3.4 Ekvationer med x på båda sidor

Genomgång

Quiz

Övningar

Lathund

Nästa avsnitt  >>

<<  Förra avsnitt

Med "Ekvationer med \( \, x \, \) på båda sidor" menas ekvationer som har \( \, x\)-termer på båda sidor av likhetstecknet.

Med "koefficient" \( \qquad\qquad\qquad\qquad\:\! \) menas det tal som står framför ett \( \, x \, \), det tal som ackompanjerar \( \, x\)-et.

Fall 1:   \( x\)-term med större koefficient finns på VL

\( \qquad \)

\( \qquad {\bf{\color{LimeGreen} 4}} \, \) är koefficienten till termen \( \, 4\,x \, \).

\( \qquad {\bf{\color{Red} 2}} \, \) är koefficienten till termen \( \, 2\,x \): \( \quad {\bf{\color{LimeGreen} 4}} \, > {\bf{\color{Red} 2}} \)

Steg 1

  Samla alla \( x\)-termer på det led vars \( x\)-term

  har större koefficient, i exemplet ovan på VL:

\(\begin{array}{rcl} {\bf{\color{LimeGreen} 4}}\,x \, + \, 6 & = & {\bf{\color{Red} 2}}\,x \, + \, 14 \\ \quad 4\,x \, + \, 6 \; {\color{Red} {- \; 2\,x}} & = & 2\,x \, + \, 14 \; {\color{Red} {- \; 2\,x}} \quad \\ 2\,x \, + \, 6 & = & 14 \end{array}\)

  Detta för att undvika negativa \( x\)-termer.

Steg 2

  Samla alla konstanta termer (utan \(x\)) på ekva-

  tionens andra led, i exemplet ovan på HL:

\(\begin{array}{rcl} 2\,x \, + \, 6 & = & 14 \\ \qquad 2\,x \, + \, 6 \; {\color{Red} {- \; 6}} & = & 14 \; {\color{Red} {- \; 6}} \\ 2\,x \, & = & 8 \end{array}\)

Steg 3

  Lös ekvationen enligt den allmänna metoden:

\(\begin{array}{rcl} 2 \cdot x \, & = & 8 \\ \qquad\qquad\quad \displaystyle \frac{2 \cdot x}{{\color{Red} {2}}} & = & \displaystyle \frac{8}{{\color{Red} {2}}} \\ x \, & = & 4 \end{array}\)

Fall 2:   \( x\)-term med större koefficient finns på HL

\( \qquad \)

\( \qquad {\bf{\color{Red} 5}} \, \) är koefficienten till termen \( \, 5\,x \, \).

\( \qquad {\bf{\color{LimeGreen} 2}} \, \) är koefficienten till termen \( \, 2\,x \): \( \quad {\bf{\color{Red} 5}} \, > {\bf{\color{LimeGreen} 2}} \)

Steg 1

  Samla alla \( x\)-termer på det led vars \( x\)-term har

  större koefficient, i fall 2 på HL:

\(\begin{array}{rcl} {\bf{\color{LimeGreen} 2}} \,x \, + \, 16 & = & {\bf{\color{Red} 5}} \,x \, + \, 7 \\ \quad 2\,x \, + \, 16 \; {\color{Red} {- \; 2\,x}} & = & 5\,x \, + \, 7 \; {\color{Red} {- \; 2\,x}} \quad \\ 16 & = & 3\,x \, + \, 7 \end{array}\)

  Detta för att undvika negativa \( x\)-termer.

Steg 2

  Samla alla konstanta termer (utan \(x\)) på ekva-

  tionens andra led, i fall 2 på VL:

\(\begin{array}{rcl} 16 & = & 3\,x \, + \, 7 \\ \qquad\quad 16 \; {\color{Red} {- \; 7}} & = & 3\,x \, + \, 7 \; {\color{Red} {- \; 7}} \\ 9 \, & = & 3\,x \end{array}\)

Steg 3

  Lös ekvationen enligt den allmänna metoden:

\(\begin{array}{rcl} 9 \, & = & 3 \cdot x \\ \qquad\qquad\quad \displaystyle \frac{9}{{\color{Red} {3}}} & = & \displaystyle \frac{3 \cdot x}{{\color{Red} {3}}} \\ 3 \, & = & x \\ x \, & = & 3 \end{array}\)

Fall 2:s filosofi:

Lösningsmetoden i fall 2 är en rekommen-

dation som gör beräkningen effektivare:

Man undviker hanteringen av negativa \( x\)-

termer och minustecknet, vilket

\( \quad\;\;\; \) minskar risken för felräkning.

När har en ekvation ingen lösning alls?

Exempel:

\(\begin{array}{rcl} 3 \, (5 \, + \, x) & = & 3\,x \, + \, 18 \\ 15 \, + \, 3\,x & = & 3\,x \, + \, 18 \\ \;\; 15 \, + \, 3\,x \, {\color{Red} {- \, 3\,x}} & = & 3\,x \, + \, 18 \, {\color{Red} {- \, 3\,x}} \\ 15 & = & 18 \quad {\color{Red} {\rm{Motsägelse!}}} \\ & \Downarrow & \end{array}\)

\( \;\; \) Ekvationen har ingen lösning alls. Kort:

\( \qquad\quad \) Ekvationen saknar lösning.

När har en ekvation oändligt många lösningar?

Exempel:

\(\begin{array}{rcl} 3 \, (5 \, + \, x) & = & 3\,x \, + \, 15 \\ 15 \, + \, 3\,x & = & 3\,x \, + \, 15 \\ \;\; 15 \, + \, 3\,x \, {\color{Red} {- \, 3\,x}} & = & 3\,x \, + \, 15 \, {\color{Red} {- \, 3\,x}} \\ 15 & = & 15 \quad {\color{Red} {\rm{Alltid\;sant!}}} \\ & \Downarrow & \end{array}\)

\( \;\; \) Alla tal är lösningar till ekvationen. Eller:

\( \;\; \) Ekvationen har oändligt många lösningar.

Copyright © 2019 TechPages AB. All Rights Reserved.