1 1.1 Lösning 13a

Vi betecknar talet \( \, 0,33333 \ldots \, \) (utan avrundning) med \( \, x \) och genomför följande operationer:

\(\begin{array}{rclcl} x & = & 0,33333 \ldots & \qquad | & \cdot \, 10 \\ 10 \, x & = & 3,3333 \ldots & \qquad | & -\,x {\rm \;på\;VL\;och\,} -0,33333 \ldots {\rm \;på\;HL} \\ 10 \, x \, - \, x & = & 3,3333 \ldots \, - \, 0,33333 \ldots & & \\ 9\,x & = & 3 & \qquad | & / \,\, 9 \\ x & = & \displaystyle\frac{3}{9} & & \\ x & = & \displaystyle\frac{1}{3} & & \end{array}\)

\[10x = 3,333...\] Vi kan nu få bort de upprepande decimalerna genom att ställa upp: \[10x - x = 3,333... - 0,333...\] Detta ger oss ekvationen: \[9x = 3\:\://\:/\:9\] \[x = \frac{3}{9}\:\://\: förkorta\:med\:3\] \[x = \frac{1}{3} \Leftrightarrow 0,333...\]