1.3 Tal i decimalform

Genomgång Decimaltal

Quiz

Övningar

Genomgång+

Avrundning & värdesiffror

<<  Förra avsnitt

Nästa avsnitt  >>

Tal i decimalform   =   Decimaltal   =   Tal mellan två heltal

Fortsättning på det decimala positionssystemet:

Tiondelssiffran \( \quad\, {\color{LimeGreen} 1} \, \) har värdet \( \, {\color{Red}{0,1}} \, \).

Hundradelssiffran \( {\color{LimeGreen} 7} \, \) har värdet \( \, {\color{Red}{0,07}} \, \).

Tusendelssiffran \( \;\, {\color{LimeGreen} 8} \, \) har värdet \( \, {\color{Red}{0,008}} \, \).

\( 235 \, + \, {\color{Red}{0,1 \, + \, 0,07 \, + \, 0,008}} = \boxed{235\,{\bf{\color{Red},}}\,{\color{LimeGreen} {178}}} \)

+++

Generellt

Alla tal i bråkform kan skrivas i decimalform,

men inte tvärtom.

Ex.:

\(\frac{1}{3}\) är ett tal i bråkform som kan skrivas i decimalform: \(0,333\ldots\)

Men \(\sqrt{2} = 1,414213\ldots\) kan inte anges i bråkform, eftersom:

\(\sqrt{2}\) har en oändlig icke-periodisk decimalutveckling.

\(\sqrt{2}\;\) är ett exempel på ett irrationellt tal, se Olika typer av tal.

Tal i bråkform är synonym till rationella tal.

Heltal som bråk

\( \qquad \displaystyle 9 \; = \; \frac{9}{1} \qquad \)

Generellt

Alla heltal kan skrivas i bråkform med nämnaren \( {\color{Red} 1} \, \).

Slutsats: Alla heltal är även rationella tal, dvs

Mängden av alla heltal är delmängd i mängden

av alla rationella tal, se Lökmodellen.

+++

Exempel på viktiga decimaltal

\( \displaystyle{ 0,5 \, = \, {1 \over 2} } \) \( \displaystyle{ 0,25 \, = \, {1 \over 4} } \) \( \displaystyle{ 0,75 \, = \, {3 \over 4} } \)

\( \qquad\qquad \)

\( \displaystyle{ 0,1 \, = \, {1 \over 10} } \) \( \displaystyle{ 0,01 \, = \, {1 \over 100} } \) \( \displaystyle{ 0,001 \, = \, {1 \over 1000} } \)

\( \qquad\quad \displaystyle{ 0,333\,333\,\ldots \, = \, {1 \over 3} } \)

\( \qquad\quad \displaystyle{ 0,666\,666\,\ldots \, = \, {2 \over 3} } \)

Avrundningsregeln

Om siffran efter avrundningssiffran är:

\( \quad\; 0, \, 1, \, 2, \, 3 \; {\rm eller} \; 4 , \quad \) avrunda nedåt.

\( \quad\; 5, \, 6, \, 7, \, 8 \; {\rm eller} \; 9 , \quad \) avrunda uppåt.

Avrundningssiffran är den siffra efter vilken

alla decimaler ska kapas av.

Värdesiffror

Tal	Antal värdesiffror
\( \qquad 3,14 \quad \)	Tre
\( \qquad 0,05 \quad \)	En
\( \qquad 0,072 \quad \)	Två
\( \qquad 0,40300 \quad \)	Fem
\( \qquad 1,006 \, \)	Fyra

Från decimaltal till bråk

Skriv \( \; 0,75 \; \) i bråkform.

Lösning:

\( 0,75 \, = \, \displaystyle {75 \over 100} \, = \, {15 \cdot \cancel{\color{Red} 5} \over 20 \cdot \cancel{\color{Red} 5}} \, = \, {15 \over 20} \, = \)

\( \qquad\; = \; \displaystyle {3 \cdot \cancel{\color{Red} 5} \over 4 \cdot \cancel{\color{Red} 5}} \; = \; {3 \over 4} \)

Metoden:

1.   Skriv som bråk med \( 10\)-potens i nämnaren.

2.   Förkorta bråket så långt som möjligt.

Från bråk till decimaltal

Skriv \( \; \displaystyle{3 \over 4} \; \) som decimaltal.

Lösning:

\( \displaystyle {3 \over 4} \; = \; {3 \cdot {\color{Red} 5} \over 4 \cdot {\color{Red} 5}} \; = \; {15 \over 20} \; = \; {15 \cdot {\color{Red} 5} \over 20 \cdot {\color{Red} 5}} \; = \displaystyle {75 \over 100} \; = \)

\( \quad\; = \; 0,75 \)

Metoden:

1.   Förläng bråket tills nämnaren blir en \( 10\)-

      potens.

2.   Skriv resultatet från 1 till decimaltal.

Periodisk decimalutveckling

Skriv \( \; 0,333\,333\,\ldots \; \) i bråkform.

Lösning:

\( 10 \; \cdot \; 0,333\,333\,\ldots \; = \; 3,333\,333\,\ldots \quad {\rm (I)} \)

\( \underline{\;1 \;\, \cdot \; 0,333\,333\,\ldots \; = \; 0,333\,333\,\ldots} \quad {\rm (II)} \)

Vi bildar \( \; {\rm (I)-(II)} \):

\( (10-1) \cdot 0,333\,\ldots = \; 3 \)

\( \quad\;\;\; 9 \quad\, \cdot \, 0,333\ldots = \; 3 \)

\( \qquad\; 0,333\,333\,\ldots \: = \: \displaystyle{3 \over 9} \; = \; {1 \cdot \cancel{\color{Red} 3} \over 3 \cdot \cancel{\color{Red} 3}} \)

\( \qquad\; 0,333\,333\,\ldots \: = \: \displaystyle{1 \over 3} \)

Tal	Perioden	Skrivsätt
\( \;\; 0,333\,333\,\ldots \)	3	\( 0,\bar{3} \)
\( \;\; 0,666\,666\,\ldots \)	6	\( 0,\bar{6} \)
\( \;\; 0,18181818\,\ldots \)	18	\( 0,\overline{18} \)
\( \;\; 1,16666666\,\ldots \)	6	\( 1,1\bar{6} \)
\( \;\; 0,09090909\,\ldots \)	09	\( 0,\overline{09} \)
\( \;\; 0,045454545\,\ldots \)	45	\( 0,0\overline{45} \)

Copyright © 2023 TechPages AB. All Rights Reserved.