {\color{Limegreen} 4}} \; = \; \frac{\cancel{2} \cdot 9}{5 \cdot 2 \cdot \cancel{2}} \; = \; \frac{9}{5 \cdot 2} \; = \; \frac{9}{10} \)
\( \;\; \) Förkorta även på vägen till svaret om möjligt.
Regeln för dubbelbråk
Ta de "yttersta" (\( \, {\color{Red} 2} \, \) och \( \, {\color{Red} 9} \, \)) till täljaren.
Ta de "innersta" (\( \, {\color{Limegreen} 5} \, \) och \( \, {\color{Limegreen} 4} \, \)) till nämnaren.
Bråk gånger heltal
\( \displaystyle \frac{2}{3} \cdot 9 \; = \; \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{1} \; = \; \frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 1} \; = \; \frac{2 \cdot 3 \cdot \cancel{3}}{\cancel{3}} \; = \; 6 \)
Snabbare:
\( \displaystyle \frac{2}{3} \cdot 9 \; = \; \frac{2 \cdot 9}{3} \; = \; \frac{18}{3} \; = \; 6 \)
\( \displaystyle 2 \cdot \frac{5}{7} \; = \; \frac{2 \cdot 5}{7} \; = \; \frac{10}{7} \)
Regel
Ta täljaren \( \times \) heltalet, bibehåll nämnaren.
Bråkdel av ett tal
Bestäm \( \; \displaystyle \frac{5}{6} \; \) av \( \; 12 \; \).
\( \quad \displaystyle \frac{5}{6} \; \) \( {\color {Red} {\cdot}} \) \( \; \displaystyle 12 \; = \; \frac{5 \cdot 12}{6} \; = \; \frac{5 \cdot 2 \cdot \cancel{6}}{\cancel{6}} \; = \; 10 \quad \)
Regel
Översätt av till gånger.
Bestäm \( \; \displaystyle \frac{4}{5} \; \) av \( \; \displaystyle \frac{7}{8} \; \).
\( \quad \displaystyle \frac{4}{5} \; \) \( {\color {Red} {\cdot}} \) \( \; \displaystyle \frac{7}{8} \; = \; \frac{4 \cdot 7}{5 \cdot 8} \; = \; \frac{\cancel{4} \cdot 7}{5 \cdot 2 \cdot \cancel{4}} \; = \; \frac{7}{10} \quad \)
Copyright © 2023 TechPages AB. All Rights Reserved.
