1.3.1 Avrundning och värdesiffror

Avrundning

Att avrunda ett decimaltal till \( \, {\color{Red} n} \,\) decimaler innebär att kapa av alla decimaler efter den \( \, {\color{Red} n}\)-te decimalen \(-\) kallad avrundningssiffran \(-\) och tillämpa avrundningsregeln:

Avrundningsregeln:

Om siffran efter avrundningssiffran är:

\( 0, \, 1, \, 2, \, 3 \; {\rm eller} \; 4 , \quad {\rm bibehåll\;\;avrundningssiffran,\;\;dvs\;\;avrunda\;\;nedåt.} \)

\( 5, \, 6, \, 7, \, 8 \; {\rm eller} \; 9 , \quad {\rm höj\;\;avrundningssiffran\;\;ett\;\;steg,\;\;dvs\;\;avrunda\;\;uppåt.} \quad \)

Meningen med denna regel är att avrunda ett decimaltal till det önskade antalet decimaler så att avrundningsfelet (pga att man tappar decimaler) blir så litet som möjligt.

Exempel 1

Skriv \( \; \displaystyle{2 \over 3} \; \) till decimaltal, avrundat till \( \, {\color{Red} 2} \,\) decimaler. Ange avrundningsfelet. Jämför med felet utan avrundning och dra slutsats.

Lösning:

\( \displaystyle{2 \over 3} \; = \; 2 \cdot \; \) \( \displaystyle{1 \over 3} \) \( \; = \; 2 \cdot \; \) \( \, 0,333\,333\,\ldots \) \( \; = \; 0,6{\color{Red} 6} 6\,666\,\ldots \; \approx \; \underline{0,6{\color{Red} 7}} \)

Avrundningsfelet:\(\qquad 0,6{\color{Red} 7} \, - \, 0,6{\color{Red} 6} 6\,666\,\ldots \; =\quad\,0,003\,333\,\ldots \; \approx\quad3,3 \cdot 10^{-3} \)

Felet utan avrundning: \( \, 0,66 \, - \, 0,666\,666\,\ldots \; = \; -0,006\,666\,\ldots \; \approx \; -6,6 \cdot 10^{-3} \)

Slutsats: Felet utan avrundning är (bortsett från tecknet) dubbelt så stort som avrundningsfelet.

Avrundningssiffran är markerad med rött. Symbolen \( \, \approx \, \) betyder ungefär lika med.

Exempel 2

Avrunda \( \; 257,463 \; \) till:

a) En decimal (tiondelar).

Lösning: Avrundningssiffran är \( \, 1\):a decimalen \( \, {\color{Red} 4} \). Siffran efter avrundningssiffran är \( \, 6 \). Därför: \( \; 257,{\color{Red} 4}63 \; \approx \; \underline{257,{\color{Red} 5}} \)

b) Hundradelar (två decimaler).

Lösning: Avrundningssiffran är \( \, 2\):a decimalen \( \, {\color{Red} 6} \). Siffran efter avrundningssiffran är \( \, 3 \). Därför: \( \; 257,4{\color{Red} 6}3 \; \approx \; \underline{257,4{\color{Red} 6}} \)

c) Heltal.

Lösning: Avrundningssiffran är entalet \( \, {\color{Red} 7} \). Siffran efter avrundningssiffran är \( \, 4 \). Därför: \( \; 25{\color{Red} 7},463 \; \approx \; \underline{25{\color{Red} 7}} \)

d) Tiotal.

Lösning: Avrundningssiffran är tiotalet \( \, {\color{Red} 5} \). Siffran efter avrundningssiffran är \( \, 7 \). Därför: \( \; 2{\color{Red} 5}7,463 \; \approx \; \underline{2{\color{Red} 6}0} \)

Exemplen ovan visar att det även finns andra sätt att hänvisa till avrundningssiffran än med antal decimaler.

Vid avrundning av heltal, ex. 2 c)-d), måste avrundningsregeln användas med sunt förnuft.

Att avrunda till t.ex. heltal, tiotal, hundratal, ... betyder alltid till närmaste heltal, tiotal, hundratal, ... . Här två exempel till:

Exempel 3

Avrunda till hundratal:

a) \( 472 \)

Lösning: Avrundningssiffran är hundratalet \( \, {\color{Red} 4} \). Siffran efter avrundningssiffran är \( \, 7 \). Därför: \( \; {\color{Red} 4}72 \; \approx \; \underline{{\color{Red} 5}00} \)

b) \( 6\,851 \)

Lösning: Avrundningssiffran är hundratalet \( \, {\color{Red} 8} \). Siffran efter avrundningssiffran är \( \, 5 \). Därför: \( \; 6\,{\color{Red} 8}51 \; \approx \; \underline{6\,{\color{Red} 9}00} \)

OBS! Nollorna i svaren till ex. 2 d) och 3 a)-b) är väsentliga och får inte utelämnas för att bibehålla de andra siffrornas värden. Med andra ord:

OBS! Decimaltecknets position får inte rubbas.

Värdesiffror

Resultatet av en avrundning är ett s.k. närmevärde. T.ex. är \( \, 3,14 \, \) ett närmevärde till talet \( \, \pi \) vars exakta värde aldrig kan anges numeriskt, för det har oändligt många decimaler, dvs är ett irrationellt tal.

De siffror i ett närmevärde som är exakta eller korrekt avrundade kallas för

värdesiffror eller

gällande siffror eller

signifikanta siffror

Värdesiffror är de siffror i ett tal som man kan lita på \(-\) ett mått på talets noggrannhet.

Exempel 4

Närmevärde	Antal värdesiffror
a) \( \, 3,14 \, \)	Tre
b) \( \, 0,05 \, \)	En
c) \( \, 1,006 \, \)	Fyra
d) \( \, 0,072 \, \)	Två

Anledningen till att nollorna i ex. 4 b) och d) inte räknas som värdesiffror, är att de endast är till för att placera decimaltecknet och positionera de andra siffrorna. De bidrar inte till talets värde.

Exempel 5

Hur många värdesiffror har talet \( \; 0,0720 \; \)? Motivera ditt svar och dra slutasats.

Svar:

Tre värdesiffror.

Motivering:

Nollan i slutet av \( \, 0,0720 \, \) är \(-\) när den anges \(-\) antingen exakt eller resultat av korrekt avrundning.

T.ex kan talet vara resultat av avrundning:

\( \; 0,072{\color{Red} 0}1 \; \approx \; 0,072{\color{Red} 0} \; \) eller

\( \; 0,072{\color{Red} 1}9 \; \approx \; 0,072{\color{Red} 0} \; \)

Slutsats:

Nollor i slutet av ett decimaltal är alltid värdesiffror.

Internetlänkar

http://www.elevspel.se/amnen/matematik/299-avrundning.html

http://www.rasmus.is/sv/t/u/st22k01.HTM

http://matmin.kevius.com/avrund.php

https://www.youtube.com/watch?v=M5A7j77Y3nk