3.3 Ekvationer 2 kolumner
| Genomgång | Quiz | Övningar | Lathund |
Vad är en ekvation? \( \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\; \) Varför ekvationer?
\( \qquad \)
En ekvation är en likhet mellan två uttryck, har alltid formen VL = HL och innehåller endast EN variabel, kallad obekant, se exemplet ovan. Ekvationens lösning: \( \quad\; \) \( x \; = \; {\color{Red} 2} \)
Kontroll: Sätt in lösningen i ekvationen. VL \( \, = \, 2 \, \cdot \, {\color{Red} 2} \, + \, 14 \, = \, 4 \, + \, 14 \, = \, 18 \) HL \( \, = \, 18 \) VL \( \; = \; \) HL \( \qquad \Longrightarrow \qquad \) OK Dvs lösningen \( \, x = {\color{Red} 2} \, \) är korrekt. Kontroll kallas ibland även för prövning. |
\( \qquad\qquad \) | Uppgift:
Försök att lösa uppgiften utan ekvation. Lösning med ekvation: \( \quad\;\;\; x \; = \; {\rm flaskans\;pris} \)
|
Ekvationslösning: Övertäckningsmetoden
Exemplet ovan:
\( 2 \, x \;\; + \; 14 \; = \; 18 \quad {\color{Red} {\rm Täck\;över\;}} 2 \, x \)
\( \;\, {\color{Red} ?} \;\;\; + \; 14 \; = \; 18 \)
\( \;\, {\color{Red} 4} \;\;\; + \; 14 \; = \; 18 \)
\( \;\, \Downarrow \)
\( \, 2 \, \cdot \; x \;\; = \;\, {\color{Red} 4} \qquad\quad {\color{Red} {\rm Täck\;över\;}} x \)
\( \, 2 \, \cdot \; \)\( \, 2 \, \cdot \; {\color{Red} ?} \;\; = \;\; 4 \)
\( \, 2 \, \cdot \; {\color{Red} 2} \;\; = \;\; 4 \)
\( \quad\;\;\; \Downarrow \)
Ekvationslösning: Allmän metod
Exemplet ovan:
- \[\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18 & & \\ x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18 & & \\ 2\,x \, + \, 14 & = & 18 & \qquad | & {\color{Red} {- \, 14}} \\ 2\,x \, + \, 14 \, {\color{Red} {- \, 14}} & = & 18 \, {\color{Red} {- \, 14}} & & \\ 2 \cdot x \, & = & 4 & \qquad | & {\color{Red} {/ \; 2}} \\ \displaystyle \frac{2 \cdot x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} & & \\ x \, & = & 2 & & \end{array}\]
Skrivsättet \( \quad\;\;\, | \quad {\color{Red} {- \, 14}} \quad\;\;\, \) är en kommentar och betyder:
- Subtrahera \( \, 14 \, \) från ekvationens båda led.
Kommentaren \( \;\; | \quad {\color{Red} {/ \; 2}} \;\; \) betyder:
- Dividera ekvationens båda led med \( \, 2 \).
- Ekvation som en våg i balans
Målet: \( \qquad\quad \) Att isolera \( \, {\color{Red} x} \, \) på ett led.
Steg 1:
Förenkla uttrycken i ekvationens båda led så långt som
möjligt: Se raderna 1-3 i exemplet ovan (VL).
Steg 2:
Utför samma operation på ekvationens båda led med
målet att isolera \( \, x \, \): Se raderna 3 och 5 i exemplet ovan.
Förenkla de nyuppkomna uttrycken.
Regel: Vilken operation? Den som isolerar \( \, x \, \).
Rad 3 i exemplet ovan:
- \[ 2\,x \, + \, 14 \; = \; 18 \qquad\quad | \;\; {\color{Red} {- \, 14}} \]
\( \, {\color{Red} {- \, 14}} \, \) är den inversa (motsatta) operationen till \( \, + \, 14 \, \).
Rad 5 i exemplet ovan:
- \[ \;\; 2 \cdot x \; = \; 4 \]
Eller: \( \qquad\quad\;\, x \cdot 2 \; = \; 4 \qquad\quad\;\;\, | \;\; {\color{Red} {/ \; 2}} \)
\( \, {\color{Red} {/ \; 2}} \, \) är den inversa operationen till \( \, \cdot \; 2 \, \).
- God redovisningsstil:
- Skriv likhetstecknen exakt under varandra (samma kolumn).
- Kommentera, när det behövs, det du gör antingen genom att
- använda skrivsättet i exemplet ovan eller på ditt eget sätt, ba-
- ra det blir förståeligt vad du gör.
- Skriv kommentarerna skilda från ekvationens lösningsgång.
Variabler är platshållare för tal som betecknas med bokstäver. Jämförbart med lådor som förses med etiketter. Innehållet är tal: Variabelns värde som kan bytas ut.
Obekant är en variabel som förekommer i ekvationer. Ofta används bokstaven \( \, x \, \), vilket dock inte är ett måste.
Uttryck är en kombination av variabler, tal, räkneoperationer och parenteser som till slut, när uttrycket beräknas, ger ett värde: Uttryckets värde, se 3.1 Uttryck.
Formel är en likhet mellan två uttryck med minst två variabler, behandlas i 3.8 Formler.
Begreppsförklaringar
|
God redovisningsstil: Skriv likhetstecknen exakt under varandra (samma kolumn). Kommentera, när det behövs, det du gör antingen genom att använda skrivsättet i exemplet ovan eller på ditt eget sätt, ba- ra det blir förståeligt vad du gör. Skriv kommentarerna skilda från ekvationens lösningsgång. </td> | Lokala maxima och minima är punkter (•) som har största resp. minsta \( \, y\)-värden i
sin närmaste omgivning. Med maxima och minima menas i detta kapitel alltid lokala maxima/minima. Båda tillsammans heter extrema. Man skiljer mellan extremas \( \, x\)- och \( \, y\)-koordinater: Extremas \( \, x\,\)-koordinater kallas för extrempunkter, på bilden: \( \; 2 \; \) och \( \;\; 4 \).
Extremas \( \, {\color{Red} y}\,\)-koordinater kallas för extremvärden, på bilden: \( \, 10 \, \) och \( \, 22 \). Minimipunktens koordinater är: \( \, (2, 10) \, \). Maximipunktens koordinater är: \( \, (4, 22) \, \). Att vara maximi- eller minimipunkt kallas för extrempunktens karaktär eller typ. </td> </tr> </table> I hela detta kapitel förutsätts att varje funktion \( \, y = f(x) \, \) är kontinuerlig i alla punkter av sin definitionsmängd. Påminnelse: En funktions definitionsmängd är mängden av alla \( \, x \, \) för vilka funktionen är definierad. </div>
|
