Skillnad mellan versioner av "5.7 Problemlösning: Cirkel-kvadrat problemet"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(73 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 2: Rad 2:
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Not selected tab|[[5.5 Geometriska satser och bevis|<<<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
+
{{Not selected tab|[[5.6 Implikation och ekvivalens|<<<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
−
{{Selected tab|[[5.6 Implikation och ekvivalens|Genomgång]]}}
+
{{Selected tab|[[5.7 Problemlösning: Cirkel-kvadrat problemet|Genomgång]]}}
−
{{Not selected tab|[[5.6 Övningar till Implikation och ekvivalens|Övningar]]}}
+
{{Not selected tab|[[5.7 Övningar till Cirkel-kvadrat problemet|Övningar]]}}
−
{{Not selected tab|[[Det duala Cirkel-kvadrat problemet|Duala problemet&nbsp;&nbsp;>>]]}}
+
{{Not selected tab|[[5.7 Lösning till Cirkel-kvadrat problemet|Lösning]]}}
 +
<!-- {{Not selected tab|[[Det duala Cirkel-kvadrat problemet|Det duala problemet]]}} -->
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
  
−
<div class="border-divblue">
+
= <b><span style="color:#931136">Vilken figur har större area?</span></b> =
−
<big><b><span style="color:#931136">
+
−
&nbsp; Implikation och ekvivalens</span> är:
+
  
−
* &nbsp; Logiska verktyg i matematisk bevisföring, se [[5.5_Geometriska_satser_och_bevis#Yttervinkelsatsen|<span style="color:blue">förra avsnitt</span>]].
 
  
−
* &nbsp; Logiska operatorer som kan skrivas mellan två utsagor.
+
<div class="ovnE">
  
−
&nbsp; En <span style="color:#931136">utsaga</span> är ett påstående eller en sats som antingen är sant eller falskt.
+
<big>Man har ett snöre av en viss längd och vill begränsa med det en yta av maximal
  
−
&nbsp; <span style="color:#931136">Implikation</span> symboliseras med <math> \;\; \implies \;\;  </math>, &nbsp;&nbsp;<span style="color:#931136">ekvivalens</span> med <math> \;\; \iff \;\;  </math>.
+
storlek. Är det då bättre att forma snöret till en cirkel eller till en kvadrat?
 +
</big>
  
−
* &nbsp; Kan användas även i alla vardagliga sammanhang, se exemplen:  
+
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: Problemlosning_1a.jpg]] </div>
−
</b></big>
+
 
</div>
 
</div>
  
  
−
= <b><span style="color:#931136">Exempel på implikation</span></b> =
+
= <b><span style="color:#931136">Slutsats</span></b> =
 +
<div class="border-divblue">
 +
<big>
 +
&nbsp; Ska cirkeln och kvadraten ha <span style="color:#931136">samma</span> omkrets måste <span style="color:blue">sambandet</span> ovan gälla.
  
 +
&nbsp; <span style="color:blue">Sambandet</span> ovan är en <b><span style="color:#931136">funktion</span></b><span style="color:black">:</span> <math> \qquad </math> <div class="smallBoxVariant"><math> \displaystyle a \, = \, f(r) \, = \, \frac{\pi}{2} \cdot \, r </math></div>
  
−
<div class="ovnE">
+
&nbsp; Dvs ett värde på <math> \, r \, </math> bestämmer endast ett värde på <math> \, a \, </math>.
−
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: Implikation_ekvivalens_1b.jpg]] </div>
+
 
 +
&nbsp; <math> \, r \, </math> är funktionens oberoende och <math> \, a \, </math> funktionens beroende variabel.
 +
</big>
 
</div>
 
</div>
  
  
−
<div class="border-divblue">
+
= <b><span style="color:#931136">Dagens inlämningsuppgift</span></b> =
−
<big><b>
+
−
&nbsp; En implikation som gäller i <span style="color:#931136">båda</span> riktningar kallas för <span style="color:#931136">ekvivalens</span>.
+
  
−
&nbsp; En <span style="color:#931136">ekvivalens</span> är en implikation <span style="color:#931136">och</span> dess omvända.
+
<div class="ovnA"><big>
 +
Lös Cirkel-kvadrat problemet i tre steg:  
  
−
&nbsp; Ekvivalens betyder <span style="color:#931136">(logisk) likvärdighet</span>. På latin: <span style="color:#931136">ekvi</span> = lik, <span style="color:#931136">valens</span> = värdighet.
+
1) &nbsp; Ta exemplet <math> \, r = 4 \, </math>. Beräkna <math> \, a = f(4) \, </math>. Beräkna båda figurernas areor. Vilken är större?
  
−
<math> \; \iff \;\;  </math> sätts mellan utsagor och ersätter <math> \; = \;  </math> som sätts mellan uttryck eller tal.
+
2) &nbsp; Ta flera exempel, t.ex. <math> r = 2 </math>, <math> \; r = 6 \; </math> och <math> \; r = 8 </math>. Gör samma sak som i steg 1.
−
</b></big>
+
−
</div>
+
  
 +
3) &nbsp; Lös uppgiften generellt med <math> \, r \, </math> och <math> \, a \, </math> som variabler. Ställ upp ett uttryck för arean till resp. figur.
  
