1.7 Lathund till Potenser Webbversion

Genomgång Potenser

Genomgång Grundpotensform

Quiz

Övningar

Formelsamling Potenser

Vad är en potens?

Potens:

\[ 2\,^{\color{Red} 3} \; = \;\; \underbrace{2 \, \cdot \, 2 \, \cdot \, 2}_{{\color{Red} 3}\;\times} \]

Upprepad multiplikation av

\(2 \, \) med sig själv, \( \, {\color{Red} 3} \, \) gånger.

Potenslagarna

Följande lagar gäller för potenser där basen \( a\, \) är ett tal \( \neq 0 \), exponenterna \( \, x \, \) och \( \, y \, \) godtyckliga tal och \( m,\,n \) heltal (\( n\neq 0 \)):

Första potenslagen: \( \qquad\qquad\quad\;\, a^x \cdot a^y \; = \; a\,^{x \, + \, y} \qquad\qquad \)

Andra potenslagen: \( \qquad\qquad\qquad\quad \displaystyle {a^x \over a^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} \qquad\qquad \)

Tredje potenslagen: \( \qquad\qquad\qquad \displaystyle {(a^x)^y} \; = \; a\,^{x \, \cdot \, y} \qquad\qquad \)

Lagen om nollte potens: \( \qquad\qquad\qquad\! a\,^0 \; = \; 1 \qquad\qquad \)

Lagen om negativ exponent: \( \qquad\qquad a\,^{-x} \; = \; \displaystyle {1 \over a\,^x} \qquad\qquad \)

Potens av en produkt: \( \qquad\qquad\;\;\, (a \cdot b)\,^x \; = \; a\,^x \cdot b\,^x \qquad\qquad \)

Potens av en kvot: \( \qquad\qquad\qquad \left(\displaystyle {a \over b}\right)^x \; = \; \displaystyle {a\,^x \over b\,^x} \qquad\qquad \)

För enkelhets skull definierades potensbegreppet inledningsvis endast för positiva heltalsexponenter \( \, x \, \) och \( \, y \). Men potenslagarna gäller även för exponenter som är negativa eller bråktal. I formuleringen "negativ exponent" antas \( \, x > 0 \).

Exempel 3

\( \displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; {a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \; \over \; a \cdot a \cdot a} \; = \; {a \cdot a \cdot \cancel{a \cdot a \cdot a} \; \over \; \cancel{a \cdot a \cdot a}} \; = \; a \cdot a \; = \; a\,^2 \)

Snabbare med andra potenslagen:

\( \displaystyle {a\,^{\color{Red} 5} \over a\,^{\color{Red} 3}} \; = \; a\,^{{\color{Red} {5\,-\,3}}} \; = \; a\,^2 \)

Påstående (Lagen om nollte potens):

\( a^0 \; = \; 1 \)

Bevis:

Påståendet kan bevisas genom att använda andra potenslagen:

\( \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; a^{x-x} \; = \; a^0 \)

Å andra sidan vet vi att ett bråk med samma täljare som nämnare har värdet \( \, 1 \):

\( \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; 1 \)

Av raderna ovan följer påståendet:

\( a^0 \; = \; 1 \)

Exempel på potenser med negativa exponenter

\[ \displaystyle{10\,^{-1} \, = \, {1 \over 10\,^1} \, = \, {1 \over 10} \, = \, 0,1} \]

\[ \displaystyle{10\,^{-2} \, = \, {1 \over 10\,^2} \, = \, {1 \over 10 \cdot 10} \, = \, {1 \over 100} \, = \, 0,01} \]

\[ \displaystyle{10\,^{-3} \, = \, {1 \over 10\,^3} \, = \, {1 \over 10 \cdot 10 \cdot 10} \, = \, {1 \over 1000} \, = \, 0,001} \]

Påstående (Lagen om negativ exponent, \( \, x > 0 \)):

\( a^{-x} = \displaystyle{1 \over a^x} \)

Bevis:

Påståendet kan bevisas genom att använda lagen om nollte potensen (baklänges) samt andra potenslagen:

\( \displaystyle{1 \over a^x} \; = \; \displaystyle{a^0 \over a^x} \; = \; a^{0-x} \; = \; a^{-x} \)

Vi får påståendet, fast baklänges.

Att potenser med negativa exponenter är en naturlig fortsättning på potenser med positiva exponenter med nollte potensen däremellan illustrerar följande exempel:

Varför är \( \; 5\,^0 \, = \, 1 \; \)?

\[ \;\; 5^4 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \]

\[ \;\; 5^3 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \]

\[ \;\; 5^2 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \]

\[ \;\; 5^1 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \]

\[ \;\; {\color{Red} {5^0 \; = \; 1}} \]

\[ \;\; 5^{-1} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5} \]

\[ \;\; 5^{-2} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5} \]

\[ \;\; 5^{-3} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5} \]

\[ \;\; 5^{-4} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 } \]

Att \( \; {\color{Red} 1} \)-orna följer med hela tiden beror på att multiplikationens enhet är \( \, {\color{Red} 1} \), dvs \( \, a \cdot {\color{Red} 1} \, = \, a \). Därför blir endast \( \, {\color{Red} 1} \, \) kvar, när vi kommer till \( \, {\color{Red} {5^0}} \, \) då alla \( \, 5\)-or har försvunnit.

Jämför med:

Varför är \( \; 5 \cdot 0 \, = \, 0 \; \)?

\[ \;\; 5 \cdot 4 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 + 5 + 5 \]

\[ \;\; 5 \cdot 3 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 + 5 \]

\[ \;\; 5 \cdot 2 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 \]

\[ \;\; 5 \cdot 1 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 \]

\[ \;\; {\color{Red} {5 \cdot 0 \; = \; 0}} \]

\[ \;\; 5 \cdot (-1) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 \]

\[ \;\; 5 \cdot (-2) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 \]

\[ \;\; 5 \cdot (-3) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 - 5 \]

\[ \;\; 5 \cdot (-4) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 - 5 - 5 \]

Att \( \; {\color{Red} 0} \)-orna följer med hela tiden beror på att additionens enhet är \( \, {\color{Red} 0} \), dvs \( \, a + {\color{Red} 0} \, = \, a \). Därför blir endast \( \, {\color{Red} 0} \, \) kvar, när vi kommer till \( \, {\color{Red} {5 \cdot 0}} \, \) då alla \( \, 5\)-or har försvunnit.