Teoretisk förklaring
Varför är division med 0 inte definierad?
Både i rationella tal och rationella uttryck får nämnaren inte bli \( 0\, \) eftersom division med \( 0\, \) inte är definierad.
Division med 0 är den viktigaste "förbjudna" operationen i matematiken. Men vad beror det på att det är "förbjudet"? När vi besvarar denna fråga kommer vi också att inse att det snarare är en omöjlighet än ett förbud.
Praktisk förklaring
Ta fram din miniräknare och mata in:
- \[ 1 \over 0 \]
Du kommer att få ERROR. Räknaren kan inte genomföra denna operation. Varför?
Fortsätt dina experiment med räknaren genom att dela \( 1\, \) inte direkt med \( 0\, \) utan med små tal. Och låt dessa små tal bli mindre och mindre:
\( x\, \) \( {1 \over x} \) \( 0,1\, \) \( 10\, \) \( 0,01\, \) \( 100\, \) \( 0,001\, \) \( 1000\, \) \( 0,000\,1 \) \( 10\,000 \) \( 0,000\,01 \) \( 100\,000 \) \( 0,000\,001 \) \( 1\,000\,000 \) \( 0,000\,000\,1 \) \( 10\,000\,000 \) \( 0,000\,000\,01 \) \( 100\,000\,000 \) \( \cdots \) \( \cdots \) \( \rightarrow 0 \) \( \rightarrow \infty \)
Experimentet visar: Ju mindre \( x\, \) blir desto större blir \( {1 \over x} \). I gränsfallet \( x = 0\, \) blir \( {1 \over x} \) oändligt stort.
\( \infty \) är symbolen för oändligheten. Men det är fel att skriva:
\[ {\rm {\color{Red} {OBS!\;Fel:}}} \quad\; {1 \over 0} = \infty \]
Detta är ingen korrekt matematisk notation. Ett tal kan inte vara lika med \( \infty \) därför att \( \infty \) inte är något tal utan endast en symbol. Korrekt ser det ut så här:
\[ {\rm {\color{Red} {Rätt:}}} \qquad\quad\, {1 \over x} \to \infty \quad {\rm när} \quad x \to 0 \]
Och läses så här \( {1 \over x} \) går mot \( \infty \) när \( x\, \) går mot \( 0\, \).
Slutsats: \( {\color{White} x} {1 \over 0} \) är inget tal och därför inte definierat.
Teoretisk förklaring
Vad betyder \( 12 / 4 \) ?
- \[ 12 / 4 = {\color{Red} x} \quad {\rm betyder: \quad Att\;hitta\;ett\;tal\;}{\color{Red} x}\; {\rm så\;att\;} {\color{Red} x} \cdot 4 = 12 \]
Uppenbarligen är detta tal \( {\color{White} x} {\color{Red} {x = 3} {\color{White} x} } \) därför att \( {\color{Red} 3} \cdot 4 = 12 \).
Vad betyder \( 12 / 0 \) ?
- \[ 12 / 0 = {\color{Red} x} \quad {\rm betyder: \quad Att\;hitta\;ett\;tal\;}{\color{Red} x}\; {\rm så\;att\;} {\color{Red} x} \cdot 0 = 12 \]
Men det finns inget sådant tal \( {\color{Red} x} \) därför att \( {\color{White} x} {\color{Red} x} \cdot 0 = 0 {\color{White} x} \neq 12 \).
Slutsats: Operationen \( 12 / 0 \,\) och därmed division med \( 0 \,\) är omöjligt att genomföra.
