3.3 Ekvationer 2 kolumner

Genomgång

Quiz

Övningar

Lathund

Vad är en ekvation? \( \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\; \) Varför ekvationer?

\( \qquad \) En ekvation är en likhet mellan två uttryck, har alltid formen VL = HL och innehåller endast EN variabel, kallad obekant, se exemplet ovan. Ekvationens lösning: \( \quad\; \) \( x \; = \; {\color{Red} 2} \) Kontroll:     Sätt in lösningen i ekvationen.   VL \( \, = \, 2 \, \cdot \, {\color{Red} 2} \, + \, 14 \, = \, 4 \, + \, 14 \, = \, 18 \)   HL \( \, = \, 18 \)   VL \( \; = \; \) HL \( \qquad \Longrightarrow \qquad \) OK   Dvs lösningen \( \, x = {\color{Red} 2} \, \) är korrekt. Kontroll kallas ibland även för prövning.

\( \qquad\qquad \)

Exempel på en textuppgift: Kalle köper en flaska dryck som kostar \( \, 18 \, \) kr med pant. Drycken (innehållet) kostar \( \, 14 \, \) kr mer än panten (flaskan). Hur mycket kostar flaskan? Försök att lösa uppgiften utan ekvation. Lösning med ekvation: \( \quad\;\;\; x \; = \; {\rm flaskans\;pris} \) \[ \quad\;\; x \, + \, 14 \; = \; {\rm dryckens\;pris} \] \[\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18 & & \\ x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18 & & \\ 2\,x \, + \, 14 & = & 18 & \qquad & \\ 2\,x \, & = & 4 & \qquad & \\ x \, & = & {\color{Red} 2} & & \end{array}\] Svar:     Flaskan kostar \( \, {\color{Red} {2 \; {\rm kr\,}}}\). \( \;\; \) Utan ekvation svarar de flesta fel (4 kr). För mer info om lösningsmetoder och om hur man ställer upp ekvationen, se: \( \qquad\; \)Övertäckningsmetoden \( \quad \) och \( \quad \) Allmän metod.

Ekvationslösning: Övertäckningsmetoden

Exemplet ovan:

  \( 2 \, x \;\; + \; 14 \; = \; 18 \quad {\color{Red} {\rm Täck\;över\;}} 2 \, x \)

\(\quad\)

\( \, + \;\, 14 \; = \; 18 \)

  \( \;\, {\color{Red} ?} \;\;\; + \; 14 \; = \; 18 \)

  \( \;\, {\color{Red} 4} \;\;\; + \; 14 \; = \; 18 \)

  \( \;\, \Downarrow \)

  \( \, 2 \, \cdot \; x \;\; = \;\, {\color{Red} 4} \qquad\quad {\color{Red} {\rm Täck\;över\;}} x \)

  \( \, 2 \, \cdot \; \)

\( \quad \)

\( \; = \;\, 4 \)

  \( \, 2 \, \cdot \; {\color{Red} ?} \;\; = \;\; 4 \)

  \( \, 2 \, \cdot \; {\color{Red} 2} \;\; = \;\; 4 \)

  \( \quad\;\;\; \Downarrow \)

 

\( \; x \; = \; {\color{Red} 2} \)

Ekvationslösning: Allmän metod

Exemplet ovan:

\[\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18 & & \\ x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18 & & \\ 2\,x \, + \, 14 & = & 18 & \qquad | & {\color{Red} {- \, 14}} \\ 2\,x \, + \, 14 \, {\color{Red} {- \, 14}} & = & 18 \, {\color{Red} {- \, 14}} & & \\ 2 \cdot x \, & = & 4 & \qquad | & {\color{Red} {/ \; 2}} \\ \displaystyle \frac{2 \cdot x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} & & \\ x \, & = & 2 & & \end{array}\]

Skrivsättet \( \quad\;\;\, | \quad {\color{Red} {- \, 14}} \quad\;\;\, \) är en kommentar och betyder:

Subtrahera \( \, 14 \, \) från ekvationens båda led.

Kommentaren \( \;\; | \quad {\color{Red} {/ \; 2}} \;\; \) betyder:

Dividera ekvationens båda led med \( \, 2 \).

Ekvation som en våg i balans

Målet: \( \qquad\quad \) Att isolera \( \, {\color{Red} x} \, \) på ett led.

Steg 1:

  Förenkla uttrycken i ekvationens båda led så långt som

  möjligt. I exemplet ovan:

\[\begin{array}{rclcl} x \, + \, (x \, + \, 14) & = & 18 & & \\ x \, + \, x \, + \, 14 & = & 18 & & \\ 2\,x \, + \, 14 & = & 18 & & \end{array}\]

Steg 2:

  Utför samma operation på ekvationens båda led:

\[\begin{array}{rcl} 2\,x \, + \, 14 & = & 18 \qquad\quad | \;\; {\color{Red} {- \, 14}} \\ 2\,x \, + \, 14 \, {\color{Red} {- \, 14}} & = & 18 \, {\color{Red} {- \, 14}} \\ \end{array}\]

  Förenkla de nyuppkomna uttrycken.

\[\begin{array}{rclcl} \quad\; 2 \cdot x \, & = & 4 & \qquad | & {\color{Red} {/ \; 2}} \\ \displaystyle \frac{2 \cdot x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{4}{{\color{Red} {2}}} & & \end{array}\]

  Förenkla de nyuppkomna uttrycken:

\[\begin{array}{rclcl} \quad\; x \, & = & 2 & & \end{array}\]

\( \qquad\quad \) Vilken operation?

Regel:   Den inversa operationen med målet att isolera \( \, x \, \).

\[ 2\,x \, + \, 14 \; = \; 18 \qquad\quad | \;\; {\color{Red} {- \, 14}} \]

  Eftersom:

 \( \, {\color{Red} {- \, 14}} \, \) är den inversa (motsatta) operationen till \( \, + \, 14 \, \).

\[ \;\; 2 \cdot x \; = \; 4 \qquad\quad\;\;\, | \;\; {\color{Red} {/ \; 2}} \]

  Eftersom:

  \( \, {\color{Red} {/ \; 2}} \, \) är den inversa operationen till \( \, \cdot \; 2 \, \).

Begreppsförklaringar Variabler är platshållare för tal och betecknas med bokstäver, jämförbart med lådor som har etiketter. Innehållet är variabelns värde (tal) och kan bytas ut. Obekant är en variabel som förekommer i en ekvation. Uttryck är en kombination av variabler, tal, räkneopera-

God redovisningsstil vid ekvationslösning: Definiera vad din obekant står för. Skriv likhetstecknen exakt under varandra (samma kolumn). Kommentera, när det behövs, det du gör antingen genom att    använda skrivsättet i exemplet ovan eller på ditt eget sätt, bara det blir förståeligt vad du gör. Skriv kommentarerna skilda från ekvationens lösningsgång.

tioner och parenteser som till slut, när uttrycket beräknas, ger ett värde: uttryckets värde, se 3.1 Uttryck.

---

Ekvation är en likhet mellan två uttryck med endast EN obekant (än så länge i Matte 1).

---

Formel är en likhet mellan två uttryck med minst två variabler, behandlas i 3.8 Formler.

Copyright © 2010-2017 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.