3.3 Ekvationer

<<  Förra avsnitt

Genomgång

Quiz

Övningar

Nästa avsnitt  >>

Varför ekvationer?

Exempel på en textuppgift:

Kalle köper en flaska dryck som kostar \( \, 18 \, \) kr med pant.

Drycken (innehållet) kostar \( \, 14 \, \) kr mer än panten (flaskan).

Hur mycket kostar flaskan?

Utan ekvation svarar de flesta 4 kr, vilket är fel.

Lösning med ekvation: \( \quad\;\;\; x \; = \; {\rm flaskans\;pris} \)

\[ \qquad\qquad\;\; x \, + \, 14 \; = \; {\rm dryckens\;pris} \]

\[\begin{array}{rcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18 \\ x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18 \\ 2\,x \, + \, 14 & = & 18 \\ 2\,x \, & = & 4 \\ x \, & = & {\color{Red} 2} \end{array}\]

Svar:     Flaskan kostar \( \, {\color{Red} {2 \; {\rm kr\,}}}\).

För mer info om hur man ställer upp en ekvation

och om lösningsmetoder se:

Metoden att ställa upp en ekvation utifrån en textuppgift,

Övertäckningsmetoden \( \quad \) och \( \quad \) Allmän metod.

Vad är en ekvation?

\( \qquad\quad \)

En ekvation är en likhet mellan två uttryck,

har alltid formen VL = HL och innehåller

minst en variabel, kallad obekant.

Ex.: \( \qquad\quad 2\,x \; + \; 14 \; = \; 18 \)

Ekvationens lösning: \( \quad\; \)

\( x \; = \; {\color{Red} 2} \)

Ekvationens lösning

Kontroll: Sätt in lösningen i ekvationen.

VL \( \, = \, 2 \, \cdot \, {\color{Red} 2} \, + \, 14 \, = \, 4 \, + \, 14 \, = \, 18 \)

HL \( \, = \, 18 \)

VL \( = \) HL \( \, \implies \, x = {\color{Red} 2} \) är en lösning.

Kontroll kallas ibland även för prövning.

Om kontrollen ovan säger man: Lösningen satisfierar (uppfyller) ekvationen.

Men hur får man lösningen? Det finns två lösningsmetoder:

1.   Övertäckningsmetoden

Exemplet ovan:

  \( 2 \, x \;\; + \; 14 \; = \; 18 \quad {\color{Red} {\rm Täck\;över\;}} 2 \, x \)

\(\quad\)

\( \, + \;\, 14 \; = \; 18 \)

  \( \;\, {\color{Red} ?} \;\;\; + \; 14 \; = \; 18 \)

  \( \;\, {\color{Red} 4} \;\;\; + \; 14 \; = \; 18 \)

  \( \;\, \Downarrow \)

  \( \, 2 \, \cdot \; x \;\; = \;\, {\color{Red} 4} \qquad\quad {\color{Red} {\rm Täck\;över\;}} x \)

  \( \, 2 \, \cdot \; \)

\( \quad \)

\( \; = \;\, 4 \)

  \( \, 2 \, \cdot \; {\color{Red} ?} \;\; = \;\; 4 \)

  \( \, 2 \, \cdot \; {\color{Red} 2} \;\; = \;\; 4 \)

  \( \quad\;\;\; \Downarrow \)

 

\( \; x \; = \; {\color{Red} 2} \)

2.   Allmän metod

Exempel:

\[\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18 & & \\ x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18 & & \\ 2\,x \, + \, 14 & = & 18 & \qquad | & {\color{Red} {- \, 14}} \\ 2\,x \, + \, 14 \, {\color{Red} {- \, 14}} & = & 18 \, {\color{Red} {- \, 14}} & & \\ 2 \cdot x \, & = & 4 & \qquad | & {\color{Red} {/ \; 2}} \\ \displaystyle \frac{2 \cdot x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} & & \\ x \, & = & 2 & & \end{array}\]

Skrivsättet \( \quad\;\;\, | \quad {\color{Red} {- \, 14}} \quad\;\;\, \) är en kommentar och betyder:

Subtrahera \( \, 14 \, \) från ekvationens båda led.

Kommentaren \( \;\; | \quad {\color{Red} {/ \; 2}} \;\; \) betyder:

Dividera ekvationens båda led med \( \, 2 \).

Den allmänna metoden steg för steg

Steg 1

  Förenkla uttrycken i ekvationens båda led

  så långt som möjligt. I exemplet ovan:

\[\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18 & & \\ x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18 & & \\ 2\,x \, + \, 14 & = & 18 & & \end{array}\]

Steg 2

  Utför samma operation på båda leden:

\[\begin{array}{rcl} 2\,x \, + \, 14 & = & 18 \\ 2\,x \, + \, 14 \, {\color{Red} {- \, 14}} & = & 18 \, {\color{Red} {- \, 14}} \\ 2\,x \, & = & 4 \end{array}\]

Vilken operation?

Den inversa operation som isolerar \( x\)-termen.

\( \;\;\; {\color{Red} {- \, 14}} \, \) är den inversa operationen till \( \, + \, 14 \)

Steg 3

  Utför samma operation på båda leden:

\[\begin{array}{rclcl} \quad\; 2 \cdot x \, & = & 4 & & \\ \displaystyle \frac{2 \cdot x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} & & \\ x & = & 2 & & \end{array}\]

Vilken operation?

Den inversa operation som isolerar \( \, x \, \).

\( \quad\;\; {\color{Red} {/ \; 2}} \, \) är den inversa operationen till \( \, \cdot \; 2 \)

Den allmänna metodens filosofi:

Betrakta ekvationen som en våg i balans.

HL och VL är vågens skålar. Likhetsteck-

net betyder att vågens skålar är i balans.

Bibehåll balansen genom att utföra:

\( \;\;\; \) Samma operation på båda leden !

Välj alltid den inversa operationen till den

operation som binder \( \, x \, \) till dess omgivning.

När saknar en ekvation lösning?

Exempel:

\(\begin{array}{rcl} 2\,x \, - \, 2\, (3 \, + \, x ) & = & 8 \\ 2\,x \, - \, 6 \, - \, 2\,x & = & 8 \\ - \, 6 & = & 8 \quad {\color{Red} {\rm{Motsägelse!}}} \\ & \Downarrow & \end{array}\)

\( \qquad\quad \) Ekvationen saknar lösning.

När är alla tal lösningar till en ekvation?

Exempel:

\(\begin{array}{rcl} \;\; x \, - \, (4 \, + \, x ) & = & -4 \\ x \, - \, 4 \, - \, x & = & -4 \\ - \, 4 & = & -4 \quad {\color{Red} {\rm{Alltid\;sant!}}} \\ & \Downarrow & \end{array}\)

\( \;\; \) Alla tal är lösningar till ekvationen. Eller:

\( \;\; \) Ekvationen har oändligt många lösningar.

Copyright © 2022 TechPages AB. All Rights Reserved.