Skillnad mellan versioner av "5.7 Problemlösning: Cirkel-kvadrat problemet"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(67 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 5: Rad 5:
 
{{Selected tab|[[5.7 Problemlösning: Cirkel-kvadrat problemet|Genomgång]]}}
 
{{Selected tab|[[5.7 Problemlösning: Cirkel-kvadrat problemet|Genomgång]]}}
 
{{Not selected tab|[[5.7 Övningar till Cirkel-kvadrat problemet|Övningar]]}}
 
{{Not selected tab|[[5.7 Övningar till Cirkel-kvadrat problemet|Övningar]]}}
−
{{Not selected tab|[[Det duala Cirkel-kvadrat problemet|Det duala problemet]]}}
+
{{Not selected tab|[[5.7 Lösning till Cirkel-kvadrat problemet|Lösning]]}}
 +
<!-- {{Not selected tab|[[Det duala Cirkel-kvadrat problemet|Det duala problemet]]}} -->
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
Rad 14: Rad 15:
  
 
<div class="ovnE">
 
<div class="ovnE">
 +
 +
<big>Man har ett snöre av en viss längd och vill begränsa med det en yta av maximal
 +
 +
storlek. Är det då bättre att forma snöret till en cirkel eller till en kvadrat?
 +
</big>
 +
 
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: Problemlosning_1a.jpg]] </div>
 
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: Problemlosning_1a.jpg]] </div>
 
</div>
 
</div>
  
  
 +
= <b><span style="color:#931136">Slutsats</span></b> =
 
<div class="border-divblue">
 
<div class="border-divblue">
−
<big><b>
+
<big>
−
&nbsp; En implikation som gäller i <span style="color:#931136">båda</span> riktningar kallas för <span style="color:#931136">ekvivalens</span>.
+
&nbsp; Ska cirkeln och kvadraten ha <span style="color:#931136">samma</span> omkrets måste <span style="color:blue">sambandet</span> ovan gälla.
  
−
&nbsp; En <span style="color:#931136">ekvivalens</span> är en implikation <span style="color:#931136">och</span> dess omvända.
+
&nbsp; <span style="color:blue">Sambandet</span> ovan är en <b><span style="color:#931136">funktion</span></b><span style="color:black">:</span> <math> \qquad </math> <div class="smallBoxVariant"><math> \displaystyle a \, = \, f(r) \, = \, \frac{\pi}{2} \cdot \, r </math></div>
  
−
&nbsp; Ekvivalens betyder <span style="color:#931136">(logisk) likvärdighet</span>. På latin: <span style="color:#931136">ekvi</span> = lik, <span style="color:#931136">valens</span> = värdighet.
+
&nbsp; Dvs ett värde på <math> \, r \, </math> bestämmer endast ett värde på <math> \, a \, </math>.
  
−
<math> \; \iff \;\;  </math> sätts mellan utsagor och ersätter <math> \; = \;  </math> som sätts mellan uttryck eller tal.
+
&nbsp; <math> \, r \, </math> är funktionens oberoende och <math> \, a \, </math> funktionens beroende variabel.
−
</b></big>
+
</big>
 
</div>
 
</div>
  
  
−
= <b><span style="color:#931136">Exempel på ekvivalens</span></b> =
+
= <b><span style="color:#931136">Dagens inlämningsuppgift</span></b> =
  
−
<div class="ovnC">
+
<div class="ovnA"><big>
−
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: Implikation_ekvivalens_2a.jpg]] </div>
+
Lös Cirkel-kvadrat problemet i tre steg:  
−
</div>
+
  
 +
1) &nbsp; Ta exemplet <math> \, r = 4 \, </math>. Beräkna <math> \, a = f(4) \, </math>. Beräkna båda figurernas areor. Vilken är större?
  
−
= <b><span style="color:#931136">Dagens testfråga</span></b> =
+
2) &nbsp; Ta flera exempel, t.ex. <math> r = 2 </math>, <math> \; r = 6 \; </math> och <math> \; r = 8 </math>. Gör samma sak som i steg 1.
  
 +
3) &nbsp; Lös uppgiften generellt med <math> \, r \, </math> och <math> \, a \, </math> som variabler. Ställ upp ett uttryck för arean till resp. figur.
  
