1.5 Lösning 8b

Efter \( \, 1 \,\) år finns det \( \, 5\,000 \cdot 1,03 \, \) på kontot.

Efter \( \, 2 \,\) år finns det \( \, (5\,000 \cdot 1,03) \cdot 1,03 \, = \, 5\,000 \cdot 1,03\,^2 \, \) på kontot.

\[ \cdots \]

Efter \( \, x \,\) år finns det \( \, 5\,000 \cdot 1,03 \cdot 1,03 \cdots 1,03 \, = \, 5\,000 \cdot 1,03\,^x \) på kontot, om \( \, x \,\) är antalet år efter insättningen.

Att startkapitalet fördubblas innebär att det efter \( \, x \, \) år finns \( \, 10\,000 \, \) kr på kontot, vilket ger följande ekvation:

\[\begin{align} 5\,000 \cdot (1,03)^x & = 10\,000 \\ (1,03)^x & = 2 \\ \end{align}\]

Vi kan pröva oss fram med räknaren för att få fram en ungefärlig lösning, t.ex. så här\[ (1,03)^5 = 1,16 \, \]

\( (1,03)^{10} = 1,34 \, \)

\( (1,03)^{20} = 1,81 \, \)

\( (1,03)^{25} = 2,10 \, \)

\( (1,03)^{24} = 2,03 \, \)

\( (1,03)^{23} = 1,97 \, \)

\( (1,03)^{23,5} = 2,00 \, \)

Vi kan nöja oss med det sista resultatet och svara:

Startkapitalet kommer att fördubblas efter 23 år och 6 månader.