−
= <b><span style="color:#931136">Exempel på ekvivalens</span></b> =
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Bilda förhållandet (kvoten) mellan deras areor dvs <math> \, \displaystyle \frac{A_{cirkel}}{A_{kvadrat}} \, </math>.
  
−
<div class="ovnC">
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Räkna <i>exakt</i> dvs bibehålla <math> \, \pi \, </math> som bokstav och använd hela tiden bråk istället för decimaltal.
−
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: Implikation_ekvivalens_2a.jpg]] </div>
+
−
</div>
+
  
 +
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Förenkla kvoten så långt som möjligt. Vilken figur har <i>alltid</i> större area?
  
−
= <b><span style="color:#931136">Dagens testfråga</span></b> =
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Är resultatet beroende av figurernas storlek, dvs av <math> \, r \, </math> och <math> \, a \, </math>?
  
 +
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Ange hur många procent den ena figuren är större än den andra.
  
−
<div class="border-divblue">
+
Ladda upp dina lösningar till Schoolitys "Uppgift". Deadline för inlämning: kl 18 lektionsdagen.
−
<big><b>
+
</big></div>
−
&nbsp; Är [[5.3_Pythagoras_sats#Ett_bevis_av_Pythagoras_sats|<span style="color:#931136">Pythagoras sats (påståendet i 5.3)</span>]] en implikation eller en ekvivalens?
+
  
−
&nbsp; Och i så fall mellan vilka utsagor?
 
  
−
&nbsp; Är [[5.3_Pythagoras_sats#Ett_bevis_av_Pythagoras_sats|<span style="color:#931136">beviset av Pythagoras sats (5.3)</span>]] ett bevis för implikation eller för ekvivalens?
+
= <b><span style="color:#931136">Dagens övningar</span></b> =
−
</b></big>
+
<div class="ovnE"><big>
−
</div>
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Gör övningarna i boken Origo 1b:
 +
 
 +
----
 +
 
 +
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Sidorna 302-305
 +
 
 +
----
 +
 
 +
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;I Origo 1c:&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Sidorna 290-293
 +
 
 +
----
 +
 
 +
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Hoppa över sånt vi inte gått genom.
 +
</big></div>
 +
 
  
  

Nuvarande version från 29 mars 2020 kl. 21.13

       <<<  Förra avsnitt          Genomgång          Övningar          Lösning      


Vilken figur har större area?

Man har ett snöre av en viss längd och vill begränsa med det en yta av maximal

storlek. Är det då bättre att forma snöret till en cirkel eller till en kvadrat?

Problemlosning 1a.jpg


Slutsats

  Ska cirkeln och kvadraten ha samma omkrets måste sambandet ovan gälla.

  Sambandet ovan är en funktion: \( \qquad \)
\( \displaystyle a \, = \, f(r) \, = \, \frac{\pi}{2} \cdot \, r \)

  Dvs ett värde på \( \, r \, \) bestämmer endast ett värde på \( \, a \, \).

  \( \, r \, \) är funktionens oberoende och \( \, a \, \) funktionens beroende variabel.


Dagens inlämningsuppgift

Lös Cirkel-kvadrat problemet i tre steg:

1)   Ta exemplet \( \, r = 4 \, \). Beräkna \( \, a = f(4) \, \). Beräkna båda figurernas areor. Vilken är större?

2)   Ta flera exempel, t.ex. \( r = 2 \), \( \; r = 6 \; \) och \( \; r = 8 \). Gör samma sak som i steg 1.

3)   Lös uppgiften generellt med \( \, r \, \) och \( \, a \, \) som variabler. Ställ upp ett uttryck för arean till resp. figur.

      Bilda förhållandet (kvoten) mellan deras areor dvs \( \, \displaystyle \frac{A_{cirkel}}{A_{kvadrat}} \, \).

      Räkna exakt dvs bibehålla \( \, \pi \, \) som bokstav och använd hela tiden bråk istället för decimaltal.

      Förenkla kvoten så långt som möjligt. Vilken figur har alltid större area?

      Är resultatet beroende av figurernas storlek, dvs av \( \, r \, \) och \( \, a \, \)?

      Ange hur många procent den ena figuren är större än den andra.

Ladda upp dina lösningar till Schoolitys "Uppgift". Deadline för inlämning: kl 18 lektionsdagen.


Dagens övningar

    Gör övningarna i boken Origo 1b:

                Sidorna 302-305

    I Origo 1c:      Sidorna 290-293

    Hoppa över sånt vi inte gått genom.











Copyright © 2020 TechPages AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte1b.mathonline.se/index.php?title=5.7_Problemlösning:_Cirkel-kvadrat_problemet&oldid=36228"