−
<div class="border-divblue">
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Bilda förhållandet (kvoten) mellan deras areor dvs <math> \, \displaystyle \frac{A_{cirkel}}{A_{kvadrat}} \, </math>.
−
<big><b>
+
−
&nbsp; Är [[5.3_Pythagoras_sats#Ett_bevis_av_Pythagoras_sats|<span style="color:#931136">Pythagoras sats (påståendet i 5.3)</span>]] en implikation eller en ekvivalens?
+
  
−
&nbsp; Och i så fall mellan vilka utsagor?
+
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Räkna <i>exakt</i> dvs bibehålla <math> \, \pi \, </math> som bokstav och använd hela tiden bråk istället för decimaltal.
 +
 
 +
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Förenkla kvoten så långt som möjligt. Vilken figur har <i>alltid</i> större area?
 +
 
 +
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Är resultatet beroende av figurernas storlek, dvs av <math> \, r \, </math> och <math> \, a \, </math>?
 +
 
 +
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Ange hur många procent den ena figuren är större än den andra.
 +
 
 +
Ladda upp dina lösningar till Schoolitys "Uppgift". Deadline för inlämning: kl 18 lektionsdagen.
 +
</big></div>
 +
 
 +
 
 +
= <b><span style="color:#931136">Dagens övningar</span></b> =
 +
<div class="ovnE"><big>
 +
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Gör övningarna i boken Origo 1b:
 +
 
 +
----
 +
 
 +
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Sidorna 302-305
 +
 
 +
----
 +
 
 +
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;I Origo 1c:&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Sidorna 290-293
 +
 
 +
----
 +
 
 +
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Hoppa över sånt vi inte gått genom.
 +
</big></div>
  
−
&nbsp; Är [[5.3_Pythagoras_sats#Ett_bevis_av_Pythagoras_sats|<span style="color:#931136">beviset av Pythagoras sats (5.3)</span>]] ett bevis för implikation eller för ekvivalens?
 
−
</b></big>
 
−
</div>
 
  
  

Nuvarande version från 29 mars 2020 kl. 21.13

       <<<  Förra avsnitt          Genomgång          Övningar          Lösning      


Vilken figur har större area?

Man har ett snöre av en viss längd och vill begränsa med det en yta av maximal

storlek. Är det då bättre att forma snöret till en cirkel eller till en kvadrat?

Problemlosning 1a.jpg


Slutsats

  Ska cirkeln och kvadraten ha samma omkrets måste sambandet ovan gälla.

  Sambandet ovan är en funktion: \( \qquad \)
\( \displaystyle a \, = \, f(r) \, = \, \frac{\pi}{2} \cdot \, r \)

  Dvs ett värde på \( \, r \, \) bestämmer endast ett värde på \( \, a \, \).

  \( \, r \, \) är funktionens oberoende och \( \, a \, \) funktionens beroende variabel.


Dagens inlämningsuppgift

Lös Cirkel-kvadrat problemet i tre steg:

1)   Ta exemplet \( \, r = 4 \, \). Beräkna \( \, a = f(4) \, \). Beräkna båda figurernas areor. Vilken är större?

2)   Ta flera exempel, t.ex. \( r = 2 \), \( \; r = 6 \; \) och \( \; r = 8 \). Gör samma sak som i steg 1.

3)   Lös uppgiften generellt med \( \, r \, \) och \( \, a \, \) som variabler. Ställ upp ett uttryck för arean till resp. figur.

      Bilda förhållandet (kvoten) mellan deras areor dvs \( \, \displaystyle \frac{A_{cirkel}}{A_{kvadrat}} \, \).

      Räkna exakt dvs bibehålla \( \, \pi \, \) som bokstav och använd hela tiden bråk istället för decimaltal.

      Förenkla kvoten så långt som möjligt. Vilken figur har alltid större area?

      Är resultatet beroende av figurernas storlek, dvs av \( \, r \, \) och \( \, a \, \)?

      Ange hur många procent den ena figuren är större än den andra.

Ladda upp dina lösningar till Schoolitys "Uppgift". Deadline för inlämning: kl 18 lektionsdagen.


Dagens övningar

    Gör övningarna i boken Origo 1b:

                Sidorna 302-305

    I Origo 1c:      Sidorna 290-293

    Hoppa över sånt vi inte gått genom.











Copyright © 2020 TechPages AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte1b.mathonline.se/index.php?title=5.7_Problemlösning:_Cirkel-kvadrat_problemet&oldid=36228"