3.3 Ekvationer 2 kolumner

Genomgång

Quiz

Övningar

Lathund

Vad är en ekvation? \( \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\; \) Varför ekvationer?

\( \qquad \) En ekvation är en likhet mellan två uttryck som innehåller endast EN variabel, kallad obekant, se exemplet ovan. En ekvation har alltid formen VL = HL . Ekvationens lösning: \( \quad\; \) \( x \; = \; {\color{Red} 2} \) Kontroll:     Sätt in lösningen i ekvationen.   VL \( \, = \, 2 \, \cdot \, {\color{Red} 2} \, + \, 14 \, = \, 4 \, + \, 14 \, = \, 18 \)   HL \( \, = \, 18 \)   VL \( \; = \; \) HL \( \qquad \Longrightarrow \qquad \) OK   Dvs lösningen \( \, x = {\color{Red} 2} \, \) är korrekt. Kontroll kallas ibland även för prövning.

\( \qquad\qquad \)

Uppgift: Kalle köper en flaska dryck som kostar \( \, 18 \, \) kr med pant. Drycken (innehållet) kostar \( \, 14 \, \) kr mer än panten (flaskan). Hur mycket kostar flaskan? Försök först att lösa uppgiften utan ekvation, sedan med ekvation. Lösning med ekvation: \( \quad\;\; x \; = \; {\rm flaskans\;pris} \) \[\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18 & & \\ x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18 & & \\ 2\,x \, + \, 14 & = & 18 & \qquad & \\ 2\,x \, & = & 4 & \qquad & \\ x \, & = & {\color{Red} 2} & & \end{array}\] Svar:     Flaskan kostar \( \, {\color{Red} {2 \; {\rm kr\,}}}\). \( \;\; \) Utan ekvation svarar de flesta fel (4 kr). Läs hur man ställer upp ekvationen. \( \;\; \) För en mer utförlig lösning, se: \( \qquad\; \)Övertäckningsmetoden \( \quad \) och \( \quad \) Allmän metod.

Variabler är platshållare för tal som betecknas med bokstäver. Jämförbart med lådor som förses med etiketter. Innehållet är tal: Variabelns värde som kan bytas ut.

Obekant är en variabel som förekommer i ekvationer. Ofta används bokstaven \( \, x \, \), vilket dock inte är ett måste.

Uttryck är en kombination av variabler, tal, räkneoperationer och parenteser som till slut, när uttrycket beräknas, ger ett värde: Uttryckets värde, se 3.1 Uttryck.

Formel är en likhet mellan två uttryck med minst två variabler, behandlas i 3.5 Formler.

Ekvationslösning: Övertäckningsmetoden

Exemplet ovan:

  \( 2 \, x \;\; + \; 14 \; = \; 18 \quad {\color{Red} {\rm Täck\;över\;}} 2 \, x \)

\(\quad\)

\( \, + \;\, 14 \; = \; 18 \)

  \( \;\, {\color{Red} 4} \;\;\; + \; 14 \; = \; 18 \)

  \( \;\, \Downarrow \)

  \( \, 2 \, \cdot \; x \;\; = \;\, {\color{Red} 4} \qquad\quad {\color{Red} {\rm Täck\;över\;}} x \)

  \( \, 2 \, \cdot \; \)

\( \quad \)

\( \; = \;\, 4 \)

  \( \, 2 \, \cdot \; {\color{Red} 2} \;\; = \;\; 4 \)

  \( \quad\;\;\; \Downarrow \)

 

\( \; x \; = \; {\color{Red} 2} \)

Ekvationslösning: Allmän metod

Exemplet ovan:

\[\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18 & & \\ x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18 & & \\ 2\,x \, + \, 14 & = & 18 & \qquad | & {\color{Red} {- \, 14}} \\ 2\,x \, + \, 14 \, {\color{Red} {- \, 14}} & = & 18 \, {\color{Red} {- \, 14}} & & \\ 2 \cdot x \, & = & 4 & \qquad | & {\color{Red} {/ \; 2}} \\ \displaystyle \frac{2 \cdot x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} & & \\ x \, & = & 2 & & \end{array}\]

Vi skriver kommentaren \( \quad | \quad {\color{Red} {- \, 14}} \quad\!\) istället för:

Subtrahera \( \, 14 \, \) från ekvationens båda led.

Vi skriver kommentaren \( \quad | \quad {\color{Red} {/ \; 2}} \quad\;\; \) istället för:

Dividera ekvationens båda led med \( \, 2 \).

Ekvation som en våg i balans

Målet: \( \qquad\quad \) Att isolera \( \, {\color{Red} x} \, \) på ett led.

Steg 1:

  Förenkla uttrycken i ekvationens båda led så långt som

  möjligt: Se raderna 1-3 i exemplet ovan (VL).

Steg 2:

  Utför samma operation på ekvationens båda led med

  målet att isolera \( \, x \, \): Se raderna 3 och 5 i exemplet ovan.

  Förenkla de nyuppkomna uttrycken.

Regel:    Vilken operation?    Den som isolerar \( \, x \, \).

  Rad 3 i exemplet ovan:

\[ 2\,x \, + \, 14 \; = \; 18 \qquad\quad | \;\; {\color{Red} {- \, 14}} \]

 \( \, {\color{Red} {- \, 14}} \, \) är den inversa (motsatta) operationen till \( \, + \, 14 \, \).

  Rad 5 i exemplet ovan:

\[ \;\; 2 \cdot x \; = \; 4 \]

  Eller: \( \qquad\quad\;\, x \cdot 2 \; = \; 4 \qquad\quad\;\;\, | \;\; {\color{Red} {/ \; 2}} \)

  \( \, {\color{Red} {/ \; 2}} \, \) är den inversa operationen till \( \, \cdot \; 2 \, \).

God redovisningsstil:

•    Skriv likhetstecknen exakt under varandra (samma kolumn).

•    Kommentera, när det behövs, det du gör antingen genom att

   använda skrivsättet i exemplet ovan eller på ditt eget sätt, ba-

   ra det blir förståeligt vad du gör.

•    Skriv kommentarerna skilda från ekvationens lösningsgång.

Copyright © 2010-2016 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.